第1章 第2节 命题与量词、充分条件与必要条件（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

该高中数学讲义围绕命题与量词、充分条件与必要条件高考核心考点，按概念定义、关系判定、量词应用逻辑层次架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建知识网络，突破逻辑推理难点，体现复习系统性与针对性。 资料以逻辑推理和数学抽象素养为导向，设计思考辨析、分层练习等活动，如通过集合包含关系转化求参数范围培养推理能力，设置基础到综合题组训练。助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径，提升应考能力。

第2节　命题与量词、充分条件与必要条件 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义． 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 1..全称量词命题、存在量词命题的真假判断，达成直观想象和逻辑推理的素养． 2．含有一个量词的命题的否定，形成和发展数学抽象的素养． 3．充分、必要条件的判断与应用，提升数学抽象和逻辑推理的素养 　　全称量词命题、存在量词命题的真假判断以及对含有一个量词的命题进行否定及充分、必要条件的判断是高考的热点，题型多以选择题或填空题的形式出现，一般难度不会太大，属中低档题型，常和函数、不等式及立体几何中直线、平面的位置关系等有关知识相结合，考查考生的逻辑推理等能力 1．命题的概念 可供真假判断的陈述语句就是命题．其中判断为真的语句称为　真命题　，判断为假的语句称为　假命题　. 2．充分条件、必要条件与充要条件的概念 p是q的　充分条件　，q是p的　必要条件　 p⇒q p是q的　充分不必要　条件 p⇒q且q p p是q的　必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的　充要　条件 p⇔q p是q的　既不充分也不必要　条件 p q且qp 3.全称量词和存在量词 (1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体．用符合“∀”表示． (2)存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分． 4．全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量 词命题 “对集合M中所有元素x，r(x)” 　∀x∈M，r(x)　 　∃x∈M，綈p(x)　 存在量 词命题 “存在集合M中所有元素x，s(x)” 　∃x0∈M，s(x0)　 　∀x∈M，綈p(x)　 　若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)命题綈p的否定是p.(　　 ) (2)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．(　　) (3)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.(　　) (4)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相同．(　　 ) (5)“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．(　　 ) (6)“对顶角相等”是全称量词命题．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．(教材改编)命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是(　　) A．∃x∈R，ex－1≥x B．∀x∈R，ex－1≤x C．∃x∈R，ex－1<x D．∀x∈R，ex－1<x 答案：C 2．(多选)(教材改编)下列命题中为真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈R，－1≤sin x≤1 C．∃x∈R,2x<0 D．∃x∈R，tan x＝2 答案：BD 3．(2022·浙江卷，4)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[若sin x＝1，则x＝＋2kπ，k∈Z，cos x＝0；若cos x＝0，则x＝＋kπ，k∈Z，sin x＝1或sin x＝－1.若sin x＝1可推出cos x＝0，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故为充分不必要条件．] 4．(教材改编)若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是　________　. 答案：(3，＋∞) 5．下列命题： ①若ac2>bc2，则a>b； ②若sin α＝sin β，则α＝β； ③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件； ④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数． 其中正确命题的序号是　________　. 解析：对于①，∵ac2>bc2，∴c2>0，∴a>b正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒ / 30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1， 即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1， 所以③正确；④显然正确． 答案：①③④ 　　　命题真假的判断(重难点) [典例]　(1)(多选)(2024·山东省高三模拟)下列结论正确的是(　　) A．若tan α＝2，则cos 2α＝ B．若sin α＋cos β＝1，则sin2α＋cos2β≥ C．“∃x0∈Z，sin x0∈Z”的否定是“∀x∈Z，sin x∉Z” D．将函数y＝|cos 2x|的图像向左平移个单位长度，所得图像关于原点对称 [解析]　BC　[tan α＝2，则cos 2α＝＝＝－，故A错误；sin α＋cos β＝1，则sin2α＋cos2 β＝sin2α＋(1－sin α)2＝22＋≥，B正确； 根据存在量词命题的否定是全称量词命题：“∃x0∈Z，sin x0∈Z”的否定是“∀x∈Z，sin x∉Z”，故C正确；将函数y＝|cos 2x|的图像向左平移个单位长度，得到y＝＝|sin 2x|为偶函数，故D错误．] (2)(多选)(2024·山东省高三模拟)下列命题正确的是(　　) A．若随机变量X～B(100，p)，且E(X)＝20，则D＝5 B．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减f(1)＝0，则不等式f(log2x)＞0的解集为 C．已知x∈R，则“x＞0”是“|x－1|＜1”的充分不必要条件 D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为＝0.3x－m，若样本中心点为(m，－2.8)，则m＝4 [解析]　BD　[对A，∵E(X)＝20，∴100 p＝20⇒p＝，∴D(X)＝100··＝16，∵D＝D(X)＝4，故A错误；对B，∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(|x|)＝f(x)，∵f(log2x)＞0⇔f(|log2x|)＞f(1)，∴|log2 x|＜1⇔－1＜log2x＜1⇔＜x＜2，故B正确； 对C，∵|x－1|＜1⇔0＜x＜2，∴“x＞0”推不出“0＜x＜2”，而“0＜x＜2”可以推出“x＞0”，∴“x＞0”是“|x－1|＜1”的必要不充分条件，故C错误；对D，∵样本中心点为(m，－2.8)，∴0.3·m－m＝－2.8⇒m＝4，故D正确．] (3)(多选)已知函数f(x)＝x－，g(x)＝acos ＋5－2a，(a＞0)．给出下列四个命题，其中是真命题的为(　　) A．若∃x∈[1,2]，使得f(x)＜a成立，则a＞－1 B．若∀x∈R，使得g(x)＞0恒成立，则0＜a＜5 C．若∀x1∈[1,2]，∀x2∈R，使得f(x1)＞g(x2)恒成立，则a＞6 D．若∀x1∈[1,2]，∃x2∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则3≤a≤4 [解析]　ACD　[对选项A，只需f(x)在[1,2]上的最小值小于a，f(x)在[1,2]上单调递增， 所以f(x)min＝f(1)＝1－＝－1，所以a＞－1，故A正确；对选项B，只需g(x)的最小值大于0，因为acos ∈[－a，a]，所以g(x)min＝－a＋5－2a＝5－3a＞0，，所以0＜a＜，故B错误；对选项C，只需f(x)在[1,2]上的最小值大于g(x)的最大值，f(x)min＝－1， g(x)max＝a＋5－2a＝5－a，即－1＞5－a，a＞6，故C正确；对选项D，只需g(x)min≤f(x)min，g(x)max≥f(x)max， f(x)max＝f(2)＝2－＝1，所以x1∈[1,2]，f(x1)∈[－1,1]，x∈[0,1]时，∈，所以g(x)在[0,1]上单调递减，g(x)min＝g(1)＝5－2a，g(x)max＝g(0)＝5－a，所以g(x)∈[5－2a,5－a]， 由题意，⇒3≤a≤4，故D正确．] 命题真假的判断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断． (2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断． 　　　充分、必要条件的判断与应用 ◆[命题角度1]　充分、必要条件的判定(基础点)　 1．“a＞b”的一个充分条件是(　　) A．ea－b＞2　　　　 B．ln＞0 C．aa＞bb D.＜ 解析：A　[对A，由ea－b＞2，得a－b＞ln 2，因为ln 2＞0，所以a－b＞0，所以“ea－b＞2”是“a＞b”的一个充分条件，A正确．对B，由ln＞0，得＞1，当a，b均大于0时，得a＞b；当a，b均小于0时，得a＜b.所以“ln＞0”推不出“a＞b”，即“ln＞0”不是“a＞b”的充分条件，B不正确．对C，当a＝－5，b＝－3时，(－5)－5＝＝－，(－3)－3＝＝－，(－5)－5＞(－3)－3，满足aa＞bb，但a＜b，所以“aa＞bb”不是“a＞b”的充分条件，C不正确．对D，当a＝－4，b＝2时，满足＜，但a＜b，所以“＜”不是“a＞b”的充分条件，D不正确．] 2．(2023·北京卷)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [考题解读]　本题以两个等式为载体设置题目，考查逻辑推理，数学探索能力．充分必要条件是高考命制创新试题的重要载体，它与其他知识结合，题目具有一定的灵活性，能很好地考查学生的理性思维能力． 解析：C　[解法一：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝＋＝－1－1＝－2，所以充分性成立；必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以必要性成立．所以若xy≠0，“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件． 解法二：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0， 所以＋＝＝ ＝＝＝－2，所以充分性成立；必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以＋＝＝＝ ＝－2＝－2，所以＝0，所以(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立．