第2章 第8节 函数与方程、不等式之间的关系（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

**基本信息** 聚焦函数与方程、不等式关系，以零点判定为核心，通过代数推理与数形结合构建系统性解题方法，强化数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|10题|二分法判定、零点存在性定理、分段函数零点讨论|从零点概念出发，结合函数性质（单调性、奇偶性）推导判定方法，形成"概念-性质-应用"链条| |综合提升|4题|数形结合求交点、函数周期性与图像变换、方程参数讨论|整合函数与方程思想，通过图像转化将复杂问题模型化，体现数学眼光与推理能力|

课时冲关15　函数与方程、不等式之间的关系 学生用书　P294 [基础训练组] 1．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是(　　 ) 解析：C　[A中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图像不连续；D中函数在x轴下方没有图像．] 2．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3　　 B．2　　 C．1　　 D．0 解析：B　[当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x>0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2.] 3．函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间为(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：B　[易知f(x)＝ln x－的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递增． ∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－>0， ∴f(1)·f(2)<0，∴根据零点存在性定理知f(x)＝ln x－的零点所在的区间为(1,2)．] 4．(2024·玉溪市模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的解有(　　 ) A．2个 B．3个 C．4个 D．多于4个 解析：C　[由f(x＋2)＝f(x)可得函数的周期为2， 又函数为偶函数且当x∈[0,1]时，f(x)＝x， 故可作出函数f(x)的图像． ∴方程f(x)＝log3|x|的解个数等价于y＝f(x)与y＝log3|x|图像的交点个数，由图像可得它们有4个交点，故方程f(x)＝log3|x|的解的个数为4.] 5．(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是(　　) A．ln x＝1－x B．ex＝ C．2－x2＝lg |x| D．cos x＝|x|＋1 解析：ABD　[对于A，设f(x)＝ln x＋x－1，易知y＝f(x)为增函数，又f(1)＝0，故ln x＝1－x有唯一解，符合；对于B，设g(x)＝ex－，易知y＝g(x)为增函数，又g＝－2＜0，g(1)＝e－1＞0，由函数零点存在定理可得ex＝有唯一解，符合；对于C，设h(x)＝x2＋lg x－2，易知y＝h(x)为增函数，由h(1)＝1－2＜0，h(2)＝2＋lg 2＞0，由函数零点存在定理可得h(x)＝x2＋lg x－2有唯一零点，又H(x)＝2－x2－lg |x|为偶函数，则2－x2＝lg|x|有两个解，不符合；对于D，因为cos x∈[－1,1]，|x|＋1≥1，当且仅当x＝0时cos x＝|x|＋1，即cos x＝|x|＋1有唯一解，符合．] 6．(2024·辽宁模拟)函数f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x－1)为偶函数，当x＝[0,1]时，f(x)＝，若g(x)＝f(x)－x－b有三个零点，则实数b的取值集合是(　　) A．(2k－＋1,2k＋－1)，k∈Z B.，k∈Z C．(4k－＋1,4k＋－1)，k∈Z D.，k∈Z 解析：C　[由已知得，f(－x)＝－f(x)，f(x－1)＝f(－x－1)， 则f(x＋1)＝－f(－x－1)＝－f(x－1)＝f(1－x)， 所以函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，关于原点对称，又f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝－f((x＋1)－1)＝－f(x)， 进而有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以得函数f(x)是以4为周期的周期函数． 由g(x)＝f(x)－x－b有三个零点可知，函数f(x)与函数y＝x＋b得图像有三个交点， 当直线y＝x＋b与函数f(x)图像在[0,1]上相切时， 由x＋b＝，即2x2＋(2b－2)x＋b2＝0，故方程2x2＋(2b－2)x＋b2＝0有两个相等得实根． 由Δ＝0⇒(2b－2)2－4·2·b2＝0，解得b＝－1±， 当x∈[0,1]时，f(x)＝，作出函数f(x)与函数y＝x＋b的图像如图： 由图知当直线y＝x＋b与函数f(x)图像在[0,1]上相切时，b＝－1＋， 数形结合可得g(x)在[－2,2]上有三个零点时，实数b满足1－＜b＜－1＋， 再根据函数f(x)的周期为4，可得所求的实数b的范围为，k∈Z.] 7．函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]＋1的所有零点所构成的集合为________． 解析：由题意知f[f(x)]＝－1，由f[f(x)]＝得函数y＝f[f(x)]＋1的零点就是使f(x)＝－2或f(x)＝的x值， 解f(x)＝－2得x＝－3或x＝； 解f(x)＝得x＝－或x＝， 从而函数y＝f[f(x)]＋1的零点构成的集合为. 答案： 8．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________. 解析：∵2<a<3<b<4，∴f(1)＝loga1＋1－b＝1－b<0，f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b， 又∵loga3>1，－1<3－b<0， ∴f(3)>0，即f(2)f(3)<0，故x0∈(2,3)，即n＝2. 答案：2 9．(2024·遂宁市模拟)已知f(x)是以2e为周期的R上的奇函数，当x∈(0，e)时，f(x)＝ln x，若在区间[－e,3e]上关于x的方程f(x)＝kx恰好有4个不同的解，则实数k的取值范围是________． 解析：由f(x)是以2e为周期的R上的奇函数， 可得f(0)＝0，f(－e)＝f(2e－e)＝f(e)＝－f(e)， 所以f(e)＝0，f(3e)＝0， 当x∈(0，e)时，f(x)＝ln x， 可得x∈(－e,0)时，f(x)＝－ln (－x)， 作出函数f(x)在[－e,3e]上的图像， 由已知在区间[－e,3e]上关于x的方程f(x)＝kx，可得f(0)＝0，当直线y＝kx过(e，－1)，可得k＝－； 当直线y＝kx过(3e,1)，可得k＝； 当直线y＝kx过(e,1)，可得k＝； 由图像和在区间[－e,3e]上关于x的方程f(x)＝kx恰好有4个不同的解，可得实数k的取值范围是. 答案： 10．设函数f(x)＝(x>0)． (1)作出函数f(x)的图像； (2)当0<a<b且f(a)＝f(b)时，求＋的值； (3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求实数m的取值范围． 解：(1)如图所示． (2)∵f(x)＝＝ 故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数． 由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b且－1＝1－，∴＋＝2. (3)由函数f(x)的图像可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根． [能力提升组] 11．已知函数f(x)＝ g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1,0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：C　[画出函数f(x)的图像，y＝ex在y轴右侧的去掉，再画出直线y＝－x，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程f(x)＝－x－a有两个解，也就是函数g(x)有两个零点， 此时满足－a≤1，即a≥－1.] 12．(多选)已知函数f(x)＝－10x(x＞1)，g(x)＝－lg x(x＞1)的零点分别为x1，x2，则(　　) A．x1＝lg x2　　　　 B.＋＝1 C．x1＋x2＜4 D．10＜x1x2＜200 解析：ABD　[因为函数y＝10x与y＝lg x的图象关于直线y＝x对称，y＝(x＞1)图象也关于直线y＝x对称，设y＝(x＞1)与y＝10x图象的交点为A，y＝(x＞1)与y＝lg x图象的交点为B，则A(x1,10x1)与B(x2，lg x2)关于直线y＝x对称，则x1＝lg x2，x2＝10x1.因为－10x1＝0，所以 ＝x2，则x1＋x2＝x1x2，即＋＝1，因为y＝(x＞1)的图象与直线y＝x的交点为(2,2)，所以x1＋x2＞4，x1x2＝x1·10x1，x1∈(1,2)，则10＜x1x2＜200.] 13．(2024·榆林市模拟)直线y＝x与函数f(x)＝的图像恰有三个公共点，则实数m的取值范围是________． 解析： 直线y＝x与射线y＝2(x＞m)有一个交点A(2,2)，且与抛物线y＝x2＋4x＋2在(－∞，m]上的部分有两个交点B、C. 由，解得B(－1，－1)，C(－2，－2)． ∵抛物线y＝x2＋4x＋2在(－∞，m]上的部分必须包含B、C两点，且点A(2,2)一定在射线y＝2(x＞m)上，才能使y＝f(x)图像与y＝x有3个交点， ∴实数m的取值范围是－1≤m＜2. 答案：[－1,2) 14．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数． (1)求k的值； (2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围． 解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)， 即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx， 即(2k＋1)x＝0，∴k＝－. (2)依题意有log4(4x＋1)－x＝log4(a·2x－a)， 即 令t＝2x，则(1－a)t2＋at＋1＝0(*)， 只需其有一正根即可满足题意． ①当a＝1时，t＝－1，不合题意． ②(*)式有一正一负根t1，t2， 即 得a>1，经验证正根满足at－a>0，∴a>1. ③(*)式有相等两根，即Δ＝0⇒a＝±2－2， 此时t＝， 若a＝2(－1)，则有t＝<0，此时方程(1－a)t2＋at＋1＝0无正根，故a＝2(－1)舍去； 若a＝－2(＋1)，则有t＝>0， 且a·2x－a＝a(t－1)＝a ＝>0， 因此a＝－2(＋1)． 综上所述，a>1或a＝－2－2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $