第1章 第3节 等式与方程(组)的解集（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

该高中数学高考复习讲义围绕等式性质与恒等式、一元二次方程解集及根与系数关系、方程组解法等核心考点，按“基础性质—方程解法—方程组综合”逻辑架构展开，通过知识点梳理、思考辨析、典例精讲、方法总结等环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 讲义以逻辑推理和数学运算素养为导向，创新采用“性质辨析—方法提炼—真题应用”教学模式，如通过因式分解法解一元二次方程的步骤总结、根与系数关系的常见变形训练，培养学生解题规范。设置分层练习与即时反馈，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第3节　 等式与方程(组)的解集 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.掌握等式的性质及常用的恒等式． 2．从函数观点看一元二次方程，会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． 3．会用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组，能灵活解二元二次方程组 1.等式的性质及常用的恒等式，可达成逻辑推理和数学运算的核心素养． 2．一元二次方程的解集及其根与系数的关系，可提升直观想象的核心素养． 3．解二元二次方程组，培养数学运算的核心素养 　　等式的性质及常用的恒等式，一元二次方程的解集及其根与系数的关系，解二元二次方程组，这三部分内容作为学习其他知识的基础和工具，高考一般不单独命题，通常与解不等式，函数，数列，解析几何等知识相结合，考查数学运算及数形结合思想 1．等式的性质 (1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立， 用公式表示为：如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c； (2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 用公式表示为：如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc. 2．恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 3．方程的解集 方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 4．b2－4ac(Δ)的取值与根的个数间的关系 b2－4ac(Δ) 根的情况 b2－4ac>0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有　两个不相等　的实数根，即x1＝ ，x2＝ b2－4ac＝0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有　两个相等的实数根　，即x1＝x2＝－ b2－4ac＜0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)　无实数根　 5.一元二次方程根与系数的关系 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 6．方程组的解集 方程组中，由两个方程的解集　得到的交集　称为这个方程组的解集． 解方程组常用的方法：(1)加减消元，(2)代入消元． 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． 1．常用的恒等式： (1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)(平方差公式)； (2)(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2(两数和的平方公式)； (3)(a＋b)c＝ac＋bc； (4)t3＋1＝(t＋1)(t2－t＋1)． 2．应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： (1)x＋x＝(x＋2x1x2＋x)－2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2； (2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； (3)|x1－x2|＝＝； (4)＋＝； (5)＋＝＝. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1) 一元二次方程的解集中一定有两个元素．(　　) (2)t3－1＝(t－1)(t2＋t＋1)．(　　) (3)a2＋8ab－33b2＝(a＋3b)(a－11b)．(　　) (4)方程组的解集为{－1,2}．(　　) (5)关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0有两个不相等的实数根．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．若4x2－3(a－2)x＋25是完全平方式，则a的值为(　　) A．－　　　　　　　　 B. C．－或 D．不存在 解析：C　[因为4x2－3(a－2)x＋25＝(2x)2－3(a－2)x＋(±5)2＝(2x±5)2， 即4x2－3(a－2)x＋25＝(2x＋5)2或4x2－3(a－2)x＋25＝(2x－5)2. 所以－3(a－2)＝20或－3(a－2)＝－20.解得a＝－或a＝.] 2．若代数式x2－6x＋5的值是12，则x的值为(　　) A．7或－1 B．1或－5 C．－1或－5 D．不能确定 解析：A　[由题意得x2－6x＋5＝12，x2－6x＋5－12＝0，x2－6x－7＝0，∴x＝， 解得x1＝－1，x2＝7.] 3．方程组的解集是(　　) A．(±1，±1) B．{(±1，±1)} C．{(－1，－1)，(1,1)} D．(－1，－1)，(1,1) 解析：C　[把①代入②得2x2 ＝2，∴x2＝1，∴x＝1，y＝1或x＝－1，y＝－1.] 4．已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则＋＝　________　. 解析：因为x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根， 所以x1＋x2＝2，x1x2＝－1，所以＋＝＝－2. 答案：－2 5．方程组的解集为　________　. 解析：①＋②＋③得x＋y＋z＝16　④ ④－①，得z＝8；④－②，得x＝4.5； ④－③，得y＝3.5. 所以原方程组的解集为{(4.5,3.5,8)}． 答案：{(4.5,3.5,8)} 　　　等式的性质与方程的解集 ◆[命题角度1]　用因式分解法解一元二次方程　 用因式分解法求下列方程的解集： (1)x＝x； (2)(x－3)2＋2x－6＝0； (3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0. 解：(1)x＝0，即x＝0， 所以x1＝0，x2＝，所以该方程的解集为. (2)(x－3)2＋2(x－3)＝0，(x－3)(x－3＋2)＝0， 所以x－3＝0或x－1＝0，所以x1＝3，x2＝1， 所以该方程的解集为{3,1}． (3)[3(2x＋3)＋2(2x－5)][3(2x＋3)－2(2x－5)]＝0， 所以(10x－1)(2x＋19)＝0，所以10x－1＝0或2x＋19＝0， 所以x1＝，x2＝－.所以该方程的解集为. 用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)将方程右边化为0； (2)将方程的左边分解为两个一次因式的积； (3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解． 提醒：①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应该移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式． ◆[命题角度2]　一元一次方程的解集　 [典例]　求下列方程的解集： (1)4－3(10－y)＝5y； (2)＝－1. [解]　(1)去括号，得4－30＋3y＝5y.移项，得3y－5y＝30－4. 合并同类项，得－2y＝26.系数化为1，得y＝－13. 所以该方程的解集为{－13}． (2)去分母，得2(2x－1)＝(2x＋1)－6. 去括号，得4x－2＝2x＋1－6. 移项，得4x－2x＝1－6＋2.合并同类项，得2x＝－3. 系数化为1，得x＝－.所以该方程的解集为. 解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤． (1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数． (2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号． 　如果方程－8＝－的解集与方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1的解集相同，求式子a－的值． 解：解方程－8＝－， 去分母，得2(x－4)－48＝－3(x＋2)， 去括号，得2x－8－48＝－3x－6， 移项、合并同类项，得5x＝50，系数化为1，得x＝10. 把x＝10代入方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1， 得4×10－(3a＋1)＝6×10＋2a－1，解得a＝－4. 当a＝－4时，a－＝－4－＝－. 　　　　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 ◆[命题角度1]　方程根个数的判断及应用　 [典例1]　若关于x的不等式x－＜1的解为x＜1，试判断关于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0的根的情况． [解]　解不等式x－<1，得x<1＋，而不等式x－<1的解为x<1，所以1＋＝1，解得a＝0，所以一元二次方程的根的判别式Δ＝a2－4＝－4<0，所以关于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0没有实数根． 　　 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有 (1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x1,2＝； (2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－； (3)当Δ<0时，方程没有实数根． 1．已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围． (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根． 解：Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)． (1)因为方程有两个不相等的实数根， 所以Δ>0，即4(1－3k)>0，所以k<. (2)因为方程有两个相等的实数根， 所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，所以k＝. ◆[命题角度2]　应用根与系数的关系求字母系数的值或范围　 [典例2]　已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0，根据下列条件，求出k的值． (1)方程两实根的积为5； (2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|＝x2. [解]　Δ＝[－(k＋1)]2－4×＝2k－3，Δ≥0，k≥. (1)设方程的两个根为x1，x2，x1x2＝k2＋1＝5， k2＝16，k＝4或k＝－4(舍)． (2)①若x1≥0，则x1＝x2，Δ＝0，k＝. 方程为x2－x＋＝0，x1＝x2＝>0满足． ②若x1<0，则x1＋x2＝0，即k＋1＝0，k＝－1. 与k≥不符， 所以k≠－1，所以k＝. 利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0. 2．(1)关于x的方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是(　　) A．－2或3　　　　　 B．3 C．－2 D．－3或2 (2)已知方程2x2－(k＋1)x＋k＋3＝0的两根之差为1，则k的值为　________　. 解析：(1)∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2， ∴m＋6＝m2，解得m＝3或m＝－2. ∵方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝[－(m＋6)]2－4m2＝－3m2＋12m＋36＝0， 解得m＝6或m＝－2.∴m＝－2. (2)设x1，x2为方程的两个根，则， |x1－x2|＝1，2－2(k＋3)＝1，k＝9或 k＝－3. 检验当k＝9或k＝－3时，Δ≥0成立． 答案：(1)C　(2)－3或9 　　　方程组的解集 [典例]　(1) 解方程组 [解]　设＝＝＝k(k为常数，k≠0)， 则x＝3k，y＝4k，z＝5k. 将它们代入②中，得3k－4k＋10k＝18，解得k＝2. 所以x＝6，y＝8，z＝10， 所以原方程组的解集为{(6,8,10)}． (2)求方程组的解集． [解]　将②代入①，整理得x2＋x－2＝0，解得x＝1或x＝－2. 利用②可知，x＝1时，y＝2；x＝－2时，y＝－1. 所以原方程组的解集为{(1,2)，(－2，－1)}． (3)解方程组 [解]　由①得(x－4y)(x＋y)＝0， 所以x－4y＝0或x＋y＝0， 由②得(x＋2y)2＝1，所以x＋2y＝1或x＋2y＝－1. 原方程可化为以下四个方程组： 解这四个方程组，得原方程组的四个解是： 所以方程组的解集为 . 1．消元法解三元一次方程组的两个注意点 (1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数． (2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的． 2．有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断． 3．解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”． 1．用适当的方法解方程组： 解：由②×6，得3(x＋y)＋(x－y)＝6.③ ③－①，得5(x－y)＝2，即x－y＝. 把x－y＝代入③，得x＋y＝. 解方程组得 所以原方程组的解集为. 2．解方程组 解：方法一　由②得x＝2y＋5③ 将③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2＝4. 整理，得3y2＋10y＋7＝0.解得y1＝－，y2＝－1. 把y1＝－代入③，得x1＝，把y2＝－1代入③，得x2＝3. 所以原方程组的解是 所以方程组的解集为. 方法二　由①得(x＋y)2＝4，即x＋y＝2或x＋y＝－2. 原方程组转化为或 解得 所以方程组的解集为. 3．解方程组 解：由②得(x－y－3)(x－y＋1)＝0.所以x－y－3＝0或x－y＋1＝0. 所以原方程组可化为两个方程组： 用代入消元法解方程组，分别得 所以原方程组的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $