第5章 第2节 等差数列-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

方法指导 求数列的最大项、最小项的常见方法 1.利用“两边夹”思想 (an≥a+1 设a,为数列{am}中的最大项，则有 (n (an≥an-1 ≥2). 解出适合上述不等式组的值，从而确定数列的 最大项 类似地，设a,为数列{a}中的最小项，则有 (an≤an+1 (n≥2) (an≤an-1 解出适合上述不等式组的n值，便能确定数列的 最小项. 第2节 ★[课程标准]1.通过实例，理解等差数列的概念 式.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关 与一次函数的关系， 夯实>必备知识 必备知识 1.等差数列的概念 (1)一般地，如果数列{am}从第2项起，每一项与它 的前一项之差都等于同一个常数d,即au+1一 am=d恒成立，则称{am}为等差数列，其中d称 为等差数列的公差. (2)如果x,A,y是等差数列，那么称A为x与y的 等差中项，且A=十义.数列{a}是等差数列曰 2 2an=am-1+an+1(n≥2，n∈N+). 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通 项公式为an= 推广：①an=am十 (m,n∈N+). ②等差数列的通项公式与函数的关系a=dn 十(a1一d)是关于n的一次函数 ③数列{an}是等差数列曰a,=pm十q(p,q为常数). (2)等差数列的前n项和公式 S=n(a1tan) 2 (其中n∈N+,a1为 首项，d为公差，am为第n项). ·1 第五章数列 2.利用函数思想 (1)数列是特殊函数，具有函数的一些特性，求数列 项的最值完全可以依据研究函数最值的方法解 决，但特别要注意数列的项数n只能是正整数. (2)根据条件构造相应的函数，通过配方、作差、作 商等方法来确定函数的单调性，进而确定数列 的单调性，再求出数列的最大项或最小项 (3)给出一个数列{an},若能够判断数列{an}为 递增数列，则该数列具有以下性质： a1<a2<…<an<…,故(an)min=a1. 反之，若该数列为递减数列，则有a1>a2>…> an>…,故(an)max=a1. C温馨提 学习至此，请完成配套训练课时冲关36 等差数列 2.探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公 系，并能用有关知识解决相应的问题.4.体会等差数列 教材夯实强基固本 推广：①等差数列的前n项和公式与函数的关 系：s,=号r+(@一号)n当d≠0时，5，是 关于n的二次函数，且常数项为0. ②数列{an}是等差数列台Sm=An2+Bn(A,B 为常数) 3.等差数列的有关性质 已知数列{am}是等差数列，S,m是{am}的前n 项和 (1)当s十t=p十q时，a十a,=ap十ag（s,t,p,9∈ N+).特别地，如果2s=p十q,则2ax=ap十ag, （p,9,s∈N+）. (2)等差数列{am}的单调性：当d>0时，{am}是 数列；当d<0时，{an}是 数 列；当d=0时，{am}是 (3)若{an}是等差数列，公差为d,则相隔等距离的 项组成的数列是等差数列，即a,ah+m,a+2m,…, 仍是等差数列，公差为 (k,m∈N+). (4)数列Sm,S2m一Sm,S3m一S2m,…,也是等差 数列. 25 高考总复习人教数学B版（新教材） 4.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0,d<0,则Sm存在最 值；若a1<0,d>0,则S,m存在最值. 重要结论 已知{an}为等差数列，d为公差，S,m为该数列的 前n项和. 1.有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相 等，即a1十an=a2十am-1=a3十au-2=…=ak十 an-k+1=… 2{倍}地成等差数列，其首项与a,首项相同公 差是{a,的公差的子 3.在等差数列{ar}中， (1)若项数为偶数2n,则S2=n(a1十a2m)=n(an 十au+1);S偶一S奇=nd; S奇=an S偶an+1 (2)若项数为奇数2n一1，则S2m-1=(2n一1)an: S奇n S奇一S偶=anS偶n-I 4.若数列{a,}与{b,n}均为等差数列，且前n项和分 别是51二品 5.若数列{an},{bn}是公差分别为d1,d2的等差数 列，则数列{pa},{an十p},{pa十qbn}都是等 差数列(p,q都是常数)，且公差分别为pd1,d1, pd+qd2. 6.若am三n,am=mm≠0），则am+n=0. 跃升>关键能力 春点1) 等差数列的基本运算（基础点） 1.记Sm为等差数列{am}的前n项和.若3S3= S2十S4,a1=2,则a5= ( A.-12 B.-10 C.10 D.12 2.(2023·全国甲卷)记S,为等差数列{a}的前n 项和.若a2十a6=10,a4a8=45,则S5=（) A.25 B.22 C.20 D.15 3.