第4章 第1节 平面向量及其线性运算-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

d 第四章 平面向量、复数 第1节平面向量及其线性运算 ★[课程标推]1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌 握向量加、减法的运算，并理解其几何意义，3.掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量 共线的含义.4.了解向量的线性运算性质及其几何意义 夯实必备知识 教材夯实强基固本 必备知识 向量 法则（或 定义 运算律 1.向量的有关概念 运算 几何意义) 平面上任意给 名称 定义 备注 定两个向量a· h a-b b,如果向量x a-b=a十 既有大小又有 减法 满足b十x=a, 三角形法则 (-b) 的量：AB(或|a)表示 平面向量是 则称x为向量 向量 a与b的差 向量AB(或a)的大小，即 自由向量 长度（也称模）. (1)a 长度为零的向量；其方向 零向量 记作 (2)当1>0 (1)结合律 是 实数入和向量 a的乘积是 时，a的方向 入(a)=()a: 与非零向量a 与a的方向 (2)分配律 数乘 个向量，记作 :当 a,a的长度 (a十)a= 单位向量 长度为单位1的向量 共线的单位 入0时，a的 入a+a; λa=入· 向量为士合 方向与a的 入(a+b)=Aa a 方向 +ab 当入=0时，Aa 向量平行 表示两个向量的有向线段a与b平行或 或共线 所在的直线平行或重合 共线，记作a∥b 3.共线向量定理 两向量只有相 如果a≠0且b∥a,则存在唯一实数入，使b=a. 长度 且方向 相等向量 等或不等，不 的向量 重要结论 能比较大小 1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第 长度 且方向 0的相反向 个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即 相反向量 的向量 量为0 A1A2十A2A3+A3A4+…+Am-1An=A1A.特 别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零 2.向量的线性运算 向量 向量 法则（或 定义 运算律 2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则 运算 几何意义) 0P=号0A+08. (1)交换律： a+b a+b= 3.若A、B、C是平面内不共线的三点，则PA十PB 求两个向量 a 加法 和的运算叫 三角形法则 +PC=0台P为△ABC的重心 (2)结合律： 做a与b的和 4.OA=λOB+HOC(入，以为实数)，若点A,B,C三 (a+b)+c= 平行四边形法则 点共线，则入+4=1： 110 第四章平面向量、复数 自主诊断 ◆[思考辨析] C.若a,b都为非零向量，则使合十名-0成立 的条件是a与b反向共线 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 里打“/”，错误的打“X”. D.若a=b,b=c,则a=c (1)若向量a,b共线，则向量a,b的方向相同. 2.(教材改编)下列各式化简结果正确的是() A.AB+AC=BC (2)若a∥b,b∥c,则a∥c. ( ) B.AM+MB+BO+OM-AM (3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向 C.AB+BC-AC=0 线段来表示向量。 ) D.AB-AD-DC-BC (4)a与|b是否相等与a,b的方向无关. 3.(2024·吕梁模拟)在△ABC (5)已知两向量a,b,若|a=1,|b=1,则|a+b=2. 中，D为BC的中点，EB= () 2AE,AF-2FC,EF与AD B (6)向量AB与向量CD是共线向量，则A,B,C,D 交于G,AG=λAD,则入= 四点在一条直线上 ( ( (7)当两个非零向量a,b共线时，一定有b=λa, 反之成立. A B青 c b.2 ◆[小题查验] 4.若菱形ABCD的边长为2，则|AB-CB+CD 1.(多选)（教材改编）下列命题正确的是 A.零向量是唯一没有方向的向量 5.(教材改编)已知a与b是两个不共线的向量，且 B.零向量的长度等于0 向量a+b与一(b一3a)共线，则入= 跃升>关键能力 层级突破素养提升 考点1 平面向量的基本概念（基础点） 题后反思 1.(2024·湖南长沙雅礼中学校考模拟)下列说法 对于向量的概念应注意以下几条 正确的是 (1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以 用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示； A.若a∥b,则a与b的方向相同或者相反 (2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以 B.若a,b为非零向量，且a=b,则a与b 相等向量一定是平行向量，而平行向量则未 必是相等向量； 共线 (3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不 C.若a∥b,则存在唯一的实数入使得a=λb 能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小 D.若e1,e2是两个单位向量，且|e1一e2=l,则 吉点2 平面向量的线性运算（重难点） |e1+e2l=√2 [典例](1)（多选）如图所示，四边形ABCD为梯 形，其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB, 2.给出下列命题： CD的中点，则下列结论正确的是 ①若|a|=|bl,则a=b: D ②若A,B,C,D是不共线的四点，则AB=DC是 四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若a=b,b=c,则a=c; A.AC-AD+7AB BM元-号Ac+2BC ④a=b的充要条件是|a=|bl且a∥b. 其中正确命题的序号是 CMN-AD+A店D.B成-AD-A店 ·111 高考总复习人教数学B版（新教材） (2)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点， 2.(2023·上饶模拟)如图，在 AD=AB,BE=号BC.若D正=A店+xAC △ABM中，BM=3CM,AN 号A成.若A=入A花十 (入1入2为实数)，则入1+2的值为 4AC,则λ十= [尝试解答] (1) (2) B月 c- D. 。[互动探究] 向量共线定理及其应用（迁移点） 若奥例(2)条件变为：若Ad=2D,Ci=号C 春点3 [母题] 设向量e1和e2不共线.若AB=e1十e2, 十λCB,则λ= BC=2e1-3e2,AF=3e1-ke2,且A,C,F三点 方法指导 共线，则实数k的值为 [尝试解答] 向量的线性运算的解题策略 [子题1]在母题条件下，若ke1十e2与e1+ke2共 (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形 线.则实数k的值为 或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量 [子题2]在母题条件下，如果AB=e1一e2,BC 或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数 3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,求证：A,C,D三点 乘运算来求解， 共线 (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的 比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、 相似三角形对应边成比例等平面几何的性 质，把未知向量转化为与已知向量有直接关 系的向量来求解 跟踪训练 1.(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下 列说法正确的是 A若AM=2A店+2AC,则点M是边BC的 规律总结 中点 1.共线向量定理及其应用 (1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可 B.若AM=2AB-AC,则M点在边BC的延长 以由向量共线求参数的值. 线上 (2)若a,b不共线，则a十b=0的充要条件是入 C.若AM=一BM一CM,则点M是△ABC的 =以=O,这一结论结合待定系数法应用非常 广泛 重心 2.证明三点共线的方法 D.若AM=xAB+yAC,且x十y=,则 若AB=入AC,则A,B,C三点共线. C温馨提 △MBC的面积是的△ABC面积的号 学习至此，请完成配套训练 课时冲关32 ·112所以b=√Ja+c2-2 accos B '.'sin(A+C)=sin B, .sinA十sinC=2sinB, 4+2-2×2X√2× 6-√2 N 即a十c=2b, ∴a、b、c成等差数列. =√3+1： (i)若满足①②④，由(1)B为钝角， 2:s=rn台= 4ac=4V5, A,C为锐角，及sinA= 2,sin C= .ac=16. b=a'c2-2accos B=a2+c2 号可得A-兰，C-号所以B 5 ac=(a十c)2-3ac, 由(1)得a十c=2b,∴.b=4b-48, 不符合B为钝角，故这种情况不 .b2=16,即b=4. 成立； ()若满足②③④，由B为钝角， 4,解：(1)因为(b-)sinB十 sC=誓所以C=而>,所 (-合)sinC-asinA=0,由正孩 以A>C,这时B<号，不特合B为 定理，得(6)b+(-合)-a 钝角的情况，所以这种情况不成立； =0, 化筒得b+c2-a2-bc=0, 综上所述，只有满足①②③时b=√3 +1. 即cosA=+c-a2=1 2bc 21 2.解：(1)f(x)=√3 sin xcos x 1 所以A=子 9m2 cos 2x （2)由正孩定理，可得nB一simC =sim(2z-吾)】 sin A sin3 令2z-晋-受+mke五， 所以b=2sinB,c=2sinC, b十c=2(sinB+sinC) 解得x=晋+经，k∈乙 -2[mB+s(号-] ∴函数f(x)图像的对称轴方程为x =3sinB+√3cosB (2)把fx)=合sim(2a-晋)的图 =25sim(B+) 像向右平移于个单位，可得g(x) 因为0<B<经， sim(2x-号)：xe[0,受] 所以<B+晋<晋 2x-晋[] 即2<sin(B+晋)1， m(2:-)【-1] 所以b+c∈(W5,2√. 5.解：如图： D 22 g(x)= (1)在△ABD 之m(:等）)[] 中，由正弦定 5 即当r∈[0，受]时，通数)的值 理得：sn45 2 城为[] sin∠ADB ∴.sin∠ADB= 9:∠ADB<90 3.解：（1)证明：由正弦定理， 得Acos号+sin Coo心号 ∴.cos∠ADB=√1-sin∠ADB =V23 sin B. 5 即sinA· 1+cosC+sinC· (2):∠ADB+∠BDC= 2 2 gA-号nB ∴.cos∠BDC= cos(受-∠ADB) 2 =sin∠ADB, .'sin A+sin C+sin Acos C+cos A sin C=3sin B, cos∠BDC= DC+BD:-BC2 2·BD·DC 即sinA十sinC+sin(A+C)= 3sin B. 2-8+25-B 5 ..BC=5. 2·5·2√5 ·435· 参考答案 6.解：(1)由已知条件得f(x)=a·b= 2 sin xcos十V5cos2x =sim2z+5os2z=2sn(2z+号） 由2km-受≤2x+号≤2k+受， 得饭一晋<kx十音ke五， 所以函数f(x)的单调递增区间为 [a-登低+]kez (2)由f(含)=2sin(A+号)=2， 即sin(A+号)-1 0<A<,<A+吾<，可 得A=晋， 由C=经，知B=吾，因为△ABC外 接圆的面积为4π， 所以△ABC外接圆的半径r=2, 由正弦定理知△ABC的周长为l=a 十b十c=2 rsin A+2 rsin B+2 rsin C =(+9)=426 第四章 第1节 夯实·必备知识必备知识 1.方向任意的0相等相同相 等相反2.(1)b十a(2)a十(b十c) (1)λa(2)相同相反0 思考辨析(1)×(2)×(3)× (4)/(5)×(6)×(7)/ 小题查验 1.BCD2.B3.B4.25.-3 跃升·关键能力考点1 1.B2.②③ 考点2 [典例](I)ABD[AC-=AD+D元=AD 十ABA正确 MC=MA+AC=号BA+AC 2 子（成-d)+A花=花中 吉配.B正珠， MN=MA+AD+D成=-子A店 AD+1A店=AD-1A店，C错误： BC=BA+AD十DC=-AB+AD+ 合访-访-2A成.D正疏] 2汇解析]D元-D成+B成=2A店 +号C-合+号耐+) =一石丽+号花所以=一石， =子即入十= [答案]合 高考总复习人教数学B版（新教材） 互动探究 OB,所以选项A、C中的向量组可以 解析：CD=cA+AD,CD=C 作为该平面内所有向量的基底.] BD, (2)[解 2CD-CA+CB+AD+BD. 析]、因 为CP= 又AD=2DB, 2D=ci+Ci+号Ai-Ci+ 号i+ CB,所以3CP=2CA+CB,即2 CB+号CB-CA) 3 3 CP-2CA=CB-CP,所以2AP =i+ =PB. :C市-号c+号C成.即= 即P为AB的一个三等分点（靠近A点）， 又因为A,M,Q三点共线，设AM= 答案：号 λAQ. 跟踪训练1.ACD2.D 所以CM=AM-AC=AAQ-AC 考点3 [母题][解析]：AB=e1十e2,BC A(合AB+AC)-A花-含A店十 =2e-3e3 .又i=示=-d ∴AC=AB+BC=3e1-2e2. A,C,F三点共线， =(传A店-A0)-专A店-a ∴AC∥AF,从而存在实数入，使得 3 It= AC=AF. 故 -2=-t, 解得 4 、1 ∴.3e1-2e=3ae1-ake2, 2 = 又e1,e2是不共线的非零向量， 2 因此k=2. 故：的值是是 [答案] 3 [答案]2 4 [子题1]解析：，e1十e2与e1十e2 跟踪训练B 共线， 考点2 ∴.存在实数入，使e1十e2=入(e1十 1.A2.(3,3) ke2), 3.(-4,-1)或(12,5)或(-2,9) 即ke1十e2=Ae1十Ake2, 考点3 价，部得=士1 [母题][解](1)由题意得(3,2)=m (-1,2)+n(4,1), 答案：士1 m= 5 [子题2]证明：：AB=e1-e,BC 所以{。m十4n。3,得 9 2m十n=2, 8 3e+2e n=9 ..AC=AB+BC=4e+e2, (2)a+c=(3十4k,2十k), 又CD=-8e-2e, 2b-a=(-5,2), 由题意得2×(3十4k)一（一5）×(2 ∴，CD=-2AC,∴.AC与CD共线 十k)=0. 又：AC与CD有公共点C, .A,C,D三点共线. =一总 第2节 [子题1]解：设d=(x,y),d-c=(x -4,y-1),a十b=(2,4),由题意 夯实·必备知识必备知识 5.(1)(1十x2,y1十y2)(1-x2y1 得4x-4)-2(y-1D=0, {(x-4)+(y-1)2=5, -y2)(x1,入y)√十 得=3，咸{x=5, (2)(x-x1y-y1） 1y=-1{y=3. √(x2-x1)十(y2-y1) .d=(3,-1)或d=(5,3). 6.x1y2-x2y1=0 [子题2]解：na十b=(3m-n,2m+ 思考辨析(1)× (2)× (3)× 2n),a-2b=(5,-2), (4)×(5)/ 由题意得-2(3m-n)-5(2m十2n) =0. 小题查验 1.D2.A3.B4.(1,0) =1 n 2· 7 5.-18b+27c [子题3]解：AB=(-4,0), 跃升·关键能力考点1 AC=(1,-1), [典例](1)AC[AD与AB不共线， ·-4×(-1)-0×1≠0， DA∥BC,CA与DC不共线，OD∥ .AB,AC不共线. ·436· A,B,C三点不共线 第3节 夯实·必备知识必备知识 1.a⊥b零向量2.(1)ab cos(a, b>a b cos(a,b> (2)aba2a·b=0 4.x1x2十y1y2√a·a√Jz十y 1x十y1y2 0 √十y·√x十y 思考辨析(1)/(2)×(3)X (4)×(5)X 小题查验 1.C2.c3.C4.5F5.号 跃升·关键能力考点1 1.B2.C 3.B[以{AB,AD}为基底向量，可知 AB=AD=2,AB·AD=0, 利配-丽-配专店-， ED-EA+AD--2AB+AD. 所以EC.ED= (侵)·(+的) 1 AB十AD =-1十4=3.] 考点2命题角度1 1.(1)解析：由a十b=2a-b,得a =2a·b; 由a-b=√3，得a2-2a·b十b=3, 即b=3,b=√5. [答案]√ (2)E+1 命题角度2 2.(1)D[由a B C 十b十c=0得 a十b=-c, 6 所以(a十b) 0 =(-c),即 a a2+2a·b+ b2=c2, C 又a=b=1,c=√2， 所以a·b=0,所以a⊥b. 如图所示，a一c=CA,b-c=CB,由余 弦定理得CA=CB=√5， 所以cos∠ACB=5+5-2=4 2√5×√5 51 即cosa-c,b-c)=] (2)（-∞，- （号） 考点3 1.D2. 2 3.5 考点4 [典例们B[第 一步 画出图 形，利用向量 的平行四边形 法则化简PB +PC