第2章 第9节 函数模型及应用（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

**基本信息** 聚焦函数模型应用，以实际问题为载体，构建“图像分析-数据拟合-模型求解-综合拓展”的方法体系，强化数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-4题|图像分析法、代入排除法|从函数图像直观观察到数据拟合，建立“形-数”转化逻辑| |模型求解|5-9题|指数对数模型、分段函数建模|通过过滤、增长等问题，形成“实际问题→不等式/方程→参数计算”推理链| |综合拓展|10-14题|导数求最值、存在性证明|结合几何、经济场景，深化函数与导数、不等式的综合应用|

课时冲关16　函数模型及应用 学生用书　P296 [基础训练组] 1．(多选)一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下4个论断，则一定正确的是(　　 ) A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点总蓄水量降低 D．4点到6点不进水不出水 解析：AC　[由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，A正确；3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄水量降低，B错，C正确；4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D错．] 2．在某物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x　　　　　　 B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析：D　[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．] 3．(2024·云南德宏高一统考期末)“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收．”源于《增广贤文》，《增广贤文》是勉励人们专心学习的，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把式子(1＋1%)365中的1%看作是每天的“进步”率，一年后的值是1.01365；而把式子(1－1%)365中的1%看作是每天的“退步”率，一年后的值是0.99365.照此计算，大约经过多少天“进步”后的值是“退步”后的值的10倍？(参考数据：lg 1.01≈0.004 32，lg 0.99≈－0.004 36)(　　) A．100天 B．108天 C．115天 D．124天 解析：C　[假设经过n天，“进步”后的值是“退步”后的值的10倍， 则可得(1＋1%)n＝10(1－1%)n， 所以n＝10，所以n＝≈≈115， 即经过115天，“进步”后的值是“退步”后的值的10倍．] 4．(2024·广东广州模拟)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图像大致是(　　 ) 解析：B　[函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C、D，一开始，h随着时间的变化，变化较快，当水面变化到一半高度附近时，h变化变慢，之后，h变化再变快，故对应的图像为B.] 5．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．6　　 B．9　　 C．8　　 D．7 解析：BC　[设经过n次过滤，产品达到市场要求，则×n≤，即n≤，由nlg≤－lg 20，即n(lg 2－ln 3)≤－(1＋lg 2)，即n≥≈7.4，所以选BC.] 6．(2024·山西校联考)净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中的核心零件是多层式结构的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为60 mg/L，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2 mg/L，则PP棉滤芯层数最少为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A．5　　 B．6　　 C．7　　 D．8 解析：C　[由题意得，经n层滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为60 n＝60×n，n∈N，则60×n≤2，得30×n≤1， 所以lg 30＋lgn≤0，即lg 10＋lg 3＋n(lg 2＋lg 3－lg 10)≤0，所以1＋0.48＋(0.78－1)n≤0，解得n≥，n∈N，所以n的最小值为7.] 7．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km. 解析：设出租车行驶x km时，付费y元， 则y＝ 由y＝22.6，解得x＝9. 答案：9 8.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图像如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克． 解析：前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝. 答案： 9．(2024·东城区模拟)某种物质在时刻t (min)的浓度M (mg/L)与t的函数关系为M(t)＝art＋24(a，r为常数)．在t＝0 min和t＝1 min测得该物质的浓度分别为124 mg/L和64 mg/L，那么在t＝4 min时，该物质的浓度为________mg/L；若该物质的浓度小于24.001 mg/L，则最小的整数t的值为________．(参考数据：lg 2≈0.301 0) 解析：根据条件：ar0＋24＝124，ar＋24＝64， ∴a＝100，r＝.∴M(t)＝100t＋24， ∴M(4)＝1004＋24＝26.56. 由100t＋24<24.001得t<(0.1)5， ∴lg t<lg(0.1)5，∴tlg<－5， ∴t[lg 2－(1－lg 2)]＜－5. ∴t(2lg 2－1)＜－5，代入lg 2≈0.301，得－0.398t＜－5，解得t＞12.5.∴最小的整数t的值是13. 答案：26.56　13 10．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(a>b)．在AB、AD、CD、CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？求出这个最大面积． 解：设四边形EFGH的面积为S， 由题意得S△AEH＝S△CFG＝x2， S△BEF＝S△DHG＝(a－x)·(b－x)． 由此得S＝ab－2 ＝－2x2＋(a＋b)x＝－22＋. 函数的定义域为{x|0<x≤b}，因为a>b>0， 所以0<b<.若≤b，即a≤3b， x＝时面积S取得最大值； 若>b，即a>3b时，函数S＝－22＋在(0，b]上是增函数，因此，当x＝b时，面积S取得最大值ab－b2. 综上可知，若a≤3b，当x＝时，四边形EFGH的面积取得最大值；若a>3b，当x＝b时，四边形EFGH的面积取得最大值ab－b2. [能力提升组] 11．在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v(x)与时间x的关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图像是(　　) 解析：D　[由题意可得，当x∈[0,6]时，翼人做匀加速运动，v(x)＝80＋x，“速度差函数”u(x)＝x. 当x∈[6,10]时，翼人做匀减速运动，速度v(x)从160开始下降，一直降到80，u(x)＝160－80＝80. 当x∈[10,12]时，翼人做匀减速运动，v(x)从80开始下降，v(x)＝180－10x，u(x)＝160－(180－10x)＝10x－20.当x∈[12,15]时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”u(x)＝160－60＝100，结合所给的图像．] 12．(多选)边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台(x∈N*)的收入函数R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差，设利润函数为P(x)，则以下说法正确的是(　　) A．P(x)取得最大值时每月产量为63台 B．边际利润函数的表达式为MP(x)＝2 480－40x(x∈N*) C．利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值 D．边际利润函数MP(x)说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少 解析：BCD　[对于A选项，P(x)＝R(x)－C(x)＝－20x2＋2 500x－4 000， 二次函数P(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝＝62.5， 因为x∈N*，所以，P(x)取得最大值时每月产量为63台或62台，A错误； 对于B选项，MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝[－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000]－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x(x∈N*)，B正确；对于C选项，P(x)max＝P(62)＝P(63)＝74 120，因为函数MP(x)＝2 480－40x为减函数，则MP(x)max＝MP(1)＝2 440，C正确； 对于D选项，因为函数MP(x)＝2 480－40x为减函数，说明边际利润函数MP(x)随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D正确．] 13．(2024·海淀区模拟)某人第一天8：00从A地开车出发，6小时后到达B地，第二天8：00从B地出发，沿原路6小时后返回A地．则在此过程中，以下说法中 ①一定存在某个位置E，两天经过此地的时刻相同； ②一定存在某个时刻，两天中在此刻的速度相同； ③一定存在某一段路程EF(不含A、B)，两天在此段内的平均速度相同． (以上速度不考虑方向) 正确说法的序号是________． 解析：①设函数s(t)表示此人第一天距离A地的路程，则是一个不减的函数，设函数l(t)表示此人第二天距离A地的路程，则是一个不增的函数，其中t表示时间，s(t)、l(t)的定义域都是[0,6]，值域相同．同一坐标系画出s(t)、l(t)的图像，必有一个交点，即两天中在此刻经过此点(如图1)，故①正确； ②画出两天的速度(自变量为时间t)函数图像并求与x轴围成的面积，就是路程，不可能一个总在另一个下方．在交点处时刻，他们的速度相等(如图2)，故②正确； ③在某个路程函数s(t)中，过s(t) 上一点作平行于t，s轴的矩形，如果四个顶点都在曲线上，则意味着速度的绝对值相等，(对角线就是割线，斜率就是平均速度)，但不是每种函数曲线都能成功，图3 显示可以，函数模型就是两个一次函数，图4显示不成功，可以构造函数模型为(这里假定时间t∈(0,6)，AB之间距离为4)，s(t)＝， l(t)＝.在这个图像上经计算，找不到这样的矩形，故③错误． ∴正确的说法是①②. 答案：①② 14．(2024·江西南昌南昌二中校联考模拟预测)定义：如果函数y＝f(x)和y＝g(x)的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数y＝f(x)和y＝g(x)具有C关系． (1)判断函数f(x)＝log2(8x2)和g(x)＝logx是否具有C关系； (2)若函数f(x)＝a和g(x)＝－x－1不具有C关系，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)＝xex和g(x)＝msin x(m＜0)在区间(0，π)上具有C关系，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)与g(x)是具有C关系，理由如下：根据定义，若f(x)与g(x)具有C关系，则在f(x)与g(x)的定义域的交集上存在x，使得f(x)＋g(x)＝0，因为f(x)＝log2(8x2)，g(x)＝logx，x＞0，所以f(x)＋g(x)＝log2(8x2)＋logx＝log28＋log2x2－log2x＝log2x＋3，令f(x)＋g(x)＝0，即log2x＋3＝0，解得x＝，所以f(x)与g(x)具有C关系． (2)令φ(x)＝f(x)＋g(x)，因为f(x)＝a，g(x)＝－x－1，所以φ(x)＝a－x－1(x≥1)，令t＝(t≥0)，则x＝t2＋1，故y＝φ(x)＝at－(t2＋1)－1＝－t2＋at－2，因为f(x)与g(x)不具有C关系，所以φ(x)在[0，＋∞)上恒为负或恒为正，又因为y＝－t2＋at－2开口向下，所以y＝－t2＋at－2在[0，＋∞)上恒为负，即－t2＋at－2＜0在[0，＋∞)上恒成立，当t＝0时，－t2＋at－2＝－2＜0显然成立； 当t＞0时，a＜t＋在[0，＋∞)上恒成立，因为t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即t＝时，等号成立，所以min＝2，所以a＜2，综上：a＜2，即a∈(－∞，2)． (3)因为f(x)＝xex和g(x)＝msin x(m＜0)，令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝xex＋msin x，因为f(x)与g(x)在(0，π)上具有C关系，所以h(x)在(0，π)上存在零点，因为h′(x)＝(x＋1)ex＋m cos x，当－1≤m≤0且x∈(0，π)时，因为(x＋1)ex＞1，|m cos x|＜|m|≤1，所以h′(x)＞0，所以h(x)在(0，π)上单调递增，则h(x)＞h(0)＝0，此时h(x)在(0，π)上不存在零点，不满足题意； 当m＜－1时，显然当x∈时， h′(x)＞0， 当x∈时，因为h′(x)在上单调递增，且h′(0)＝1＋m＜0，h′＝e＞0，故h′(x)在上存在唯一零点，设为α，则h′(α)＝0， 所以当x∈(0，α)，h′(x)＜0；当x∈，h′(x)＞0；又当x∈时，h′(x)＞0，所以h(x)在(0，α)上单调递减，在(α，π)上单调递增，h(x)在(0，π)上存在唯一极小值点α，因为h(0)＝0，所以h(α)＜0，又因为h(π)＝πeπ＞0，所以h(x)在(0，π)上存在唯一零点β，所以函数f(x)与g(x)在(0，π)上具有C关系，综上：m＜－1，即m∈(－∞，－1)． 8 学科网（北京）股份有限公司 $