在等差数列{am}中，a1=0,公差d≠0，若am=a1 十a2十…十ag,则m的值为 4.记Sm为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2 =3a1,则0 ·13 自主诊断 ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 里打“/”，错误的打“X” (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项 的差都是常数，则这个数列是等差数列.() (2)数列{am}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N+,都有2an+1=an+an+2. () (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. ( ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其前n项 和公式为n的二次函数. ( (5)数列{an}满足a+1一a,=n,则数列{an}是等 差数列. (6)已知数列{am}的通项公式是an=pn十q(其 中p,q为常数)，则数列{an}一定是等差数列. () ◆[小题查验] 1.(教材改编)在等差数列{am}中，若a3十a4十a5= 3,ag=8,则a12的值是 A.15B.30 C.31 D.64 2.(教材改编)设Sm为等差数列{am}的前n项和， 已知a1=S3=3,则S4的值为 ( ) A.-3B.0 C.3 D.6 3.(多选)等差数列{am}的前n项和为Sm,若a1> 0,公差d≠0，则下列命题正确的是 () A.若S5=S9,则必有S14=0 B.若S5=S9,则必有S,是S,中最大的项 C.若S6>S7,则必有S7>S8 D.若S6>S7,则必有S5>S6 4.(教材改编)记S,为等差数列{an}的前n项和. 若a1=-2,a2十a6=2,则S10= 5.已知数列(an}中，a1=1且1=⊥+ an+1 an 3(n∈ N+),则a1o= 层级突破素养提升 题后反思 等差数列的基本运算的解题策略 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及 五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另 外两个，体现了用方程组解决问题的思想. (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起 到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的 两个基本量，用它们表示已知量和未知量是 常用方法 6 春点2)等差数列的判定与通项（迁移点） [母题]若数列{am}的前n项和为Sn,且满足am 十2SnSm-1=0(n≥2)，a1=2 1求证} 等差数列； (2)求数列{am}的通项公式. [破题关键点了(1)将am十2SmSm-1=0(n≥2) 转化为S,与Sm-1的关系等式；(2)先求出Sm, 再利用am与Sm的关系求a: [尝试解答】 [子题1]将母题条件“an+2SnS-1=0(n≥2)， ”改为“Sn(Sm-an)十2am=0(n≥2)，a1 a1=2 =2”,问题不变，试求解 3 第五章数列 [子题2]已知数列{an}满足2am-1一anam-1=1 0≥2》a=2:证明数列{a}是等差数列，并 求数列{am}的通项公式. 规律总结 等差数列的四种判断方法 (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证am au-1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a,=am-1十a+1(n≥2，n∈ N+)都成立. (3)通项公式法：验证am=pn十q. (4)前n项和公式法：验证Sm=An2+Bn.后两 种方法只能用来判断是否为等差数列，而不 能用来证明等差数列，主要适合在选择题中 简单判断. 提醒：要注意定义中的“从第2项起”.如果一 个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4 项起，每一项与它前一项的差是同一个常数， 那么此数列不是等差数列. 原3等差数列的性质及其应用（应用点） ◆[命题角度1]等差数列项的性质 1.(1)(2024·洛阳统考)已知数列{am}是等差数 列，且2a8一a12=4,则其前七项和S7=() A.42 B.35 C.28 D.21 高考总复习人教数学B版（新教材） (2)(2024·太原市模拟)在等差数列{am}中， 2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则a6=（) A.8 B.6 C.4 D.3 技巧点拨 上面两例中的题目都可以根据基本方法，通过列 方程（组）的方法得到首项和公差的关系式，但利 用等差数列的性质求解则显得更为简单快捷，其 中两题都用到了性质：若{am}为等差数列，且 +l=m十n(k,l,m,n∈N),则a十a1=am十an: 还体现了整体代换的数学思想 ◆[命题角度2]等差数列前n项和的性质 2.