微练（二十一）导数的概念及运算-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习同步练，聚焦导数的概念及运算，以“基础巩固+素养提升”分层设计，通过梯度化题型构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|导数概念、运算、几何意义、单调性|单选（6题）、多选（2题）、填空（3题）、解答（2题），从求导数值（第1题）到切线方程（第12题），逐步深化| |素养提升|导数综合应用、跨知识关联|2道题，结合高考真题（如第15题全国甲卷改编），考查切线综合与参数范围，提升逻辑推理能力|

微练(二十一)　导数的概念及运算 　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1. 已知函数f(x)=x3-x,则f'(1)=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.某火箭发射离开发射架后,距离地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系式是h(t)=100+1.5t2+4t,设其在t=0 s时的瞬时速度为v0,则当其瞬时速度为4v0时,t=(　　) A.3 s B.4 s C.6 s D.8 s 3.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(ex)=x+1,则f'(e)=(　　) A.1 B.2 C.e D. 4.(2026·济南模拟)已知曲线y=ln x与曲线y=a在交点(1,0)处有相同的切线,则a=(　　) A.1 B. C.- D.-1 5.若直线y=x+3是曲线y=eln x-a的切线,则a=(　　) A.-4 B.-3 C.3 D.4 6.(2026·西安模拟)函数f(x)=x-aln x在区间(1,6)的图象上存在两条相互垂直的切线,则a的取值范围是(　　) A.(1,6) B.(1,3) C.(3,4) D.(4,6) 二、多项选择题 7.设函数f(x)=xex,则(　　) A.f(x)的极小值点为-1 B.f(x)在(-∞,-1]上为增函数 C.直线y=x是曲线y=f(x)的切线 D.方程f(x)=k恰有一个解当且仅当k=- 8.(2026·汕尾模拟)已知函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,f(-x+2)+g(x)=f(x+3)-g(x-1)=2,且f(x)满足f'(x+1)+f'(-x+3)=0,g(2)=1.下列说法正确的是(　　) A.f(x)的周期为4 B.f(x)的图象关于x=6对称 C.f(x)的图象关于(3,1)对称 D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 029)=4 058 三、填空题 9.函数f(x)=aex+x2在x=1处的切线与直线2x+ey-1=0垂直,则实数a=　　　　.  10.若曲线y=x+2在点(1,3)处的切线也是曲线y=ln x+x+a的切线,则a=　　　　.  11.已知函数f(x)=ln x+x的零点为x0,过原点作曲线y=f(x)的切线l,切点为P(m,n),则mx0=　　　.  四、解答题 12.已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程. 13.已知函数f(x)=(x-a)ex+b. (1)直线y=2x+1在x=0处与函数f(x)相切,求实数a,b的值; (2)若f(x)在(0,4)上单调,求实数a的取值范围. 素养提升 14.(2026·北京模拟)已知 (x1,y1),(x2,y2)是函数y=log2x的图象上两个不同的点,则下面结论正确的是(　　) A.<x1-x2 B.>x1-x2 C.y1+y2<x1+x2 D.y1+y2>x1+x2 15.(2022·全国甲卷)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线. (1)若x1=-1,求a; (2)求a的取值范围. 微练(二十一)　导数的概念及运算 1.D　解析　由题,f'(x)=3x2-1,将x=1代入,可得f'(1)=3-1=2,故选D. 2.B　解析　由h(t)=100+1.5t2+4t,得h'(t)=3t+4,则v0=h'(0)=4,令3t+4=4v0=16,得t=4.故选B. 3.D　解析　已知f(ex)=x+1,令t=ex(t>0),由对数的定义,及t=ex可得x=ln t,代入f(ex)=x+1得f(t)=ln t+1,即f(x)=ln x+1,对其求导得f'(x)=,将x=e代入得f'(e)=.故选D. 4.B　解析　因为(ln x)'=,'=a,曲线y=ln x与曲线y=a在交点(1,0)处有相同的切线,所以2a=1,a=.故选B. 5.B　解析　设直线y=x+3与曲线y=eln x-a相切于点(x0,y0),由题知,y'=,直线y=x+3的斜率为1,所以故选B. 6.C　解析　设切点横坐标为x0,所作切线斜率为k,则k=f'(x0)=1-,当a≤0时,k=1->0,故不存在k1k2=-1;当a>0时,满足所以3<a<4.