第2章 第2节 函数的单调性（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

该高中数学讲义聚焦函数单调性核心考点，涵盖概念、判断证明、单调区间、最值及应用，按“定义-性质-应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法指导（定义法、导数法）、真题训练（小题查验、典例精讲）等环节，帮助学生突破单调性判断、参数范围求解等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以素养培养为导向，创新采用“辨析-探究-总结”教学模式，如用定义法与导数法证明含参函数单调性，发展逻辑推理素养；结合图像分析分段函数单调区间，提升直观想象能力。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时反馈，确保高效突破考点，助力学生提升应考技能，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第2节　函数的单调性 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 2．会运用基本初等函数的图像分析函数的性质 1.函数的单调性的判断或证明，发展数学抽象和逻辑推理素养． 2．确定函数的单调区间，提升直观想象和逻辑推理素养． 3．确定函数的最值(值域)，发展直观想象和数学运算素养． 4．函数单调性的应用，发展逻辑推理和数学运算素养 　　确定函数的单调性、单调区间及应用函数的单调性比较函数值大小、求最值、求参数的取值(范围)是高考的热点，题型多以选择题、填空题的形式出现，难度不大，属于低中档题，常与函数的图像及奇偶性交汇命题；若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现，难度较大，属于中高档题．在解答题中常与恒成立、方程有解等问题综合考查 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D： (1)如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有　f(x1)＜f(x2)　，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上　单调递增　)，如图(1)所示； (2)如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有　f(x1)＞f(x2)　，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上　单调递减　)，如图(2)所示． 两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的　单调区间　，也可分别称为　单调递增区间　或　单调递减区间　)． 2．函数的平均变化率 (1)直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在． 直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度． 若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，则当Δx≠0时，斜率可记为. (2)平均变化率 一般地，当x1≠x2时，称＝ 为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率． 3．y＝f(x)在I上是增函数(减函数)的充要条件 一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2， 记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝(即＝)，则： (1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是>0在I上恒成立； (2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是<0在I上恒成立． 4．函数的最大值和最小值 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D： (1)如果对任意x∈D，都有　f(x)≤f(x0)　，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的　最大值点　； (2)如果对任意x∈D，都有　f(x)≥f(x0)　，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的　最小值点　. 5．最值和最值点 　最大　值和　最小　值统称为最值，　最大值　点和　最小值　点统称为最值点． 1．设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则①x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)>0(或<0)⇔f(x)在D上单调递增；x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)<0(或>0)⇔f(x)在D上单调递减； ②>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增； ③<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)；减区间为[－，0)和(0， ]，且对勾函数为奇函数． 3．单调函数的运算性质 (1)在函数f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： ①若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是增(减)函数； ②若f(x)是增(减)函数，g(x)是减(增)函数，则f(x)－g(x)是增(减)函数； (2)若函数f(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①当a>0时，函数af(x)与f(x)有相同的单调性，当a<0时，函数af(x)与f(x)有相反的单调性； ②当函数f(x)恒为正(或恒为负)时，f(x)与有相反的单调性； ③若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性． 4．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)．(　　 ) (2)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　 ) (3)函数y＝|x|是R上的增函数．(　　 ) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞) .(　　 ) (5)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(　　 ) (6)在闭区间上单调的函数，其最值一定在区间端点取到．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．(教材改编)(2024·合肥调研)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　 ) A．y＝－x　　　　 B．y＝x2－x C．y＝ln x－x D．y＝ex－x 解析：A　[对于A选项，y1＝在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y′＝ex－1，而当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，所以函数y＝ex－x在(0，＋∞)上是增函数．] 2．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图像如图所示，则关于函数y＝的单调区间表述正确的是(　　 ) A．在[－1,1]上单调递减 B．在(0,1]上单调递减，在[1,3)上单调递增 C．在[5,7]上单调递减 D．在[3,5]上单调递增 解析：B　[由图像可知当x＝0，x＝3，x＝6时，f(x)＝0，此时函数y＝无意义，故排除A，C，D.] 3．函数f(x)＝log2(x2－4)的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) 解析：C　[由x2－4>0可得x<－2或x>2，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．设t＝x2－4，则t在(2，＋∞)上单调递增，又函数y＝log2t为增函数，∴函数f(x)＝log2(x2－4)在(2，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．] 4．(教材改编)函数f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分别是　____________　. 解析：f(x)＝＝＝2－在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(1)＝1. 答案：，1 5．(教材改编)已知函数f(x)为R上的减函数，若m<n，则f(m)　____　f(n)；若f<f(1)，则实数x的取值范围是　________　. 解析：由题意知f(m)>f(n)； >1，即|x|<1，且x≠0. 故－1<x<1且x≠0. 答案：>　(－1,0)∪(0,1) 　函数单调性的判断或证明 ◆[命题角度1]　确定不含参函数的单调性(基础点)　 下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是(　　) A．f(x)＝2x　　　　　 B．f(x)＝|x－1| C．f(x)＝－x D．f(x)＝ln(x＋1) 解析：C　[由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于f(x)＝－x，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．] 判断函数单调性常用以下几种方法 (1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论． (2)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，则可由图像的上升或下降确定单调性． (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间． (4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断； ②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断． 提醒：判断或证明不含有参数的函数的单调性时，首先确定定义域，然后利用判断函数单调性的方法求解． ◆[命题角度2]　确定含参函数的单调性(应用点)　 [典例]　判断并证明函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性. 核心素养 逻辑推理——函数单调性问题中的核心素养 　　依据增函数、减函数的定义证明函数单调性，通常按照设元、作差、变形、判号、定论这五个步骤进行，充分体现了“逻辑推理”的核心素养． 信息提取 信息解读 逻辑推理 已知函数 f(x)＝(a≠0) 分a>0与a<0两种情况讨论 判断函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性⇔当－1<x1<x2<1时，判断f(x1)－f(x2)的符号⇔判断f′(x)在(－1,1)上的符号 判断函数f(x)在(－1，1)上的单调性 定义法：当－1<x1<x2<1时，判断f(x1)－f(x2)是大于0还是小0 导数法：判断f′(x)在(－1,1)上是大于0还是小0 [证明]　法一(定义法)：第一步，取值、作差、变形：设－1<x1<x2<1， f(x)＝a＝a， 则f(x1)－f(x2)＝a－a ＝. 第二步，判号、定论：由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 法二(导数法)：第一步，求导、变形：f′(x)＝ ＝＝－. 第二步，判号、定论：当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． [互动探究] 若只将本例中函数解析式改为“f(x)＝(其中a＞0)”呢？ 证明：法一(定义法)：设－1<x1<x2<1， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝.∵－1<x1<x2<1， ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0. 因此当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为减函数. 法二(导数法)：f′(x)＝＝. 又a＞0，所以f′(x)<0，所以函数f(x)在(－1,1)上为减函数． 　　 判断或证明含有参数的函数的单调性，除了利用增(减)函数的定义外，导数法也是一种非常有效的方法，注意分类讨论思想的应用． 　易错警示：可导函数也可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断． 判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性． 解：设x1，x2是定义域(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝(x1x2－a)． 当0<x1<x2≤时， 0<x1x2<a，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)在(0，]上是减函数； 当≤x1<x2时，x1x2>a，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数． 综上可知，函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数． 　确定函数的单调区间(重难点) [典例]　(1)函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为　________　，单调递减区间为　________　. (2)函数y＝f(x)(x∈R)的图像如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0<a<1)的单调递减区间是(　　) A.　　　　　　　 B．[，1] C．(－∞，0)∪ D．[，] [解析]　(1)由于y＝ 即y＝ 画出函数图像如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． (2)由题图可知f(x)在(－∞，0]和上单调递减，而在上单调递增．又0<a<1时，y＝logax为(0，＋∞)上的减函数，所以要使g(x)＝f(logax)单调递减，需要logax∈，即0≤logax≤，解得x∈[，1]． [答案]　(1)(－∞，－1]和[0,1]　[－1,0]和[1，＋∞)　(2)B [互动探究] 1．若将典例(1)中的函数变为“y＝|－x2＋2x＋1|”，则结论如何？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图像如图所示． 由图像可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－，1)和(1＋，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－)和(1,1＋)． 2．若将本例题(2)中的“0<a<1”改为“a>1”，则函数g(x)的单调递减区间如何？ 解析：由例(2)解析知，需logax≤0或logax≥，解得x≤1或x≥，又x>0，所以单调递减区间为(0,1]，[，＋∞)． 　　 1．求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义． (3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间． (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间． 2．求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)． (3)分别确定这两个函数的单调区间． (4)若这两个函数同增同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”． 　提醒：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 1．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是(　　) A．(－∞，0] B．[0,1) C．[1，＋∞) D．[－1,0] 解析：B　[g(x)＝ 如图所示，其递减区间是[0,1)．] 2．函数f(x)＝ln (x2－2x－8) 的单调递增区间是(　　 ) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 解析：D　[由x2－2x－8>0，得函数的定义域为(－∞，－2)∪(4，＋∞)．令t＝x2－2x－8，则y＝ln t．∵t＝x2－2x－8＝(x－1)2－9， ∴t＝x2－2x－8的单调增区间为(4，＋∞)． 又y＝ln t是增函数，∴函数f(x)＝ln (x2－2x－8) 的单调增区间为(4，＋∞)．] 　确定函数的最值(值域)(重难点) [典例]　(1)若函数f(x)＝－在上的值域是，则实数a的值为　________　. (2)函数f(x)＝(x>1)的最小值为　________　. (3)(2024·深圳模拟)函数y＝的最大值为　________　. [解析]　(1)因为函数f(x)在区间上是增函数，值域为，所以f＝，f(2)＝2，即解得a＝. (2)法一：均值不等式法：f(x)＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，f(x)min＝8. 法二：导数法：f′(x)＝， 令f′(x)＝0，得x＝4或x＝－2(舍去)． 当1<x<4时，f′(x)<0，f(x)在(1,4)上递减； 当x>4时，f′(x)>0，f(x)在(4，＋∞)上递增， 所以f(x)在x＝4处达到最小值， 即f(x)min＝f(4)＝8. (3)令＝t，则t≥2，∴x2＝t2－4， ∴y＝＝，设h(t)＝t＋，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，∴h(t)min＝h(2)＝，∴y≤＝(x＝0时取等号)．即y的最大值为. [答案]　(1)　(2)8　(3) 　　 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值． (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 提醒：　(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域． (2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值． [口诀助读] 单调性，左边看，上坡递增下坡减； 函数值，若有界，上界下界值域外． 1．函数y＝－x(x≥0)的最大值为　________　. 解析：令t＝则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，结合二次函数的图像知，当t＝，即x＝时，ymax＝. 答案： 2．函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为　________　. 解析：由于y＝x在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3. 答案： 3 　函数单调性的应用(应用点) ◆[命题角度1]　比较两个函数值或两个自变量的大小　 1．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　) A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 解析：B　[∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0， ∴当x1∈(1,2)时，f(x1)<f(2)＝0， 当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0， 即f(x1)<0，f(x2)>0.] ◆[命题角度2]　解函数不等式　 2．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(　　) A．(8，＋∞) B．(8,9] C．[8,9] D．(0,8) 解析：B　[2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8＜x≤9.] ◆[命题角度3]　利用单调性求参数的取值范围或值　 3．如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是　________　. 解析：因为对任意x1≠x2，都有>0， 所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 所以解得≤a<2. 故实数a的取值范围是. 答案： 　　 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解含“f”的不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数 ①视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 学科网（北京）股份有限公司 $