精品解析：河南郑州外国语学校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

郑州外国语学校2025－2026学年高一下学期期末试卷 数学 （120分钟 150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为了解两名同学数学成绩的变化情况，下列的统计图使用最方便的是（ ） A. 频率分布直方图 B. 条形图 C. 折线图 D. 扇形图 【答案】C 【解析】 【详解】折线图更易于显示数据的变化趋势． 2. 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量公式求解即可. 【详解】由投影向量公式得空间向量在向量方向上的投影向量如下， 为，故C正确. 故选：C 3. 在中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. 或 C. 60° D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】，，， ，，， ，或， ，不符合题意，，故选项为A. 4. 古代的一种铜钱是由同心的圆和正方形构成的，如图所示，圆和正方形ABCD的中心是重合的，圆的半径为，正方形ABCD的边长为4，P为圆上的动点，且，则圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图，连接，正方形ABCD的边长为， ， ，解得， 圆的面积为． 5. 若（为虚数单位），则的值可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】把代入验证即得． 6. 若M为所在平面内一点，且满足，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算法则化简条件等式可得，两边平方化简可得，结合数量积的性质可得，由此可得结论. 【详解】由，得 所以，即， 两边平方并化简得，则，即，故， 所以是直角三角形. 故选：A 7. 在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（ ） A. 4 B. 1 C. 6 D. －6 【答案】C 【解析】 【详解】由， 得. 因为四点共面，所以存在唯一实数对，使得， 所以，解得. 故的值为. 8. 某校采用分层随机抽样采集了高一、高二、高三年级学生的身高情况，部分调查数据如下： 年级 样本量 样本平均数 样本方差 高一 100 167 120 高二 100 170 150 高三 100 173 150 则总的样本方差等于（ ） A. 140 B. 142 C. 144 D. 146 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，总的样本平均数为， 所以总的样本方差为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 1000名高一学生参加数学质量监测，从中随机抽取200名学生的成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中，正确的序号有（ ） A. 频率分布直方图中的值为0.005 B. 估计这200名学生成绩的第60百分位数为80 C. 估计总体中成绩落在内的学生人数为150 D. 估计这200名学生成绩的众数为78 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据频率之和为1可得，进而可得每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断. 【详解】对于A：因为 ，可得，故A正确； 对于B：前三组的频率和为 ， 所以这200名学生成绩的第60百分位数为80，故B正确； 对于C：总体中成绩落在内的学生人数为，故C正确． 对于D：因为的频率最大，所以这200名学生成绩的众数为75，故D错误； 10. 设为两个随机事件，且，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若互斥，则 C. 若，则独立 D. 若，则独立 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若互斥，即事件与事件不会同时发生，则，故B正确； 对于C，若，则，所以独立，故C正确； 对于D，若， 则由， 得 所以，又因为， 所以，故事件与事件独立，从而也独立，故D正确． 11. 如图，为圆锥底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的表面积为 B. 圆锥的外接球体积是 C. 圆锥的内切球半径为 D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A求出底面积和侧面积相加即可；B求出外接球半径即可；C根据体积公式可得；D展开共线时最短； 【详解】根据题意可得底面半径和母线的长分别为， 所以侧面积为，底面积为， 所以圆锥的表面积为，故A对； 设外接球的半径为，球心到圆锥底面的距离为。 由于圆锥的高，底面半径， 所以，代入得 ， 所以，故B正确； 圆锥的体积，， ，故C错误； 由，E为线段上的动点，得， 又，所以为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到， 所以为等边三角形，则， 则, 因为, , 则，故D正确 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 在高一某次数学周测考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中试卷上有一道满分为13分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数等于这组数据极差，则该组数据上四分位数是______． 【答案】10 【解析】 【详解】已知数据，数据个数为偶数，所以中位数是中间两个数6和的平均数， 即中位数为． 极差是最大值12减去最小值4，即极差为． 因为该组数据的中位数是这组数据的极差，所以．可得． 此时这组数据为4，5，6，10，10，12．计算6与75%的乘积为4.5，所以从小到大，上四分位数是第5个数，即10． 13. 如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”.在下面的五个点，，，，中随机选择两个点，其中至少有一个“好点”的概率为________. 【答案】##0.7 【解析】 【分析】先判断出这五个点中“好点”的个数，再用列举法和古典概型的概率公式可求出结果. 【详解】设此指数函数为，显然不过点，， 若设对数函数为，显然不过点， 当点为“好点”时，，得； 当点为“好点”时，，得， 所以“好点”有两个，分别为，， 从五个点中选择两个点的样本空间为 ，共10个样本点， 记“其中至少有一个好点”， 则，共7个样本点， 故所求概率为. 故答案为：. 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理结合面积公式化简得，利用辅助角公式求出，由正弦定理得，根据正切函数的性质求得，，最后利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】在锐角，由余弦定理可知， 由面积公式可得，代入到已知条件可得， 因为，化简可得，所以， 根据恒等变换可得，因为锐角， 所以，则，所以可得，即， 所以， 则， 因为锐角，所以，， 则，又在单调递增， 则，令，所以， 所以， 由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增， 当时，取到最小值，当或时，最大值， 则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知 ，复数 ， ， 在复平面上对应的点分别为A、B、C，O为坐标原点． （1）求的取值范围； （2）当A、B、C三点共线时，求实数a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数相加求出，利用复数模长公式转化为代数式，结合基本不等式求最小值，进而求出模长范围； （2）求出复数对应复平面内点坐标，利用三点共线得出斜率相等构造方程，解方程求实数a的值． 【小问1详解】 ， ，当且仅当时取等号， 故的取值范围为． 【小问2详解】 由题意知，， 当A、B、C三点共线时，直线斜率相等， ，， 则，，则，解得． 16. 网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人. （1）利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数； （2）经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁.现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用容斥原理求出样本中移动支付和共享单车两种都没使用的人数，从而利用频率估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数； （2）利用列举法结合古典概型概率公式计算概率即可. 【小问1详解】 样本中使用过移动支付的人组成集合，使用共享单车的人组成集合， 表示集合中的元素，由题意，，， 所以， 所以样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为， 从而估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为； 【小问2详解】 由（1）知样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生有人，记为A，B，C，D，E， 其中有3人坐过高铁的学生记为A，B，C. 则从5人中抽取2人的所有抽取情况有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种， 其中2名学生都坐过高铁的有AB，AC，BC，共3种，故所求概率为. 所以这2名学生都坐过高铁的概率为. 17. 在中，，若，， （1）求的大小； （2）若以为底面的直三棱柱的所有顶点均在半径为的球的球面上，求直三棱柱的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先处理向量关系，因为，所以可将用、线性表示，再结合的条件，展开数量积运算可得到的值，进而用向量数量积定义求； （2）第一问求出后，用余弦定理计算的长度，再用正弦定理求外接圆的半径，因为直三棱柱外接球的球心是上下底面外接圆圆心连线的中点，所以外接球半径、底面外接圆半径、棱柱高满足，代入已知外接球半径可求出，最后用柱体体积公式计算体积. 【小问1详解】 因为，所以． ， 解得，又，所以； 【小问2详解】 在中，由余弦定理， 得到，解得， 所以外接圆的直径为，解得， 设直三棱柱的高为，其外接球的半径为， 则，即，解得， 又的面积为， 所以直三棱柱的体积为 18. 为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． （1）若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； （2）若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据独立事件的乘法公式计算求解；②根据独立事件的乘法公式和概率加法公式计算求解； （2）根据独立事件的乘法公式结合基本不等式计算可解. 【小问1详解】 ①由题意可得，解得或， 因为，所以，，解得； ②一共治愈好2只小白鼠的情况有如下三种情况： 第一种，药物恰好治愈2只小白鼠，药物治愈0只小白鼠，其概率为； 第二种，药物恰好治愈0只小白鼠，药物治愈2只小白鼠，其概率为； 第三种，药物恰好治愈1只小白鼠，药物治愈1只小白鼠，其概率为； 所以，两种药物一共治愈好2只小白鼠的概率为； 【小问2详解】 设药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率为， 则， 因为，所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值为. 19. 如图①，在等腰直角中，，，，分别是边，上的动点，将沿折起到如图②的位置，连接，，且平面平面． （1）当，分别是边，的中点时； ①求证：平面平面 ②求二面角的正切值 （2）若点与点重合，如图③，设，求三棱锥体积的最大值； 【答案】（1） ①分别是边的中点，， 在等腰直角，则，即 因平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，平面平面； ②； （2）. 【解析】 【分析】（1）①由已知得再根据面面垂直的性质、判定定理，即可证；②取的中点，连接，根据已知及二面角定义得为二面角的平面角，进而求其正切值； （2）过P点作，垂足为H，应用正弦定理、三角形面积公式、棱锥的体积公式得，令，结合同角三角函数关系及相关函数性质求体积的最大值. 【小问1详解】 ①略 ②取的中点，连接， 由①可知平面，平面，则， 由是边的中点，，， ，为中点， ，平面， 平面，因平面，， 为二面角的平面角， 平面，平面， 在中， 所以二面角的正切值为. 【小问2详解】 过P点作，垂足为H，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 在中，由正弦定理，，则， ， ， 令， ，，则， ， 令，则函数在单调递增， 当时，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州外国语学校2025－2026学年高一下学期期末试卷 数学 （120分钟 150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为了解两名同学数学成绩的变化情况，下列的统计图使用最方便的是（ ） A. 频率分布直方图 B. 条形图 C. 折线图 D. 扇形图 2. 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. 或 C. 60° D. 或 4. 古代的一种铜钱是由同心的圆和正方形构成的，如图所示，圆和正方形ABCD的中心是重合的，圆的半径为，正方形ABCD的边长为4，P为圆上的动点，且，则圆的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若（为虚数单位），则的值可能是 A. B. C. D. 6. 若M为所在平面内一点，且满足，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 7. 在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（ ） A. 4 B. 1 C. 6 D. －6 8. 某校采用分层随机抽样采集了高一、高二、高三年级学生的身高情况，部分调查数据如下： 年级 样本量 样本平均数 样本方差 高一 100 167 120 高二 100 170 150 高三 100 173 150 则总的样本方差等于（ ） A. 140 B. 142 C. 144 D. 146 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 1000名高一学生参加数学质量监测，从中随机抽取200名学生的成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中，正确的序号有（ ） A. 频率分布直方图中的值为0.005 B. 估计这200名学生成绩的第60百分位数为80 C. 估计总体中成绩落在内的学生人数为150 D. 估计这200名学生成绩的众数为78 10. 设为两个随机事件，且，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若互斥，则 C. 若，则独立 D. 若，则独立 11. 如图，为圆锥底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的表面积为 B. 圆锥的外接球体积是 C. 圆锥的内切球半径为 D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 在高一某次数学周测考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中试卷上有一道满分为13分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数等于这组数据极差，则该组数据上四分位数是______． 13. 如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”.在下面的五个点，，，，中随机选择两个点，其中至少有一个“好点”的概率为________. 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知 ，复数 ， ， 在复平面上对应的点分别为A、B、C，O为坐标原点． （1）求的取值范围； （2）当A、B、C三点共线时，求实数a的值． 16. 网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，从全校3000名学生中随机抽取了100人，发现样本中使用过移动支付的有60人，使用过共享单车的有43人，其中两种都使用过的有8人. （1）利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数； （2）经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3人坐过高铁.现从样本中两种都没使用过的学生里随机选出2名学生，求这2名学生都坐过高铁的概率. 17. 在中，，若，， （1）求的大小； （2）若以为底面的直三棱柱的所有顶点均在半径为的球的球面上，求直三棱柱的体积． 18. 为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． （1）若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； （2）若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 19. 如图①，在等腰直角中，，，，分别是边，上的动点，将沿折起到如图②的位置，连接，，且平面平面． （1）当，分别是边，的中点时； ①求证：平面平面 ②求二面角的正切值 （2）若点与点重合，如图③，设，求三棱锥体积的最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $