第2章 第4节 指数与指数函数-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第二章函数、导数及其应用 第4节指数与指数函数 ★[课程标准]1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，通过具体 实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画 出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.4在解决简单实际问题的过程中，体 会指数函数是一类重要的函数模型， 夯实必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 3.指数函数及其性质 1.有理指数幂 (1)概念：函数 称为指数函数，其 (1)一般地，a"中的a称为底数，n称为指数。 中指数x是自变量，函数的定义域是R,a是 (2)一般地，给定大于1的正整数n和实数a,如果 底数. 存在实数x,使得x”=a,则x称为a的n次 (2)指数函数的图像与性质 方根 a>1 0<a<1 ①0的任意正整数次方根均为0，记为0=0. ty ty ②正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反 /y=a' y=a 数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为 图像 (0,1) -.-y1 (0,1) -y=1 a,负的方根记为一a;负数的偶数次方根在实 01x 0 数范围内不存在. ③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为 定义域 R a.而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇 值域 数次方根是一个负数. 过定点 ,即x=0时，y=1 (3)当a有意义的时候，Va称为根式，n称为根指 数，a称为被开方数. 当x<0时， 一般地，根式具有以下性质： 当x>0时， ； ①6)=a.②石=1a,当n为奇数时， 性质 当x<0时， 当x>0时， Ial,当n为偶数时. (4)一般地，如果n是正整数，那么：当a有意义时， 在(-0∞，+∞)上是 在(-∞，十0∞) 规定a云=a;当a没有意义时，称a没有 上是 意义 重要结论 对于一般的正分数m,也可作类似规定，即a“ 1.(a)n=a(n∈N+). =(a)m=√am.但值得注意的是，这个式子在 〔a,n为奇数， 2.Va (a,a≥0，n为偶数. ”不是既约分数（即m,n有大于1的公因数）时 lal= -a,a<0, 可能会有歧义， 3.底数α的大小决定了图像相对位置的高低，不论是 负分数指数幂：若s是正分数，a有意义且a≠0 a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大，函数 时，规定。一力 图像越高。 自主诊断 (5)有理指数幂的运算法则：a'a'=a+t,(a)1=at, (ab)s=a'b*. ◆[思考辨析] 2.实数指数幂 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 一般地，当a>0且t是无理数时，a'都是一个确 里打“√”，错误的打“×”： 定的实数.因此，当a>0时，t为任意实数时，可 (1)a"与(a)"都等于a(n∈N+). 以认为实数指数幂a都有意义. (2)2a·20=2ab」 ·37· 高考总复习人教数学B版（新教材） (3)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.」 A.关于y轴对称 B.关于x轴对称 ( C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 (4)函数y=a+1(a>1)的值域是(0，十o∞). 3.已知函数y=a·2r和y=2x+b都是指数函数， ( 则a+b等于 () (5)函数y=2一x在R上为单调减函数.( A.不确定 B.0 ◆[小题查验] C.1 D.2 1.(教材改编)化简[（一2）6]一（一1）°的结果为 4.(2023·天津卷，3)若a=1.019.5,b=1.010.6,c =0.6.5,则a,b,c的大小关系为 () A.c>a>b B.c>b>a A.-9 B.7 C.-10 D.9 C.a>b>c D.b>a>c 2.在同一坐标系中，函数y=2x与y 的图 5.若指数函数f(x)=a'(a>0,且a≠1)在[一1,1] 像之间的关系是 上的最大值为2，则a= 跃升>关键能力 层级突破素养提升 专点1)根式与有理数指数幂的运算（基础点） 核心素养 1.化简4.6(号) 的结果为( 直观想象 函数图像在不等式中的具体应用 信息提取 信息解读 直观想象 A一品 B.-8a 存在正数x,即x>0, 将不等式2(x c- 存在 D.-6ab 体现在图像上就是y -a)<1变形为 正数x (V4ab-1)3 轴的右侧 (a>0,b (0.1)-1·(a3.b-3)2 >0) 题干给出的不等式 2x(x-a)<1不易求 3.