第1章 第4节 不等式及其性质（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式及其性质核心考点，涵盖比较大小、性质应用等高考热点，按“基础比较—性质梳理—常用结论”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导（如作差法）、真题训练（如2022上海卷）、分层练习（思考辨析、小题查验）等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破难点。 资料突出数学建模、逻辑推理与数学运算素养培养，如通过实际问题列不等式组发展建模能力，用“作差变形定号”比较大小强化逻辑推理，采用整体代换法求代数式范围提升运算精度。设计典例互动探究和梯度练习，确保学生高效掌握解题策略，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第4节　不等式及其性质 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用 1.用不等式(组)表示不等关系，达成数学建模素养 2．比较两个数(式)的大小，发展逻辑推理和数学运算素养 3．不等式的性质及应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　不等关系、不等式的性质及应用是高考的热点，高考中常以不等式、不等关系为载体考查充要条件问题，有时以新概念(定义)比较两个数的大小，题型多以选择题为主，题目难度不会太大 1．比较实数a，b的大小 (1)文字叙述 如果a－b是正数，那么a　>　b；如果a－b等于零， 那么a　＝　b；如果a－b是负数，那么a　<　b，反过来也对． (2)符号表示 a－b>0⇔a　>　b；a－b＝0⇔a　＝　b；a－b<0⇔a　<　b. 2．不等式的性质 性质1：如果a>b，那么a＋c　>　b＋c. 性质2：如果a>b，c>0，那么ac　>　bc. 性质3：如果a>b，c<0，那么ac　<　bc. 性质4：如果a>b，b>c，那么a　> C．(传递性) 性质5：如果a>b，则b＜a；反之如果b＜a，则a＞b. 推论1：如果a＋b>c，则a　>　c－b.(不等式的移项法则) 推论2：如果a>b，c>d，那么a＋c　>　b＋d.(同向可加性) 推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac　>　bd. 推论4：如果a>b>0，那么an　>　bn(n∈N，n>1)． 推论5：如果a>b>0，那么　>　. 不等式的一些常用性质 1．倒数性质 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2．有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 (1)真分数的性质 <；>(b－m>0)． (2)假分数的性质 >；< (b－m>0)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　 ) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　 ) (3)同向不等式具有可加和可乘性．(　　 ) (4)a＞b＞0，c＞d＞0⇒＞.(　　 ) (5)若ab＞0，则a＞b⇔＜.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．(教材改编)设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　 ) A．M>N　　　　　　　 B．M＝N C．M<N D．与x有关 解析：A　[M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，所以M>N.] 2．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是(　　 ) A．v<40 km/h B．v>40 km/h C．v≠40 km/h D．v≤40 km/h 解析：D　[由汽车的速度v不超过40 km/h，即小于等于40 km/h.即v≤40 km/h.] 3．(教材改编)已知a，b，c满足c<b<a且ac<0，则下列选项中不一定能成立的是(　　 ) A.< B.>0 C.< D．<0 解析：C　[因为c<b<a，且ac<0，所以c<0，a>0，所以<，>0，<0，但b2与a2的关系不确定，故<不一定成立．] 4．(教材改编)若－<α<β<，则α－β的取值范围是　________　. 解析：由－<α<，－<－β<，α<β，得－π<α－β<0. 答案：(－π，0) 5．已知a>b>0，且c>d>0，则 与 的大小关系是　________　. 解析：∵a>b>0，c>d>0，∴>>0， ∴>. 答案： > 　　　用不等式(组)表示不等关系(基础点) 1．已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表： 　　　　食物种类 维生素类型　　　　 甲 乙 维生素A(单位/kg) 600 700 维生素B(单位/kg) 800 400 设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成至多100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和62 000单位维生素B，则x，y应满足的所有不等关系为　________　. 解析：依题意，有 整理化简得 答案： 2．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为　________　. 解析：若提价后商品的售价为x元，则销售量减少×10件，因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.即x2－28x＋190≤0，同时10≤x≤20. 答案：x2－28x＋190≤0(10≤x≤20) 用不等式(组)表示不等关系的常见类型及解题策略 (1)常见类型 ①常量与常量之间的不等关系； ②变量与常量之间的不等关系； ③函数与函数之间的不等关系； ④一组变量之间的不等关系． (2)解题策略 ①分析题目中有哪些未知量； ②选择其中起关键作用的未知量，设为x，再用x来表示其他未知量； ③根据题目中的不等关系列出不等式(组)． 提醒：(1)在列不等式(组)时要注意变量自身的范围，解题时极易忽略，从而导致错解． (2)将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号语言之间的正确转换，常见的转换关系如表： 文字语言 大于， 高于， 超过 小于， 低于， 少于 大于等 于，至 少，不 低于 小于等 于，至 多，不 超过 符号语言 > < ≥ ≤ 　　　比较两个数(式)的大小(重难点) [典例]　(1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　 ) A．M<N　　　　　　　 B．M >N C．M＝N D．不确定 (2)已知a≠1且a∈R，试比较与1＋a的大小． [解析]　(1)B　[因为M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)， 又a1，a2∈(0,1)，所以a1－1<0，a2－1<0， 所以(a1－1)(a2－1)>0，所以M ＞N.] (2)解：∵－(1＋a)＝， ①当a＝0时，＝0，∴＝1＋a. ②当a<1，且a≠0时，>0，∴>1＋a. ③当a>1时，<0，∴<1＋a. [互动探究] 若将本例(1)中a1，a2∈(0,1)这个条件去掉，又将如何判断M，N的关系？ 解：作差，即M－N＝(a1－1)(a2－1)． ①当a1，a2∈(－∞，1)时，(a1－1)(a2－1)>0， 即M >N； ②当a1，a2∈(1，＋∞)时，(a1－1)(a2－1)>0， 即M >N； ③当a1，a2中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，(a1－1)(a2－1)≤0，即M≤N. 综上，当a1，a2∈(－∞，1)或a1，a2∈(1，＋∞)时，M>N，当a1，a2中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，M≤N. 　　 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 已知实数a、b、c，满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是(　　 ) A．c≥b＞a B．a＞c≥b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 解析：A　[∵c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0， ∴c≥b.∵(b＋c)－(c－b)＝2a2＋2，∴b＝a2＋1， ∴b－a＝a2－a＋1＞0，∴b＞a.] 　不等式的性质及应用 ◆[命题角度1]　判断或证明不等式是否成立(基础点)　 1．(2022·上海卷)若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是(　　) A．a＋d＞b＋c B．a＋c＞b＋d C．ac＞bd D．ad＞bc 解析：B　[对于A，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a＞b＞c＞d，但a＋d＝b＋c，故A错误； 对于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d，∴由不等式的可加性可得，a＋c＞b＋d，故B正确； 对于C，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C错误； 对于D，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D错误．] 2．若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc； ②＋＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是(　　 ) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析：C　[法一：∵a＞0＞b，c＜d＜0， ∴ad＜0，bc＞0， ∴ad＜bc，故①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0.∵c＜d＜0， ∴－c＞－d＞0， ∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴＋＝＜0，故②正确． ∵c＜d，∴－c＞－d.∵a＞b， ∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确． 法二：取特殊值．] (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质． (2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等． ◆[命题角度2]　求某些代数式的取值范围(综合点)　 [典例]　设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是　________　. [破题关键点]　一是将f(－2)用f(－1)和f(1)表示出来；二是求f(－2)＝4a－2b在即在条件下的最值． [解析]　法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1) (m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b. 于是得，解得， ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. 法二：由， 得， ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. [答案]　[5,10] 　利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是　________　，3x＋2y的取值范围是　________　. 解析：∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2， ∴－4<x－y<2. 由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12 4<2y<6， ∴1<3x＋2y<18. 答案：(－4,2)　(1,18) 学科网（北京）股份有限公司 $