(1)在等差数列{am}中，a1=一2024，其前n项和 为8若器-音-2则5 A.2023 B.-2023 C.-2024 D.2024 (2)数列21,22,22,23,23,23,24,24,24,24，…中， 比2024小的项共有 项；这些项的和是 (用具体数字作答) 技巧点拨 1.在等差数列{am}中，Sm为其前n项和，则 (1)S2n=n(a1十a2m）=…=n(an+am+1）； (2)S2m-1=(2n-1)am 2.若等差数列{an}与{bm}的前n项和分别为An 来B安- 专点4)等差数列的前项和的最值问题（迁移点） [母题] 在等差数列{an}中，前n项和为Sn,已知 a1=20,且S1o=S15,求当n取何值时，Sm取得 最大值，并求出它的最大值， 核心素养 逻辑推理，数学运算— 求等差数列的前n项和的最值： 信息提取 信息解读 逻辑推理 方法一：由已知可得 (1)由已知可得等差数列 等差数列{a,}是前面 在等差 {an}是前面一部分为正数， 一部分为正数，从某 数列 从某一项开始往后为负数 一项开始往后为负数 {an}中， 的递减数列： 的递减数列：并能求 (2)等差数列{an}的前n项 出公差d,写出通项 a1=20, 公式，利用通项公式 且S0 和S,可以看作定义域为正 整数的二次函数，故可转化 找出正、负分界等于 为函数问题，利用函数思想 零的项，确定项数n, 求解 从而就可求出S,的 最大值 12 续表 方法二：由已知求出 公差d,写出前n项 和Sn,S可以看做是 当n取 (1)求S,的最大值转化为 定义域为正整数的二 何值时， 研究二次函数S.=f(n)的 次函数，用配方法即 Sn取得 最值问题：(2)根据通项公 可求出其最大值， 最大值 式或性质找出正、负分界等 方法三：应用S。=Ss 且最大 于零的项，确定项数n,从而 和等差数列性质可求 值是 就可求出S,的最大值 出a3=0,找到了正、 多少？ 负分界等于零的项，确 定项数n,从而就可求 出Sn的最大值 [尝试解答] [子题1]若将条件“a1=20,且S10=S15”改为 “a1>0,S8=S12”,求当n取何值时，S取得最 大值. 第五章数列 [子题2]若将条件“a1=20,且S1o=S15”改为“a3 方法指导 =12,S12>0,S13<0”,求当n取何值时，Sn取得 求等差数列前n项和的常用方法 最大值 (1)运用配方法将S,m的表达式转化为二次函数， 借助二次函数的单调性及数形结合的思想， 从而使问题得到解决.但需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件；若对称轴取不到， 则需要考虑n取最接近对称轴的正整数；若 对称轴在两个正整数中间，此时有两个符合 题意的n值. (2)通项公式法：求使am≥0(am≤0)成立时最大 [子题3]若将条件“a1=20,且S1o=S15”改为“a7 的n值即可.一般地，等差数列{an}中，若a1 >0,a6十ag<0”,求当n取何值时，Sm取得最 >0,S=S,,且≠q,则 大值. ①若力十g为偶数，则当n=十9时，S 2 最大； ②若力十g为奇数，则当n=十g1或n 2 p十g十1时，Sn最大. 2 ©温馨提污 学习至此，请完成配套训练 课时冲关37 第3节 等比数列 ★[课程标准]1.通过实例，理解等比数列的概念.2.探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和的公 式.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.体会等比数列 与指数函数的关系 夯实必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 (2)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sm 1.等比数列的概念 =na1;当q≠1时，Sm= _ai-ang 1-9 (1)一般地，如果数列{a}从第2项起，每一项与它 推广：当q≠0,1时，{an}是等比数列台Sm 的前一项之比都等于同一个常数q,即”=q =Aq”一A(A为常数且A≠0). an 3.等比数列的性质 恒成立，则称{a}为等比数列，其中g称为等比 已知{a,}是等比数列，S是数列{an}的前n 数列的公比 项和. (2)如果x,G,y是等比数列，那么称G为x与y的 (1)若s十t=p十q,则a,a,= ,其 等比中项，其中G=土√xy. 中s,t,p,q∈N+,特别地，若2s=p十q,则apag 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 =a?,其中p,s,q∈N+. (1)若等比数列{am}的首项为a1,公比是q,则其通 (2)等比数列{an}的单调性 项公式为am= 当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时，数列{am} 通项公式的推广：an=amg”-m. 