河南商丘市商师联盟2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题（B版）

高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数 A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则实数 A． B． C． D． 3．长时间使用手机，不仅会损伤视力，还会影响大脑认知功能．某中学为了解学生使用手机的情况，随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时长（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 手机使用时长 学生人数 4 11 15 14 6 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周使用手机的时间少于8小时的概率为 A．0.3 B．0.22 C．0.15 D．0.08 4．已知一圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积为，则该圆锥的体积为 A． B． C． D． 5．已知，是不同的平面，，，是不同的直线，若，，，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在中，，，则是 A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 7．在中，角，，的对边分别为，，，若满足，的有两个，则的取值范围为 A． B． C． D． 8．盒子中装有大小、质地完全相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的2个球同色”，事件“第一次取出的是黑球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的2个球不同色”，则下列结论错误的是 A．与对立 B． C．与相互独立 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则 A．在复平面内对应的点位于第四象限 B． C． D．是关于的方程的一个根 10．已知一组从小到大排列的数据，，，…，的平均数为，方差为，极差为，中位数为．由这组数据得到一组新数据，，，…，，其中，则 A．若，则 B．新数据的极差为 C．新数据的平均数为 D．新数据的方差为 11．如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列结论正确的是 A．若该正方体的顶点都在球的球面上，则球的体积为 B．若平面，则点的轨迹长度是 C．若，则点的轨迹长度为 D．过点，，的平面截正方体所得的截面图形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2026年美加墨世界杯于北京时间2026年6月12日开幕，参赛球队首次从32支扩军至48支．某校有老师300人，男学生1800人，女学生1500人，为了解师生对该届世界杯的评价，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为240的样本，则女生应抽取__________人． 13．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为__________． 14．在三棱锥中，，，，是的中点，则异面直线与所成角的正弦值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知，是两个不共线的单位向量，且，，． （1）用，表示； （2）若，求与的夹角． 16．（本小题满分15分） 甲、乙两人参加某公司的招聘，招聘过程分为笔试和面试，笔试共有3道题，这3道题都解答正确才能进入面试环节．已知甲答对这3道题的概率依次为，，，乙答对每道题的概率均为，且甲、乙两人每道题是否答对互不影响，甲、乙两人是否进入面试环节也互不影响． （1）求甲进入面试环节的概率； （2）求甲、乙两人中恰有一人进入面试环节的概率． 17．（本小题满分15分） 在中，内角，，的对边分别为，，，，且． （1）求； （2）若角的平分线交于，，求的周长． 18．（本小题满分17分） 某校举办益智类答题比赛，对报名参加初赛的学生进行了选拔性测试，为了解参赛者的成绩情况，随机抽取了200名学生的成绩（满分100分），按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）请根据直方图估计参赛者成绩的85%分位数； （3）已知样本数据落在的平均数是87，方差是6.2，落在的平均数是93，方差是9.2，求这两组数据合并后的平均数和方差． 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． （1）若平面，求的值； （2）若，求点到平面的距离； （3）若，设二面角的大小为，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学参考答案、提示及评分细则 1.C2.D3.A4.A5.B6.A7.D8.C9.ACD10.BD11.AC V133 12.10013.V514.14 15.解：(1)设c=ma+nb(m,neR)】 则3起+2g=m3g-4g)+n6+2g)=(3m+mg+(4m+2m）g,3分 3m+n=-3, 3 n=- 50-50.7分 Z所以4m+2n=2,2相71=5’c=--a-26 2a+=(3g-4g)+(+28)=4e-2g,8分 因为a+-c=-9,所以(4e-2g)(38+29)=-126+14g6-4=-9 1 即-12+14e·6-4=-9,解得9 e2=2,11分 COs0=. ee 1 设9与2的夹角为0，则 自方，z0e]m0-受1分 16解)设作4为甲岁对运题，1-1,2.则P4)-.P)广，P4) 设事件A为“甲进入面试环节”，则A=44,4,2分 P(A)=P(4)P(4P(4)=×2×310.5分 所以 (2)设事件B,为“乙答对第i道题”，i=1,2,3, P(B)=P(a,)=PB,) 设事件B为“乙进入面试环节”，则B=BB,B,7分 4@=Pa)ra）Pa)-r号5.P国-1-1g,1o8 由(1)知 P4)=10.防y乃 Fa=1-P(A-10.1分 由题意可知，事件A,B相互独立，事件A,B相互独立， 设事件C为“甲、乙两人恰有一人进入面试环节”，则C=ABUAB,12分 e0-aro=n回可+rgn古品.e 17.(1)sin4-sin Asin B=cos'B-cosC=(1-sinB)-(1-sinC)=sin'C-sinB 由正弦定理，得a2-ab=c2-b2,即a2+b2-c2=ab,4分 cosC=a'+b-cab 1 由余弦定理，得 2ab2ab 2, C、π 又0<C<π，所以3.7分 (2)因为CD为角C的平分线，可 ∠ACD=∠BCD= 6, 因为SAABC=S△4cn+S△BcD,且CD=2, absin =bx CDxsin+a 1 所以 “32 6axCDxsin 6,所以VBab=2(a+b）,010分 由(1)知c2=a2+6-ab,所以9=(a+b-3ab,@12分 联立0②，解得a+b=3N3或a+b=-V3(舍去)， 所以△ABC的周长为a+b+c=3V3+3.15分 18.解：（q)由题意，10×(2a+0.015+0.020+0.025+0.030)=1,解得a=0.005.3分 (2)设参赛者成绩的85%分位数为t, 由图知成绩在[40,80)内的频率为07，成绩在[40,90)内的领率为095，所以t在80,90)内，6分 所以0.7+(-80)×0.025=0.85，解得1=86.9分 (3)成绩在[80,90)内的人数为0.25×200=50，成绩在90,100]内的人数为0.05×200=10， 50 所以这两组数据合并后的平均数50+10 87+10 ”50+10 ×93=88 ,13分 50 方差50+10 62+67-测]0”np2+(03-]=17 .17分 19.解：(1)连接CA交BD于点N,连接MN, B.- 因为PA∥平面BDM,PAc平面PAC,平面BDM∩平面PAC=MN, 所以PA/IMN, CM CN 所以CPCA,2分 CN BC 1 CNCN 1 因为ADI/BC. BC=1AD 2 ,所以NAAD2,所以CACN+NA3, =CM、1 所以 CP3.4分 (2)取AD的中点O,连接PO,CO,过M作MEIIPO,ME与CO交于点E,过E作EF⊥AB, 垂足为F,连接MF,过E作EG⊥FM，,垂足为G. R 因为△PAD是边长为4的等边三角形，所以PO⊥AD,PO=2V3, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,POC平面PAD,所以PO⊥平面 ABCD. 所以ME⊥平面ABCD,又ABC平面ABCD,所以ME⊥AB, 因为EF⊥AB,ME∩EF=E,ME,EFc平面MEF,所以AB⊥平面MEF, 因为EGC平面MEF,所以AB⊥EG, 又AB∩FM=F,AB,FMC平面ABM,所以EG⊥平面ABM,7分 22 CM 2 MB=2P0=45 MF=VEF2+ME2=22+ 4v3 2√21 因为CP3,所以 3 3，所以 3 3 v3 ×2 EG=ME×EF-3 4v7 MF 2W217 3 .8分 由题易知AO=BC,AO/BC,所以四边形ABCO是平行四边形，所以CO∥AB, 又CO￠平面ABM,ABc平面ABM,所以CO∥平面ABM, 所以点C到平面ABM的距离与点E到平面ABM的距离相等， PM=ICM 又 2 ,所以点P到平面ABM的距离为点C到平面ABM的距离的2， G=27 即点P到平面ABM的距离为2 7.10分 (3)取AD的中点O,连接CO,设CO与BD交于点I,过M作MEIIPO,ME与CO交于点E,过 E作EH⊥BD,垂足为H,连接MH, B 由(2)知，ME⊥平面ABCD,又BDC平面ABCD,所以ME⊥BD, 因为EH,MEc平面MEH,EH∩ME=E,所以BD⊥平面MEH,又MHc平面MEH,所以 BD⊥MH, 所以∠MHE为二面角M-BD-C的平面角或二面角M-BD-A的平面角， 即0=∠MHE,或0=元-∠MHE,所以sin0=sin∠MHE.12分 CM= 因为CP元，所以ME=P0=252,CE=C0=4, 当点E在线段IO上时，IE=CE-C1=42-2, sin∠O1D=OD、 OD 2=2 因 Do+0D2+22,所EH=Esin∠01D=2(2A-). 所以MH=VEr+ME=2(2-1+(25=V20-8+2 sin∠MHE=ME- 2W31 6 VG MHV2022-82+2 所以 √6 sin∠MHE= 12 当点E在线段C上时，同理可得 .15分 鬥 即