第2章 第1节 函数及其表示方法（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数概念、定义域、解析式及分段函数等核心考点，按“概念本质-三要素-表示方法-分段应用”逻辑架构梳理知识，通过考点辨析、方法归纳（如换元法求解析式）、真题演练（结合高考题）等环节，帮助学生构建函数知识体系，突破定义域求解、分段函数运算等难点。 讲义突出数学抽象与逻辑推理素养培养，创新设计“问题链”教学，如抽象函数定义域求法中，通过“已知f(x)定义域求f(2x+1)定义域”实例，引导学生理解对应法则本质。设置基础巩固与能力提升分层练习，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第1节　函数及其表示方法 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.通过实例，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 2．会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数． 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 1.函数的概念，感悟和发展数学抽象的素养 2．函数的解析式，提升逻辑推理和数学运算的素养 3．函数的定义域，发展数学抽象和提升逻辑推理的素养 4．分段函数及应用，提升逻辑推理和数学运算的素养 　　以理解函数的概念，会求一些简单函数的定义域为主，常与不等式相结合求函数的定义域、值域．函数解析式的求解与应用是函数内容的基础，注意换元法、待定系数法等数学思想方法的运用．分段函数主要涉及的是与其相关的函数值、方程或不等式，该部分内容高考中多以选择题或填空题的形式考查，难度不会太大，属于低中档题．主要考查考生的函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及运算求解的能力 1．函数的有关概念 一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B中都有　唯一确定　的实数y＝f(x)与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作　y＝f(x)，x∈A　，其中x称为　自变量　，y称为　因变量　，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的　定义域　，所有函数值组成的集合　{y∈B|y＝f(x)，x∈A}　，称为函数的值域． 2．同一个函数 如果两个函数表达式表示的函数　定义域　相同，　对应关系　也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数． 3．函数的表示法 4．分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有　不同的对应方式　，则称其为分段函数． 5．分段函数的图像 分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图像． 6．常数函数 值域　只有一个　元素的函数，通常称为常数函数． 1．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数是建立在其定义域到值域的映射．(　　) (2)函数y＝f(x)的图像与直线x＝a最多有2个交点．(　　) (3)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(　　) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　) (5)f(x)＝与g(x)＝表示同一函数．(　　 ) (6)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．(　　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)× ◆[小题查验] 1．函数y＝ln (1－x)的定义域为(　　 ) A．(0,1)　 B．[0,1)　 C．(0,1]　 D．[0,1] 解析：B　[由解得0≤x<1，所以函数 y＝ln (1－x)的定义域为[0,1)．] 2．(教材改编)已知函数f(x)＝则f的值是(　　 ) A．9 B. C．－9 D．－ 解析：B　[f＝log2＝log22－2＝－2， f＝f(－2)＝3－2＝.] 3．下列图像可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是(　　 ) 解析：C　[由选项知A值域不是[0,1]，B定义域不是[0,1]，D不是函数，只有C符合题意. ] 4．函数y＝f(x)的图像如图所示，那么f(x)的定义域是　________　；值域是　________　；其中只与x的一个值对应的y值的范围是　________　. 答案：[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2)∪(4,5] 5．(2022·浙江卷，14)已知函数f(x)＝，则f＝　________　；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是　________　. 解析：由题可知：f＝2－＝，所以f＝f＝. 当x≤1时，令f(x)∈[1,3]，解得x∈[－1,1]； 当x＞1时，令f(x)∈[1,3]，解得x∈(1,2＋]． 所以f(x)∈[1,3]的解集为[－1,2＋]． 所以b－a的最大值为3＋. 答案：　3＋ 　函数的概念(基础点) 1．下列所给图像是函数图像的个数为(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 解析：B　[①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图像，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图像，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图像．] 2．(多选)(2024·锦州月考)有以下判断，其中判断正确的有(　　) A．f(x)＝与g(x)＝表示同一函数 B．函数y＝f(x)的图像与直线x＝1的交点最多有1个 C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数 D．若f(x)＝－x，则f＝0 [解析]　BC　[对于A，函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数g(x)＝定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，若函数y＝f(x)在x＝1处有定义，则f(x)的图像与直线x＝1的交点有1个；若函数y＝f(x)在x＝1处没有定义，则f(x)的图像与直线x＝1没有交点，故B正确； 对于C，函数f＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1的定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数，故C正确； 对于D，由f(x)＝－x，可得f＝0，所以f＝f(0)＝1，故D错误．] 3．(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1,2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是(　　) A．y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0) B．y＝x＋ C．y＝－log3x D．y＝ 解析：AD　[根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调．对于选项A，y＝[x]，定义域为R，在定义域内不是单调函数，故A可以构造“同值函数”；对于选项B，y＝x＋，为定义在[－1，＋∞)上的单调增函数，故B不可以构造“同值函数”；对于选项C，y＝－log3x，为定义在(0，＋∞)上的单调减函数，故C不可以构造“同值函数”；对于选项D，y＝，不是定义域上的单调函数，故D可以构造“同值函数”．所以能够被用来构造“同值函数”的是AD.] 函数的三要素 　定义域、值域、对应法则．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应法则唯一确定；因此当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应法则是就效果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)不是指形式上的．即对应法则是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断． 　求函数的解析式(重难点) [典例]　(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝　________　. (2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)的解析式为　________　. (3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则函数f(x)的解析式为　________　. [解析]　(1)法一：设t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1，x≥1. 法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1 ＝(＋1)2－1， ∴f(＋1)＝(＋1)2－1，＋1≥1，即f(x)＝x2－1，x≥1. (2)法一(利用一般式)： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得解得 ∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用顶点式)： 设f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)， ∴抛物线的对称轴为x＝＝. ∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8. ∴y＝f(x)＝a2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1， 解得a＝－4， ∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用零点式)： 由已知f(x)＋1＝0两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值ymax＝8，即＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍)． ∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. (3)当x∈(－1,1)时， 有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．① 以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg (－x＋1)．② 由①②消去f(－x)得， f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)． [答案]　(1)x2－1(x≥1) (2)f(x)＝－4x2＋4x＋7 (3)f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1) 　　 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)消去法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 1．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝　________　. 解析：因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， 因此应有解得 故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. 答案：2x＋7 2．已知f＝lg x，则f(x)的解析式为_________________． 解析：令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg， 又x＞0，所以t＞1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg(x＞1)． 答案：f(x)＝lg(x＞1) 3．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝　________　. 解析：在f(x)＝2f·－1中，将x换成， 则得f＝2f(x)·－1. 由 解得f(x)＝＋. 答案：＋ 　函数的定义域 ◆[命题角度1]　求给定函数解析式的定义域(基础点)　 1．(2022·北京卷，11)函数f(x)＝＋的定义域是　________　. 解析：依题意解得x∈(－∞，0)∪(0,1]． 答案：(－∞，0)∪(0,1] 2．函数y＝＋(x－1)0的定义域是　________　. 解析：由得所以－3<x<2且x≠1，故所求函数的定义域为{x|－3<x<2且x≠1}． 答案：{x|－3<x<2，且x≠1} 常见函数定义域的类型 提醒：(1)已知函数的解析式求定义域，构建使解析式有意义的不等式(组)求解．如果所给解析式较复杂，切记不要化简后再求定义域． (2)所求定义域须用集合或区间表示． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． ◆[命题角度2]　求抽象函数的定义域(应用点)　 [典例1]　已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　 ) A．(－1,1)　　　　　　　　 B. C．(－1,0) D． [解析]　B　[由函数f(x)的定义域为(－1,0)，则使函数f(2x＋1)有意义，需满足－1<2x＋1<0，解得－1<x<－，即所求函数的定义域为.] 1．已知函数f(2x＋1)的定义域是(－1,0)，则f(x)的定义域为　________　. 解析：由已知x∈(－1,0)，所以2x＋1∈(－1,1)，故f(x)的定义域为(－1,1)． 答案：(－1,1) 2．已知f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(log2x)的定义域为　________　. 解析：由已知x∈[－1,1]，所以2x∈，故f(x)的定义域为，所以在函数y＝f(log2x)中，≤log2x≤2，即log2≤log2x≤log24，所以≤x≤4，故f(log2x)的定义域为[，4]． 答案：[，4] ◆[命题角度3]　已知定义域确定参数问题　 [典例2]　(2024·合肥模拟)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为　________　. [解析]　因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，则x2＋2ax－a≥0恒成立．因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. [答案]　[－1,0] 　　 求抽象函数定义域的方法 [口诀助读] 定义域，是何意，自变量，有意义； 分式分母不为零，对数真数只取正； 偶次根式要非负，三者结合生万物； 和差积商定义域，不等式组求交集； 抽象函数定义域，对应法则内相同． ◆[命题角度4]　已知函数的定义域求参数的值(范围)(应用点)　 [典例3]　若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　) A.　　　　　　 B. C. D． [解析]　D　[∵函数y＝的定义域为R， ∴mx2＋4mx＋3≠0， ∴m＝0或 即m＝0或0＜m＜， ∴实数m的取值范围是.] 　　 已知函数的定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式或方程，然后求解． 　分段函数及应用 ◆[命题角度1]　求函数值、值域(最值)(基础点)　 1．设函数f(x)＝ 则f(－2)＋f(log212)＝(　　 ) A．3　　　 B．6　　　 C．9　　　 D．12 解析：C　[根据分段函数的意义，f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3.又log212>1， ∴f(log212)＝2(log212－1)＝2log26＝6，因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.] 2．定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]，则函数f(x)的值域为　________　. 解析：由题意知，f(x)＝ 当x∈[－2,1]时，f(x)∈[－4，－1]；当x∈(1,2]时，f(x)∈(－1,6]．故当x∈[－2,2]时，f(x)∈[－4,6]． 答案：[－4,6] 　　 分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 　提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． ◆[命题角度2]　解方程问题(重难点)　 [典例1]　(2024·凉山模拟)已知函数f(x)＝，则方程f(1＋x2)＝f(2x)的解集是　__________　. [解析]　∵函数f(x)＝， 方程f(1＋x2)＝f(2x)， ∴当x＜0时，2＝e2x＋1，解得x＝0，不成立； 当x≥0时，f(1＋x2)＝f(2x)＝2，成立． ∴方程f(1＋x2)＝f(2x)的解集是{x|x≥0}． [答案]　{x|x≥0} 分段函数与方程问题的求解思路 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否符合相应段的自变量的取值范围． 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． 1．已知函数f(x)＝且f[f(0)]＝4a，则f(－2)＝　________　，实数a＝　________　. 解析：依题意f(－2)＝2－2＋1＝，f(0)＝20＋1＝2，f(2)＝22＋2a＝4a，解得a＝2. 答案：　2 ◆[命题角度3]　解不等式问题(重难点)　 [典例2]　设函数f(x)＝则满足f(x)＋f＞1的x的取值范围是　________　. 核心素养 数学运算——解与分段函数有关的不等式 信息提取 信息解读 数学运算 f(x)＝ 函数f(x)是分段函数，f也是分段函数 运算1：x＞时，f(x)＋f＝2x＋2x－＞1 着眼点：直接根据不等式解x的范围不易解，可考虑在x的范围x＞的条件下，2x,2x－的范围 题干已给出f(x)的解析式，可根据解析式的求法求出f的解析式，即x－≤0时， f＝x－＋1，x－＞0时，f＝2x－ 运算2：0＜x≤时，f(x)＋f＝2x＋x－＋1＞1. 着眼点：解此不等式，可考虑函数y＝2x＋x＋在区间上的单调性，借助函数的最小值求解 f(x)＋ f＞1 根据f(x)和f的解析式写出f(x)＋f的解析式，再根据x的范围分类讨论 运算3：x≤0时，f(x)＋f＝x＋1＋x－＋1＞1. 着眼点：直接解不等式即可，注意不等式的解与条件x≤0取交集 运算4：并集运算 着眼点：最后x的取值范围是前3段求解结果并起来 [解析]　第一步　解x＞时，f(x)＋f＞1, 由题意得，当x＞时，f(x)＋f＝2x＋2x－＞1恒成立，即x＞； 第二步　解0＜x≤时，f(x)＋f＞1, 当0＜x≤时，f(x)＋f＝2x＋x－＋1＞1恒成立，即0＜x≤； 第三步　解x≤0时，f(x)＋f＞1， 当x≤0时，x＋1＋x－＋1＞1，解得x＞－，即－＜x≤0. 第四步　取并集计算x的取值范围 综上x的取值范围是. [答案]　 　　 分段函数与不等式问题的求解思路：依据分段函数的解析式，对不同范围的不同段分类讨论求解，最后将各段结果取并集．注意每段不等式结果与本段自变量的范围取交集得本段的最后结果． 2．设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是　________　. 解析：当x<1时，ex－1≤2，解得x≤1＋ln 2，所以x<1.当x≥1时，x≤2，解得x≤8，所以1≤x≤8. 综上可知x的取值范围是(－∞，8]． 答案：(－∞，8] 学科网（北京）股份有限公司 $