是 数列； ·129·高考总复习人教数学B版（新教 1 命题角度24 命题角度3 [典例][解]第一步将相邻两项 作差」 an+1-an= 9+1(n+2)_9(n十1) 10"+1 10 =g.80” 10” 10 第二步比较差式与0的大小，根据 数列{am的单调性得到各项间的大 小关系 当n<8时，am+1一am>0, 即a+1>am； 当n=8时，am+1一a,=0, 即an+1=a,； 当n>8时，an+1-an<0, 即an+1<an 则a1<a2<a3<…<a=a4>a1o> a11…, 第三步根据各项间的大小关系找 到最大项及相应的n值. 故数列{an}有最大项，为第8项和第 9项，且a=a,=9×9=g 1081081 第2节 夯实·必备知识必备知识 2.(1)a1十(n-1)d(n-m)d (2)na+anDd 2 3.(2)递增递减常数列(3)md 4大小 思考辨析(1)X(2)/(3)/ (4)×(5)X(6)/ 小题查验 1.A2.B3.AB04255. 跃升·关键能力考点1 1.B2.C3.374.4 考点2 [母题][解](1)证明：当n≥2时， 由an十2SnS,-1=0, 得S,-Sn-1=-2SnS,-1, 所以写 1=2, 日=1=2，故{只}是首项为2， s. 公差为2的等差数列. (2)由1)可得尽=25=品 1 当n≥2时， an=S,-S-1 =a2xD 1 n-1-n 2n(n-1) 之1 2n(n-1) 当n=1时a1=之不造合上式。 2,n=1, 故an= 1 。2n(n-1),n≥2. 材) [子题1]解：(1)证明：当n≥2时，an .当n=12或n=13时，Sn取得 =Sn-Sn-1且Sn(Sn-an)十2an=0. 最大值. S,[S,-(S-S,-1)]+2(S,- 第三步找到n后，代入等差数列的 Sn-1)=0, 前n项和公式即可求出最大值 即SnS.-1十2(Sn-Sn-1)=0. ∴.Sn的最大值为S12=S1a 即5。 1 2 =1 又写 =12×20+ S-1 24×(号）1, 故数列{位}是以首项为豆，公差为 [子题1]解：，Sg=S12,∴.a十a10十 a11十a12=0, 合的等差数列。 a10十a11=0. 又a1>0,.a10>0,a11<0, (2)由1)知=S=月 .n=10时，Sn取得最大值。 S. n [子题2]解：：a=a1十2d=12, 当n≥2时， .a1=12-2d. 2 a=S.-S-1=- S12>0,S1a<0, n(n-1), 当n=1时，a1=2不适合上式， 12a1+66d>0. 113a1+78d0, 2,n=1, 故an= 2 nn(n-1),n≥2. 即6+28： [子题2]解：当≥2时， 解得 4<d<-3. 1 由d<0知数列为递减数列， am=2- an-1 1 又由于：=6(a,十a)>0, (S13=13a7<0, an-1a-1-1 2- 1 于是有a>0,a,<0, an-1 因此n=6时，S,取得最大值 1 1 1 a-1-11-1a-1-1 [子题3] 解：∫as十a,=a,十as0, {a>0, an-1 ∴.a7>0,ag<0, =-1 1 am-1-1 ∴n=7时，Sn取得最大值. a,-1-1 (常数). 第3节 又1 夯实·必备知识必备知识 2.(1)a1g-1 (2)(1-g) “数列{1}是以首项为1，公差 1一q 1a.-1 3.(1)aa,(2)递增递减 常数列 为1的等差数列. (3)gm(4)q 1 思考辨析(1)× (2)× (3)× an-1 =1十(n-1)×1, (4)×(5)× an=十1 小题查验 考点3 命题角度1 1.D2.B3.D4.-2 5.2或8 1.(1)C[由等差数列的性质以及2ag 跃升·关键能力考点1 一a12=4可知，a1十a12一a12=4,即 1.B 2.C 3.ACD a1=4,从而S,= 7(a1+a）=7a 考点2 2 [典例门[解](1)由条件可得an+1= =28.] 2(n+1 (2)D n an. 命题角度22.(1)C(2)5518434 将n=1代入得，a2=4a1,而a1=1, 考点4 所以，a2=4. 「母题]「解]第一步利用已知求 将n=2代入得，aa=3a2,所以a3 出公差d. =12. .a1=20,S10=S15, 从而b1=1,b2=2,b3=4. 10×20+10X9d=15×20+ (2){b是首项为1，公比为2的等比 2 数列. 15X14d, 2 由条件可得片-号，即61 .d= 5 2bn,又b=1,所以{bn}是首项为1， 3 公比为2的等比数列. 第二步写出数列的通项公式，找到 正、负分界等于零的项」 8)由(2)可得元=2，所以a. 由an=20十(n-1)× n·2n-1 跟踪训练 5 -n十 ,得ag=0. [解](1)证明：由题设得4(an+1十 3 bn+1）=2(an十bn), 即当n≤12时，an>0,当n≥14时， a0. 即a41十b1=a,+6. ·438·