第1章 第7节 均值不等式及其应用（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

该高中数学讲义围绕均值不等式及其应用高考核心考点，按“概念-性质-方法-应用”逻辑梳理知识，涵盖算术与几何平均值、最值条件及四大求最值方法，通过考点精讲、方法归类、真题训练（含2022全国甲卷等）环节，帮助学生系统构建解题框架，体现复习的系统性与针对性。 资料以逻辑推理和数学运算素养为核心，创新设计“四步突破法”（配凑、常数代换等），如常数代换法中“1”的代换专项训练，结合分层练习（基础小题到综合应用）和即时反馈，确保高效突破难点。助力学生提升应考能力，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

第7节　均值不等式及其应用 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.掌握均值不等式≤(a，b≥0)． 2．结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题 1.利用均值不等式求最值，达成逻辑推理和数学运算素养． 2．均值不等式的实际应用，发展数学建模和数学运算素养． 3．均值不等式的综合应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　利用均值不等式求函数的最值，不等式的变形，构造基本不等式的形式，不等式的证明及利用不等式解决实际问题等是高考的热点，各种题型均有可能出现，难度中等，属于低中档题 1．算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数　　称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值． 2．均值不等式 如果a，b都是正数，那么　≥　，当且仅当a＝b时，等号成立． 3．均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最　大　值. (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最　小　值2. 即：两个正数的积为常数时，它们的和有　最小　值； 两个正数的和为常数时，它们的积有　最大　值． 　几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　 ) (2)ab≤2成立的条件是ab＞0.(　　 ) (3)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　 ) (4)若a＞0，则a3＋的最小值是2.(　　 ) (5)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．设a>b>0，下列不等式不正确的是(　　 ) A．ab<　　　　　　 B．ab<2 C.> D． > 解析：C　[由a2＋b2≥2ab，a＋b≥2及a>b>0知，>ab，ab<2，选项A、B正确.<＝，选项D正确．] 2．(教材改编)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　 ) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 解析：C　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3.] 3．若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为(　　) A．9 B．18 C．36 D．81 解析：A　[因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．] 4．(2022·全国甲卷，16)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝　________　. 解析：令BD＝t，以D为坐标原点，DC为x轴建立直角坐标系(图略)，则C(2t,0)，A(1，)，B(－t,0)． ＝＝4－≥4－2. 当且仅当t＋1＝，即BD＝－1时取等号，即取得最小值． 答案：－1 5．(教材改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为　______　 m，宽为　______　 m时菜园面积最大． 解析：设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤2＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号． 答案：15　 　利用均值不等式求最值(重难点) ◆[命题角度1]　配凑法　 [典例1]　(1)(2024·泉州检测)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. [解析]　B　[因为0<x<1，所以x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立．] (2)函数y＝(x>1)的最小值为　________　. [解析]　y＝＝ ＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立． [答案]　2＋2 　　 通过拼凑法求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用均值不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． [命题角度2]　常数代换法　 [典例2]　若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　) A．8　　 B．6　　 C．4　　 D．2 核心素养 数学运算——均值不等式应用中的核心素养 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．应用均值不等式求最值就极大地提升了数学运算的核心素养． 信息提取 信息解读 数学运算 已知条件a>0，b>0，lg a＋lg b ＝lg(a＋b) 由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1 着眼点一(对数的运算性质)：由lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b) ，即ab＝a＋b. 着眼点二(等式的恒等变形)：再由ab＝a＋b，得＋＝1. 着眼点三(“1”代换)：a＋b＝(a＋b)＝2＋＋. 着眼点四(均值不等式的应用)：2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立 求a＋b的最小值 利用常数“1”代换的方法，将a＋b的变形为a＋b＝(a＋b)＝2＋＋，在利用均值不等式求其最小值 [解析]　C　[由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4.] 　　 常数代换法求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用均值不等式求解最值． ◆[命题角度3]　消元法　 [典例3]　(1)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为　________　. [解析]　法一　(换元消元法)：由已知得x＋3y＝9－xy，因为x＞0，y＞0，所以x＋3y≥2， 所以3xy≤2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0. 