计算： 27 +0.002-言-10(5-2)-1+x0 8 解，可转化为两个基 画出y 本初等函数构成不等 的图像 题后反思 式x-a< 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数 2r(x-a》 运算 <1成立 画出直线y= (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. 考虑利用初等函数的 x一a的图像， (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化 图像解决，即转化为直 满足在y轴的 成分数：底数是带分数的，先化成假分数. 线y=x-a在(0，十o∞) (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的 右侧，有一部 上，有一部分在曲线y 形式表示，运用指数幂的运算性质来解， 分在曲线y= 易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指 (2 的下方 2 的下方 数，也不能既有分母又含有负指数： 专点2指数函数的图像及应用（综合点） 根据在同一平 [典例](1)函数f(x)=1-ex的图像大致是( 面直角坐标系 亦：合下 求a的 观察图像，写出满足 内直线y=x 取值 的条件，即可求得 a与y=()月 范围 结果 的图像，列出有 (2)(2024·长春市模拟)若存在正数x使2x(x 一a)<1成立，则a的取值范围是 关a的不等式， ( A.(-∞，+∞) B.(-2,十∞) 求得结果 C.(0,+∞) D.(-1,+∞) ·38· 第二章函数、导数及其应用 (3)(2024·衡水市模拟)若曲线y=2x+1与直线 ◆[命题角度2】简单的指数方程或不等式的应用 y=b没有公共点，则b的取值范围是 2.(2024·济宁期末)若2x-2y<3x一3y,则 [尝试解答] (1) (2) (3) O[互动探究] A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0 1.若将本例(3)中“yl=2x+1”改为“y=|2x一1|”，且 C.Inlx-yl>0 D.Inlx-yl<0 与直线y=b有两个公共点，则b的取值范围是 ◆[命题角度3]探究指数型函数的性质 2.若将本例(3)改为：函数y=|2x一1在（一∞，k] 3.(多选)关于函数f(x)= 上单调递减，则k的取值范围是 论正确的是 3.若将本例(3)改为：直线y=2a与函数y=|a-1 A.图像关于y轴对称 (a>0且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范 B.图像关于原点对称 围是 C.在（一∞，0）上单调递增 方法指导 D.f(x)恒大于0 指数函数图像可解决的两类热点问题及思路 1 4x+3 (1)求解指数型函数的图像与性质问题 4.已知函数f(x)= 对指数型函数的图像与性质问题（单调性、最 3 值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应 (1)若a=一1，求f(x)的单调区间； 指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其 (2)若f(x)有最大值3，求a的值； 图像，然后数形结合使问题得解， (3)若f(x)的值域是(0，十o∞)，求a的值. (2)求解指数型方程、不等式问题 [思路导引门(1)遵循“同增异减”法则求f(x) 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利 的单调区间；(2)由于f(x)有最大值3，所以 用相应指数型函数图像数形结合求解 g(x)应有最小值一1，由此可求出a的值；(3)要 易错警示：应用指数函数的图像解决指数方 使f(x)的值域为(0，十∞)，应使g(x)=ax2 程、不等式问题以及指数型函数的性质，要注 4x+3的值域为R,由此可求出a的值. 意画出图像的准确性，否则数形结合得到的可 能为错误结论， 达跟踪训练 1.函数y=a2-号(a>0,且a≠1)的图像可能是 a B 规律总结 01 指数函数的性质及应用问题解题策略 (1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及 中间值(0或1)法. 2.方程2x=2一x的解的个数是 (2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决 春点3)指数函数的性质及应用（应用点） 此类问题应利用指数函数的单调性，要特别 ◆[命题角度1]比较指数式的大小 注意底数a的取值范围，并在必要时进行分 1.(2024·海南统考)下列大小关系不正确的是 类讨论. (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数 A.(-2.5)>(-2.5) 的概念和性质同函数的其他性质（如奇偶性 B()< 周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定 时，对底数的分类讨论。 c()<() C温馨提今 学习至此，请完成配套训练 课时冲关11 D.2.51.6>2-0.2 ·39高考总复习人教数学B版（新教材） =8,当且仅当x-1=号即x=4 综上可知：对于定义域内的任意x, 总有f(一x)= 一f(x)成立，函数 时，f(x)mn=8. f(x)为奇函数. (3)令√x十4=t,则t≥2，∴.x2=t 考点2命题角度11.B -4, 命题角度22.B 命题角度33.D 命题角度4 [典例门][解]第一步根据奇偶性 则h(t)在[2，十oo)上为增函数， 补全函数f(x)和g(x)在整个定义域 2y≤ 5 上的图像 ∴.h(t)nin=h(2)= 5 y=f(x)是 2 偶函数，y= =号(：=0时取等号).即y的最大 g(x)是奇函 数，根据函数 值为号 图像的奇偶 性画出y=f(x),y=g(x)在[-3,0] [答案] 号28(3号 上的图像如图所示， 第二步将分式不等式等价转化 跟踪训练 1. 2.3 f(x) g(x) <0等价于fx)>0, (g(x)<0 考点4命题角度11.B 命题角度22.B 或fx)<0, (g(x)>0, 命题角度3 第三步根据图像，分别解两个不等 式组 第3节 由图可知f(x)>0,g(x)<0时，一2< 夯实·必备知识必备知识 z<-1或0<x1, 1.y轴原点2.(1)f(x十T)=f(x) f(x)0,g(x)>0时，2<x3. (2)存在一个最小最小 第四步根据求解结果取并集 思考辨析(1)×(2)× (3)/ 可求得其解集是{x一2<x<一1或0 (4)/(5)/(6)/ <x1或2x3} 小题查验 考点3 1.B2.A3.-24.12 [典例门[解析](1)因为f(x)是定义在 5.(-2,0)U(2,5] R上的奇函数，所以f(0)=0,f(x)十 跃升·关键能力考点1 f(-x)=0,所以有 1.D2.D 3.解，1)由3之0得=3，解得 f(-)十f(+)-0, x2-3≥0 由f(+子)为偶函教可得： x=士5， 即函数f(x)的定义域为{一√3，W3}, (+是)=f(x+是) 从而f(x)=√3-x+√π-3=0. 因此f(-x)=-f(x)且f(-x) 故有f(+子)十f(-)=0, =f(x), ,函数∫(x)既是奇函数又是偶 f(+）)十f)=o. 函数. 即f(x)=- （2由2得定义线为(-1， -f(x十3)，故f(x)=f(x十3)，所以 0)U(0,1),关于原点对称. f(x)周期为T=3,则f(2)=f3-1)= x-2<0,.x-2-2=-x, f(-1)=-f(1)=-3.故f(2023)+ f(2024)=f(1)+f(2)=3-3=0. ∴f(x)=lg(1-x2) (2)f(x十2)是奇函数，故f(x十2)= 一x -f(-x+2),且f(2)=0. 又：f(-x)=lg[1-（-x)] f(x)是偶函数，故f(x十2) lg1-)=-f(x), =-f(-x十2)=-f(x-2), 则f(x十4)=-f(x), 函数f(x)为奇函数 f(x+8)=-f(x+4)=f(x), 函数周期为8， (3)显然函数f(x)的定义域为 f(x十2)=一f(一x十2)，故f(3) (-∞，0)U(0,十∞)，关于原点 f(1)=0,f(4)+f(0)=0,即f(4)= 对称. -1,f(5)=-f(1),f(6)=-f(2) 当x<0时，一x>0, 则f(-x)=-（-x)2-x=-x2-x =0,f(7)=-f(3),f(8)=f(0)= 1,故f(1)十f(2)十…+f(8)=0, =-f(x); f(1)十f(2)十·十f(2023)= 当x>0时，-x<0, -f(8)=-1. 则f(-x)=(-x)2-x=x 一x [答案](1)D(2)-1 =-f(x): 跟踪训练1.C2.5 ·416· 考点4命题角度1 1.A2.D3.AC 命题角度24.A 命题角度35.D6.AC 第4节 夯实·必备知识必备知识 3.(1)y=a(a>0且a≠1)(2)(0， +∞)(0,1)y>10<y<1y>1 0<y1增函数减函数 思考辨析(1)×(2)×(3) (4)×(5) 小题查验 1.B2.A3.C4.D5.2或2 跃升·关键能力考点1 1.c2g8-16 9 考点2 [典例](1)A[将函数解析式与图 像对比分析，因为函数f(x)=1一 e是偶函数，且值域是(-o∞，0]，只 有A满足上述两个性质.] (2)D[第一步将不等式2(x a)<1变形为两个基本初等函数构 成的不等式 不等式2(x-a)<1可变形为x-a <() 第二步 画出函 ↑y 数y=() 与 VE=x-d y=x一a的图像 在同一平面直角 坐标系内作出直 0 线y=x-a与y () 的图像.由题意，在(0， 十∞)上，直线有一部分在曲线的 下方， 第三步观察图像，列出有关Q满足 的条件 观察可知，有一a<1,所以a>一1. (3)[解析]曲线 1y=2+1与直 线y=b的图像如 图所示，由图像 1 可得：如果y= 2 y=-2-1 2十1与直线y= b没有公共点，则b应满足的条件是 b∈[-1,1]. [答案][-1,1] 互动探究 1.解析：曲线y=2一1 与直线y=b的图 像如图所示，由图像 可得，如果曲线y= |2一1|与直线y=b有两个公共点， 则b的取值范围是(0,1) 答案：(0,1) 2.解析：因为函数y=2一1的单调递 减区间为（一∞，0]，所以k0,即k的 取值范围为(-∞，0]. 答案：（一∞，0] 3.解析：y=a-1的图像是由y=a跃升·关键能力考点1 先向下平移1个单位，再将x轴下方 的图像沿x轴翻翩折过来得到的， 1.AD2.-73.-2 43 atb 当a>1时，两图像只有一个交点，不考点2 合题意，如图(1)； [母题] B[法一： 当0<a<1时，要使两个图像有两个 构造函数f(x)=4 2 交点，则0<2a<1,得到0<a<2, 和g(x)=logx,当f) a>1时不满足条 如图(2) 件，当0<a<1时， re2a [y 画出两个函数在 g(x) (,]上的图徐 图(1) 图(2) 可知，（）<（）脚< 综上，a的取值范围是 0,2) 1 og,则a>兰，所以a的取值范 答案：(0,2) 跟踪训练1.D2.1 用为( 考点3命题角度1 1.C 1 法二：r0<≤21<4≤2， 命题角度22.A 命题角度33.ACD .logx>4>1, 4.解：(1)当a=-1时， ∴.0<a<1,排除选项C,D: 1 1 f(x) () x2-4x+3 取a=x= 令g(x)=-x2-4x十3， 则有位=2，lg合=1，显然华< 由于g(x)在(-∞，一2)上单调递 logx不成立，排除选项A.] 增，在（一2，十∞）上单调递减，而y [子题1]解析：由x2-log。x<0,得 =(仔)在R上单调递减， 2<log, 所以f(x)在(-∞，-2)上单调递 f()=x2,f (x)=logI, 减，在（一2，十○）上单调递增，即函数 f(x)的单调递增区间是（一2，十∞），单 要使x∈(@，合）时，不等式t< 调递减区间是（一∞，一2）. logx恒成立， (2)令g(x)=a.x2-4x十3， 只需f(x)=x在(0，)上的图像 在f2(x)=logx图像的下方即可. 由于∫(x)有最大值3，所以g(x)应 当a>1时，显然不成立； 有最小值一1， 当0<a<1 y f(x)=x2 a0. 时，如图所示， 因此必有 3a-4 要使x2< =-1, logx在x∈ 0 解得a=1,即当f(x)有最大值3时， 2f(x)=logx a的值等于1. (0,)上恒 (3)由指数函数的性质知， 成立，需（合）下（合） 要使y=（3) 的值域为(0，十∞)， 应使g（x)=az一4x十3的值域 所以有（合）≤，解得a≥ 为R, 因此只能a=0.(因为若a≠0，则 g(x)为二次函数，其值域不可能为 R).故a的值为0. 即实数a的取值范周是[品)月 第5节 答案：[61) 夯实·必备知识必备知识 [子题2]解析：若 3.(1)0 1 N b (2)log,M+log N log M-log,N nlog,M (3)log,N √E<logx在x∈ log,N log d 4.(2)(0,+∞) R (0,]成立，0 20 log b 011 (1,0) y>0y<0y0y>0 <a<1,且y=√E 4 的图像在y=logx y=log,x 增函数减函数 思考辨析(1)× (2)× (3)× 图像的下方，如图所示， (4)/(5) 由圈你期√F<bg子 1 小题查验 1.C2.C3.D 4(学] 0a<1, 1 1.解得6<a<1. 5.(3,2) a> 4 ·417 参考答案 即实数a的取值范国是（品。1） 答案：（品）】 [子题3]解析：如 图，在同一坐标系 中分别作出y= f(x)与y=-x十 a的图像，其中a 表示直线在y轴 上的裁距，由图可知，当a>1时，直 线y=一x十a与y=f(x)只有一个 交点。 答案：a>1 考点3命题角度11.A2.B 命题角度2 命题角度3 [j 命题角度4 5【-1,2] 第6节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)y=x°(3)[0，+∞)[0，+∞) {yy≠0}奇奇在(-o∞，0]上单 调递减，在[0，十∞)上单调递增在R 上单调递增在[0，十∞)上单调递增 在（一○，0）和(0，十∞)上单调递减 (1,1)2.(1)反函数(2)y=1(x) 值域定义域y=x(3)存在增函 数减函数 思考辨析(1)×(2)/(3)X (4)×(5)×(6)× 小题查验 1.C2.B3.A4.C5.1或2 跃升·关键能力 考点1 1.C2.D3.B (-,-1U(台受)】 考点2命题角度1 [典例1][解](1)y=lgx的底数为 10,它的反函数为指数函数y=10. (2)由y=5x+1,得x=1,所以反函 5 数为y写号E (3)y=(√2)的底数为√2，它的反函 数为对数函数y=log(x>0). (4)由y=x得x=士√. 因为x0,所以x=一√y.所以反函数 为y=-√(x≥0). 命题角度2[典例2](1)C[由 f(x)=3-1,可得f1(x)=logx十 1,.图像为C.] (2)[解]因为y=a十b的图像过 点(1,4)， 所以a十b=4.① 又因为y=a"十b的反函数图像过，点 (2,0), 所以点(0,2)在原函数y=a十b的 图像上. 所以a°十b=2.② 联立①②得a=3,b=1.