故选C. 7.AC　解析　由f(x)=xex得,f'(x)=(x+1)ex,令f'(x)=(x+1)ex=0,解得x=-1,当x<-1时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,-1)上单调递减;当x>-1时,f'(x)>0,f(x)在(-1,+∞)上单调递增;当x=-1时,f(x)取得极小值,所以A正确;所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减,所以B错误;当f'(x)=(x+1)ex=1时,解得x=0,则f(0)=0,所以在(0,0)处切线方程为y=x,所以C正确;又f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,极小值f(-1)=-e-1=-;当x→-∞时,f(x)→0且f(x)<0,当x→+∞时,f(x)→+∞, 所以当f(x)=k恰有一个解时,k∈∪[0,+∞),所以D错误;故选AC. 8.ABD　解析　由f(-x+2)+g(x)=f(x+3)-g(x-1)=2,得到g(x)=2-f(-x+2),g(x-1)=f(x+3)-2,将x替换为x+1,则有g(x)=f(x+4)-2,故f(x+4)-2=2-f(-x+2),则f(x+4)+f(-x+2)=4,故f(x)关于(3,2)对称;由[f(x+1)-f(-x+3)]'=f'(x+1)+f'(-x+3)=0,故f(x+1)-f(-x+3)=C对任意x∈R成立,令x=1可得C=0,则f(x+1)=f(-x+3),将x替换为x+1,故f(x+2)=f(-x+2),所以f(x)关于x=2对称;对于选项A:f(x+2)=f(-x+2)=4-f(x+4),则f(x+2)+f(x+4)=4,将x替换为x-2,所以f(x)+f(x+2)=4,故f(x)=f(x+4),则f(x)的周期为4,故A正确;对于选项B:由f(x+2)=f(-x+2),将x替换为x+4,则f(x+6)=f(-x-2)=f(-x-2+8)=f(-x+6),故f(x)的图象关于x=6对称,故B正确;对于选项C:f(x+4)+f(-x+2)=4,故f(x)关于(3,2)对称,故C错误;对于选项D:由f(-x+2)+g(x)=f(x+3)-g(x-1)=2,g(2)=1,f(x)的周期为4,令x=2,f(0)+g(2)=2,f(0)=f(4)=1,令x=3,f(6)-g(2)=2,f(6)=f(2)=3,由f(x+4)+f(-x+2)=4,令x=-1,f(3)=2,又f(x)关于x=2对称,故f(3)=f(1)=2,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 029)=507×8+f(2 029)=4 056+f(1)=4 058,故D正确.故选ABD. 9.-　解析　因为函数f(x)=aex+x2,所以f'(x)=aex+2x,所以f'(1)=ae+2,即函数f(x)=aex+x2在x=1处的切线的斜率为ae+2.直线2x+ey-1=0,即y=-x+,所以直线2x+ey-1=0的斜率为-.因为函数f(x)=aex+x2在x=1处的切线与直线2x+ey-1=0垂直,所以(ae+2)×=-1,解得:a=-. 10.2　解析　由y=x+2,得y'=1+,y'|x=1=2,故曲线y=x+2在(1,3)处的切线方程为y=2x+1;由y=ln x+x+a,得y'=1+,设切线与曲线y=ln x+x+a相切的切点为(x0,ln x0+x0+a),由两曲线有公切线得y'=1+=2,解得x0=1,则切点为(1,1+a),故切线方程为y-(1+a)=2(x-1),即y=2x-1+a,因两切线为同一条直线,方程相同,则1=-1+a,解得a=2. 11.e　解析　易知f'(x)=+1,切点为P(m,ln m+m),则切线方程为y=(x-m)+ln m+m,因为过原点,所以0=(-m)+ln m+m,解得m=e,则P(e,e+1),由ln x0+x0=0,可得x0=-ln x0,故mx0=ex0·=ex0·=e. 12.解　(1)因为f'(x)=3x2-8x+5,所以f'(2)=1,又f(2)=-2,所以曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,即x-y-4=0. (2)设切点坐标为(x0,-4+5x0-4),因为f'(x0)=3-8x0+5,所以切线方程为y-(-2)=(3-8x0+5)·(x-2),又切线过点(x0,-4+5x0-4),所以-4+5x0-2=(3-8x0+5)·(x0-2),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1,所以经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0. 13.解　(1)因为函数f(x)=(x-a)ex+b,所以f'(x)=ex(x-a+1),所以f'(0)=e0(-a+1)=-a+1,所以函数f(x)在x=0处的切线的斜率为-a+1.由题可知:y=2x+1就是函数在x=0处的切线方程,所以-a+1=2,所以a=-1.又切线y=2x+1过点(0,f(0)),所以f(0)=1,即-a+b=1,所以b=0.所以a=-1,b=0. (2)因为f(x)在(0,4)上单调,f'(x)≥0或f'(x)≤0在(0,4)上恒成立.因为f'(x)=ex(x-a+1),且ex>0恒成立,所以x-a+1≥0或x-a+1≤0在(0,4)上恒成立,所以a≤x+1或a≥x+1在(0,4)上恒成立,所以a≤1或a≥5.所以a的取值范围是(-∞,1]∪[5,+∞). 14.C　解析　对于AB,取(x1,y1)=(1,0),(x2,y2)=,此时=x1-x2,故AB错误;对于C,由图象知,x>0时,x>log2x,x1+x2>log2x1+log2x2=y1+y2,故C正确;对于D,取(x1,y1)=(1,0),(x2,y2)=(2,1),此时y1+y2=1<x1+x2=3,故D错误. 15.解　由题意可知f'(x)=3x2-1,f(x1)= -x1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为 y-(-x1)=(3-1)(x-x1),即y=(3-1)x-2.因为曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以有且仅有一组解,即方程x2-(3-1)x+2+a=0有两个相等的实数根,从而Δ=(3-1)2-4(2+a)=0⇔4a=9-8-6+1. (1)若x1=-1,则4a=12⇔a=3. (2)4a=9-8-6+1,令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),令h'(x)>0,得-<x<0或 x>1,令h'(x)<0,得x<-或0<x<1,所以h(x)在和(1,+∞)上单调递增,在和(0,1)上单调递减,又h(1)=-4,h=,所以h(x)≥-4,所以a≥-1. 学科网（北京）股份有限公司 $