令x＋3y＝t，则t＞0且t2＋12t－108≥0， 得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 法二(代入消元法)：由x＋3y＋xy＝9， 得x＝，所以x＋3y＝＋3y＝ ＝＝ ＝3(1＋y)＋－6≥2－6 ＝12－6＝6.即x＋3y的最小值为6. [答案]　6 (2)(2024·天津静海一中校考模拟)若a，b∈R，且b2－a2＝1，则的最大值为　___________　. [解析]　由题知，a，b∈R，且b2－a2＝1，即b2＝a2＋1，所以＝， 当|a|＝0时，b2＝1，即b＝±1，此时＝±1， 所以的最大值为1； 当|a|≠0时，2＝＝1＋≤1＋＝2，当且仅当|a|＝1时取等号，此时－≤≤； 所以的最大值为. 综上，的最大值为. [答案]　 　　 消元法求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用均值不等式求最值． ◆[命题角度4]　利用两次均值不等式求最值　 [典例4]　已知a>b>0，那么a2＋的最小值为　________　. [解析]　由a>b>0，得a－b>0， ∴b(a－b)≤2＝. ∴a2＋≥a2＋≥2 ＝4， 当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号． ∴a2＋的最小值为4. [答案]　4 　　 利用两次均值不等式求最值的注意点 当连续多次使用均值不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性． 1．(2024·济宁模拟)已知实数a，b满足ab＞0，则－的最大值为(　　) A．2－ B．2＋ C．3－2 D．3＋2 解析：C　[∵ab＞0，∴－＝＝ ＝≤＝3－2， 当且仅当＝时取等号，此时取得最大值为3－2.] 2．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在mx＋ny＋2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为　________　. 解析：当x＝－2时，y＝loga(－2＋3)－1＝－1，即定点A的坐标为(－2，－1)，于是有－2m－n＋2＝0，即m＋＝1，＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即n＝m＝2(－1)时取等号，因此＋的最小值是. 答案： 3．(2024·许昌、洛阳第三次质量检测)已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为　________　. 解析：因为＋＝1，所以xy＝y＋2x，xy＋x＋y＝3x＋2y＝(3x＋2y)·＝7＋＋≥7＋4(当且仅当y＝x，即x＝1＋，y＝2＋时取等号)， 所以xy＋x＋y的最小值为7＋4. 答案：7＋4 　均值不等式的实际应用(重难点) [典例]　如图，有一块边长为1(单位：百米)的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设∠PAB＝θ，tan θ＝t. (1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值； (2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为多少？ [破题关键点]　 (1)先用t表示出CP 和CQ，再利用勾股定理表示出 PQ；(2)根据S＝S正方形ABCD－S△ABP－S△ADQ，用t表示出面积S，再利用均值不等式求出S的最大值． [解]　(1)由tan θ＝＝t，得BP＝t(0≤t≤1)， 可得CP＝1－t. ∵∠DAQ＝45°－θ，∴DQ＝tan(45°－θ)＝， CQ＝1－＝， ∴PQ＝＝ ＝，∴△CPQ的周长l＝CP＋CQ＋PQ ＝1－t＋＋＝2为定值． (2)∵S＝S正方形ABCD－S△ABP－S△ADQ ＝1－－× ＝2－≤2－， 当且仅当t＋1＝，即t＝－1时等号成立． ∴探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为(2－)平方百米． 　　 在利用均值不等式解决实际问题时，一定要注意所涉及变量的取值范围，即定义域．若使基本不等式等号成立的变量值不在定义域内时，则要研究函数的单调性，利用单调性求最值． (2024·杨浦区模拟)如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开． (1)设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域； (2)怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？ 解：(1)设场地面积为y，垂直于墙的边长为x， 它的面积y＝x(l－3x)， 由x＞0，且l－3x＞0，可得函数的定义域为. (2)y＝x(l－3x)＝×3x(l－3x)≤×2＝，当x＝时，这块长方形场地的面积最大， 这时的长为l－3x＝，最大面积为. 　　　均值不等式的综合应用(重难点) [典例]　(1)(2024·临汾模拟)若m＞n＞0，a＝，b＝(em＋en)，c＝e，则(　　 ) A．b＞a＞c　　　　 B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a (2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是　________　. [解析]　　(1)∵m＞n＞0，∴m＋n＞2， ∴＞， ∴a＝＝＞，又b＝(em＋en)＞＝a，∴b＞a＞c. (2)对任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－＋3. 设g(x)＝x＋，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝. ∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝.∴－＋3≤－，∴a≥－，故a的取值范围是. [答案]　(1)A　(2) 　　 综合应用均值不等式的重点题型与求解策略 题型 求解策略 判断或证明不等式或比较大小 对所给不等式(或式子)变形，然后利用均值不等式求解 求参数的值或范围 观察题目特点，利用均值不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围 与函数、数列、解析几何等其他知识结合的问题 利用已知条件进行转化，再利用均值不等式求解 1．若不等式≤a≤在t∈(0,2]上恒成立，则a的取值范围是(　　 ) A. B. C. D． 解析：D　[＝，而t＋在(0,2]上单调递减，故t＋≥2＋＝，＝≤(当且仅当t＝2时等号成立)，＝＋＝22－，因为≥，所以＝＋＝22－≥1(当且仅当t＝2时等号成立)，故a的取值范围为.] 2．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：A　[由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0， 解得q＝2或q＝－1(舍去)． 因为＝4a1，所以qm＋n－2＝16， 所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6. 所以＋＝(m＋n) ＝≥＝. 当且仅当＝时，等号成立， 又m＋n＝6，解得m＝2，n＝4，符合题意． 故＋的最小值为.] 学科网（北京）股份有限公司 $