所以若xy≠0，“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件．] 3．(2024·晋城模拟)设a∈R，则“a＞3”是“函数y＝loga(x－1)在定义域上为增函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[因为函数y＝loga(x－1)在定义域(1，＋∞)上为增函数，所以a＞1， 因此“a＞3”是“函数y＝loga(x－1)在定义域上为增函数”的充分不必要条件．] 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：指对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． ◆[命题角度2]　利用充要条件求参数的取值(范围)(综合点)　 [典例]　已知p：－2≤x≤10，q：(x－a)(x－a－1)>0，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　__________________　. 核心素养 逻辑推理——充分、必要条件关系中的核心素养 　　充分、必要条件问题中常涉及参数取值(范围)问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养．具体见下表： 信息提取 信息解读 逻辑推理 p：－2≤x≤10，q：(x－a)(x－a－1)>0 p的对应的集合{x|－2≤x≤10}，q的对应的集合{x|x>a＋1，或x<a} 着眼点一：若p是q成立的充分不必要条件，则{x|－2≤x≤10}{x|x>a＋1，或x<a}． 着眼点二：借助于数轴将集合间的基本关系转化为关于实数a的不等式组 p是q成立的充分不必要条件 {x|－2≤x≤10}{x|x>a＋1，或x<a} [解析]　由(x－a)(x－a－1)>0，得x>a＋1或x<a，由题意，得{x|－2≤x≤10}{x|x>a＋1，或x<a}，所以a＋1<－2或a>10，即a<－3或a>10. [答案]　(－∞，－3)∪(10，＋∞) [互动探究] 本例中，若p：－2<x<10，q：(x－a)(x－a－1)≥0，其他条件不变，则a的取值范围是　______　. 解析：由(x－a)(x－a－1)≥0，得x≥a＋1或x≤a，由题意得{x|－2<x<10}{x|x≥a＋1，或x≤a}．所以a＋1≤－2，或a≥10，即a≤－3，或a≥10. 答案：(－∞，－3]∪[10，＋∞) 　　 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解． (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件． 已知条件p：＜2x＜16，条件q：(x＋2)·(x＋a)＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为(　　) A．[－4，＋∞)　　　　　 B．(－∞，－4) C．(－∞，－4] D．(4，＋∞) 解析：B　[由＜2x＜16，得－2＜x＜4， 即p：－2＜x＜4. 方程(x＋2)(x＋a)＝0的两个根分别为－a，－2. ①若－a＞－2，即a＜2，则条件q：(x＋2)(x＋a)＜0等价于－2＜x＜－a，由p是q的充分不必要条件可得－a＞4，则a＜－4； ②若－a＝－2，即a＝2，则q：(x＋2)(x＋a)＜0无解，不符合题意； ③若－a＜－2，即a＞2，则q：(x＋2)(x＋a)＜0等价于－a＜x＜－2，不符合题意． 综上，可得a的取值范围为(－∞，－4)．] 　　　全称量词命题与存在量词命题 ◆[命题角度1]　全称量词命题、存在量词命题的真假判断(基础点)　 1．下列命题中的假命题是(　　) A．∀x∈R，x2≥0 B．∀x∈R,2x－1>0 C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2 解析：D　[A显然正确；由指数函数的性质知2x－1>0恒成立，所以B正确；当0<x<10时，lg x<1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin， 所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．] 2．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是(　　) A．∃x0∈R，f(x0)≤f(m) B．∃x0∈R，f(x0)≥f(m) C．∀x∈R，f(x)≤f(m) D．∀x∈R，f(x)≥f(m) 解析：C　[因为a>0，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c在x＝－处取得最小值．所以f(m)是函数f(x)的最小值．] 3．下列命题中，真命题是(　　) A．∃x0∈，sin x0＋cos x0≥2 B．∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1 C．∃x0∈R，x＋x0＝－1 D．∀x∈，tan x>sin x 解析：B　[对于选项A，sin x＋cos x＝ sin≤，所以此命题不成立；对于选项B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x>3时，(x－1)2－2>0，所以此命题成立；对于选项C，x2＋x＋1＝2＋>0，所以x2＋x＝－1对任意实数x都不成立，所以此命题不成立；对于选项D，当x∈时，tan x<0，sin x>0，命题显然不成立. ] 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 命题量 词名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 存在量 词命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 假 所有对象使命题假 否定为真 提醒：不管是全称量词命题，还是存在量词命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假． ◆[命题角度2]　含有一个量词的命题的否定(基础点)　 1．