第1章 第5节 不等式的解集（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式的解集核心考点，涵盖不等式组的解集、绝对值不等式解法及数轴距离与中点公式，按概念-方法-应用逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破不等式求解难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以数学运算和逻辑推理为核心素养导向，创新采用“原则归纳+分类讨论”教学策略，如解绝对值不等式时通过“同大取大”等原则及分类讨论法培养学生思维。设置分层练习与即时反馈，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第5节　不等式的解集 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.会求解一元一次不等式及一元一次不等式组的解集 2．能借助绝对值的几何意义求解含绝对值的不等式的解集 求解不等式的解集与不等式组的解集，提升数学运算的核心素养， 解绝对值不等式达成逻辑推理和数学运算的核心素养 求解不等式的解集与不等式组的解集，解绝对值不等式等是高考的热点，常与其他知识结合命题，各种题型均有可能出现，难度中等属于低中档题 1．不等式的解集与不等式组的解集 (1)不等式的解集：不等式的　所有解　组成的集合． (2)不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的　交集　称为不等式组的解集． 微思考 若不等式无解，其解集怎么表示？ 提示：若不等式无解，则其解集可表示为∅. 2．绝对值不等式 (1)一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． (2)当m>0时， 关于x的不等式|x|>m的解集为　(－∞，－m)∪(m，＋∞)　； 关于x的不等式|x|<m的解集为　(－m，m)　. 3．数轴上两点间的距离及中点坐标公式 (1)距离公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为　|a－b|　. (2)中点坐标公式：A(a)，B(b)，线段AB的中点M对应的数为x，则x＝　　. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)在数轴上从点A(－2)引一线段到B(1)，再同向延长同样的长度到C，则点C的坐标为4 .(　　 ) (2)不等式的解为x<－2.(　　 ) (3)设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的充分而不必要条件．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× ◆[小题查验] 1．不等式组的解集在数轴上表示为(　　) 解析：C　[解不等式2x－1≥5，得x≥3，解不等式8－4x＜0，得x＞2，故不等式组的解集为[3，＋∞)．] 2．集合M＝{x|x>0，x∈R}，N＝{x||x－1|≤2，x∈Z}，则M∩N＝(　　) A．{x|0<x≤2，x∈R} B．{x|0<x≤2，x∈Z} C．{－1，－2,1,2} D．{1,2,3} 解析：D　[由题得N＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}＝{－1,0，1,2,3}，所以M∩N＝{1,2,3}．] 3．不等式|x＋1|<5的解集为　________　. 解析：|x＋1|<5⇒－5<x＋1<5⇒－6<x<4. 答案：{x|－6<x<4} 4．不等式|x－2|≤|x|的解集是　________　. 解析：|x－2|≤|x|⇔(x－2)2≤x2⇔4－4x≤0⇔x≥1. 答案：{x|x≥1} 5．不等式组的解集为　________　. 解析：记原不等式组为 解不等式①，得x≤1.解不等式②，得x≥－4.故原不等式组的解集为[－4,1]． 答案：[－4,1] 　不等式组的解集 [典例]　解不等式组，并把解集在数轴上表示出来： (1)(2) [解]　分别求出各不等式的解集，再求出各个解集的交集，并在数轴上表示出来即可． (1)解不等式2x＋3>1，得x>－1， 解不等式x－2<0，得x<2， 则不等式组的解集为{x|－1<x<2}． 将解集表示在数轴上如图所示： (2)解不等式x－>，得x>2， 解不等式x＋8<4x－1，得x>3， 则不等式组的解集为{x|x>3}， 将不等式组的解集表示在数轴上如图所示： 一元一次不等式组的求解策略 熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此类问题的关键． 　解下列不等式组： (1) (2) 解：(1)解不等式①，得x＜－6，解不等式②，得x≥2.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为∅. (2)解不等式①，得x＞－，解不等式②，得x≤，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 由图可知不等式组的解集为. 　解绝对值不等式 ◆[命题角度1]　含有一个绝对值号不等式的解法　 [典例1]　 解下列不等式： (1)|2x＋5|＜7；(2)|2x＋5|＞7＋x； (3)2≤|x－2|≤4. [解]　(1)原不等式等价于－7＜2x＋5＜7. 所以－12＜2x＜2，所以－6＜x＜1，所以原不等式的解集为(－6,1)． (2)由不等式|2x＋5|＞7＋x， 可得2x＋5＞7＋x或2x＋5＜－(7＋x)，所以x＞2或x＜－4. 所以原不等式的解集为(2，＋∞)∪(－∞，－4)． (3)原不等式等价于 由①得x－2≤－2，或x－2≥2， 所以x≤0，或x≥4. 由②得－4≤x－2≤4，所以－2≤x≤6. 所以原不等式的解集为[－2,0]∪[4,6]． ◆[命题角度2]　含有两个绝对值号不等式的解法　 [典例2]　 解下列不等式： (1)|x－1|＞|2x－3|；(2)|x－1|＋|x－2|＞2；(3)|x＋1|＋|x＋2|＞3＋x. [解]　(1)因为|x－1|＞|2x－3|， 所以(x－1)2＞(2x－3)2， 即(2x－3)2－(x－1)2＜0， 所以(2x－3＋x－1)(2x－3－x＋1)＜0， 即(3x－4)(x－2)＜0，所以＜x＜2.即原不等式的解集为. (2)原不等式⇔或或⇔或或⇔x＜或x＞，所以原不等式的解集为∪. (3)原不等式⇔或或⇔或或⇔x＜－2或x＞0. 所以原不等式的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)． 含有绝对值的不等式的解题策略 解含有绝对值的不等式，总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式，但要根据所求不等式的结构，选用恰当的方法．此题中有两个绝对值符号，故可用绝对值的几何意义来求解，或用分区间讨论法求解，还可构造函数利用函数图像求解． 1．解不等式3≤|x－2|<4. 解：原不等式等价于 由①，得x－2≤－3，或x－2≥3，∴x≤－1，或x≥5. 由②，得－4<x－2<4，∴－2<x<6. 如图所示，原不等式的解集为{x|－2<x≤－1，或5≤x<6}． 2．不等式|x＋3|－|x－3|＞3的解集是(　　) A.　　　　　　　 B. C．{x|x≥3} D．{x|－3＜x≤0} 解析：A　[当x＜－3时，－(x＋3)＋(x－3)＞3，－6＞3，无解．当－3≤x≤3时，x＋3＋x－3＞3，所以x＞，故＜x≤3.当x＞3时，x＋3－(x－3)＞3,6＞3，所以x＞3.综上可知原不等式的解集为.] 　数轴上的基本公式及应用 [典例]　已知数轴上的三点A、B、P的坐标分别为A(－1)，B(3)，P(x)． (1)点P到A，B两点的距离都是2时，求P(x)，此时P与线段AB是什么关系？ (2)在线段AB上是否存在一点P(x)，使得P到A和B的距离都是3？若存在，求P(x)，若不存在，请说明理由． [解]　根据数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式求解． (1)由题意知可以化为或或或解得x＝1. ∴点P的坐标为P(1)，此时P为AB的中点． (2)不存在这样的P(x)，理由如下： ∵AB＝|3－(－1)|＝4<6， ∴在线段AB上找一点P使PA＋PB＝3＋3＝6是不可能的． 数轴上基本公式的应用 (1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式求相应点的坐标； (2)中点坐标公式可以解决三点共线问题．其中已知两点坐标，可用公式求第三点的坐标． 已知数轴上有点A(－2)，B(1)，D(3)，点C在射线BA上，且有＝，问在线段CD上是否存在点E使＝？如存在，求点E坐标，如不存在，请说明理由． 解：设C(x)，E(x′)，则＝＝，x＝－5，所以C(－5)， ∵E在线段CD上，所以＝＝，4x′＋20＝3－x′，x′＝－∈(－5,3)，∴在线段CD上存在点E，使＝. 学科网（北京）股份有限公司 $