已知命题p：∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0，则綈p为(　　) A．∃x0∈R，x＋2x0＋2＞0 B．∃x0∈R，x＋2x0＋2＜0 C．∀x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．∀x∈R，x2＋2x＋2＞0 解析：D　[根据存在量词命题的否定，存在量词改为全称量词，同时把不等号改为大于号，选择D.] 2．(2024·浙江杭州校考)命题p∶∀x∉{x|1≤x≤5}，x2－4x＞5，则命题p的否定是(　　) A．∃x∈{x|1≤x≤5}，x2－4x≤5 B．∃x∉{x|1≤x≤5}，x2－4x≤5 C．∀x∉{x|1≤x≤5}，x2－4x≤5 D．∀x∈{x|1≤x≤5}，x2－4x≤5 [解析]　B　[因为命题∀x∉{x|1≤x≤5}，x2－4x＞5是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即∃x∉{x|1≤x≤5}，x2－4x≤5.] 3．(2024·咸阳模拟)已知命题p：“存在x0∈[1，＋∞)，使得(log23)x0>1”，则下列说法正确的是(　　 ) A．綈p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x0<1” B．綈p：“不存在x0∈[1，＋∞)，使得(log23)x0<1” C．綈p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x≤1” D．綈p：“任意x∈(－∞，1)，使得(log23)x≤1” 解析：C　[因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以綈p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x≤1”．] 4．若命题p：∀x∈，tan x＞sin x，则命题綈p为(　　 ) A．∃x0∈，tan x0≥sin x0 B．∃x0∈，tan x0＞sin x0 C．∃x0∈，tan x0≤sin x0 D．∃x0∈∪，tan x0＞sin x0 解析：C　[“∀x”的否定为“∃x0”，“＞”的否定为“≤”，所以命题綈p为∃x0∈，tan x0≤sin x0.] 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的否定的区别 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称量词命题和存在量词命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可． 提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定． ◆[命题角度3]　参数的取值范围问题(综合点)　 [典例]　(1)(多选)若∃x0∈，使得2x－λx0＋1＜0成立是假命题，则实数λ可能取值是(　　) A.　　 B．2　　 C．3　　　 D. [解析]　AB　[∵若“∃x0∈，使得2x－λx0＋1＜0成立”是假命题， 即“∃x0∈，使得λ＞2x0＋成立”是假命题， 即等价于“∀x∈，使得λ≤2x＋成立”是真命题． 令f(x)＝2x＋，x∈， 由对勾函数可知，当x∈时，f(x)在上单调递减，在上单调递增， ∴当x＝时，函数f(x)取最小值，即f(x)min ＝f＝2， ∴λ≤f(x)min＝2， 故实数λ的取值范围为(－∞，2 ]．] (2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是　__________　. [解析]　当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥. [答案]　 [互动探究] 若将本例(2)中“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是　______________　. 解析：当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m， 由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥. 答案： 　　 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决． 1．已知命题“∃x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)　　　　　 B．(－1,3) C．(－3，＋∞) D．(－3,1) 解析：B　[原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2－4×2×＜0，则－2＜a－1＜2，即－1＜a＜3.] 2．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，则k的取值范围是　____________　. 解析：“对∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，当k＝0时，则有－1＜0；当k≠0时，则有k＜0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k＜0，解得－4＜k＜0，综上所述，实数k的取值范围是(－4,0]． 答案：(－4,0] 学科网（北京）股份有限公司 $