30.2 三角形的内切圆&30.3 正多边形与圆（课外拓展提高）-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

.△AOP≌△BOP(SSS), ∴.∠OAP=∠OBP=90°，即OA ⊥AP. 又，OA是⊙O的半径， .AP是⊙O的切线 (2)如图，连接AB. AP=BP,∠P=60°， △APB为等边三角形 .'.AB=BP. 由(1)得，∠0PB=2∠P=30. 在Rt△OBP中，OP=2OB=2,BP=√OP-OB =3, .AB=BP=√3 30.2三角形的内切圆 1.C 2.A【解析】连接BI,如图 :△ABC的内心为点I, .∠1=∠2，∠5=∠6. 又∠3=∠1，∴.∠3=∠2， ∴.∠4=∠2+∠6=∠3+∠5， .∠DIB=∠DBI,.DI=DB. 3.C【解析】，点I是△ABC的内心， .∠BAC=2∠IAC,∠ACB=2∠ICA. ∠1=124°， .∠B=180°-（∠BAC+∠ACB)=180°-2（∠IAC +∠1CA)=180°-2(180°-∠1)=68 又，四边形ABCD内接于⊙O, ∠CDE=180°-∠ADC=∠B=68°. 4.70° 5.123【解析】如图，连接B0并延长交 AC于点F.设⊙O与BC的切点为D, 连接OD.,△ABC为等边三角形， ∴.∠OBD=30°.由题意可知⊙0与ACB 的切点为F,OF=OD.:OD=2,.OB=4,BF=BO +OF=6.在Rt△OBD中，OB=OD2+BD2,即42= 22+BD2,.BD=25,.AC=BC=2BD=4√5， 1 SaAx=2AC·BF=125 6.35°【解析】如图，连接OE,OD, OB,设OB交DE于点H.:⊙O 是△ABC的内切圆，∴.AO,BO分 别是∠CAB,∠CBA的平分线， 1 ·∠OAB=2∠CAB,∠OBA 2∠CBA.:∠ACB=70°，∠OAB+∠OBA= 1 1 (∠CAB+∠CBA)=2I80°-∠ACB)=55, 46 九年级数学RJ版 .∠AOB=125°.：⊙O与AB,BC分别相切于点D, E,∴.BD=BE.又，OD=OE,∴.OB是DE的垂直平 分线，∴.OB⊥DE,即∠OHF=90°，∴∠AFD= ∠AOB-∠OHF=35°. 7.解：设⊙I的半径为r,⊙I与△ABC 的三边分别相切于点D,E,F,连接 ID,IE,IF,如图所示. 易得四边形IECF是正方形， ..CE=CF=IE=r. 在Rt△ABC中，，∠C=90°，BC=9,AC=12, ∴.AB=√WAC2+BC=15. 由切线长定理，得AD=AF=AC-r,BD=BE=BC一 r,..AB=AD+BD=AC-r+BC-r,15=12-r+ 9-r,解得r=3,.⊙1的半径为3. 8.解：(1)60°(2)120 (3)⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D,E,F, ..AD=AF,BD=BE,CF=CE. .'AC=6 cm,..AF+CF=AD+CE=6 cm. △ABC的周长为20cm, .∴.BD+BE=20-6×2=8(cm), ∴.BD=BE=4cm. :∠B=180°-∠BAC-∠ACB=60°， ∴.△BDE是等边三角形，∴.DE=BD=4cm. 【解析】(1)如图，连接OD,OE. :∠BAC=100°，∠ACB =20°， ∴.∠B=180°-∠BAC ∠ACB=60°. ,⊙O与AB,BC分别相切于点D,E, .∴.OD⊥AB,OE⊥BC, ∴.∠BDO=∠BEO=90°， .∠D0E=180°-∠B=120°， 1 ∠DFE=z∠DOE=60, (2),⊙O是△ABC的内切圆， .AO,CO分别是∠BAC,∠ACB的平分线， 1 1 ·∠CA0=2∠BAC=2X100=50,∠AC0 ∠ACB=2×20°=10， 1 .∴.∠AOC=180°-∠CAO-∠ACO=120° 30.3正多边形与圆 1.C 2.B【解析】如图，连接OA,OB,OD. 过点O作OH⊥AB于点H.由垂径 H 定理，得AH=BH=2AB.易得 D 00 △AOD是等腰直角三角形，∠AOH =∠BOH=60°， ∴.∠HAO=∠HBO=30°.在Rt△AOD中，AD= √OA+OD=√2OAF=√2OA.在Rt△AOH中， AH=0m-0F-√O1-(5n)-0A,则 AB=2AH=√3OA,∴AD:AB=√2：√3. 3.B【解析】如图①，△ABC是圆内接正三角形，AD⊥ BC.易得∠OCD=∠DAC=30°. 设CD=x,则BC=AC=2x.由勾股定理，得AD= √3x. :△A8C的面积为5,7×2z·5x=厅，解得： =1(负值已舍去)，即CD=1. 在△ODC中，OD=2OC.由勾股定理，得OC=OD +CD,即0=（分0c)‘+cD,解得0C=25. 3,即 该圆的半径为25。 如图②，OM⊥EF,由正六边形的性质，得∠EOM=30°. 2√3 :该圆的半径为3， ·EM= 3 由勾股定理，得OM=√OE2-EM=1. 图① 图② 4.A【解析】由题意可知，△P,PP 的周长=P,P十PP3+P,P,= a,四边形PPP。P,的周长= PPa+P,P。+PaP,十PP,=b. 如图，连接PP8,P,Ps,则P1Pg +P,P>PP,.P1~P。是⊙O 的八等分点，.PP=P,P。,PP8=P,P=PgP,= PiP,..PP+PP>PP:..6>a. 5.30°【解析】如图，连接AC,AE,EC ,六边形ABCDEF是正六边形， .△ABC≌△CDE≌△EFA,∴.AC= CE=EA,∴.△ACE是等边三角形， ∴∠ACE=60°， ∠P= 2∠ACE=30. 6.1:√2【解析】设⊙O的半径为R,则内接正方形的边 长为√2R,外切正方形的边长为2R,.⊙O的内接正 方形与外切正方形的边长之比为1：√2. 7.4π一12【解析】如图，过点A作AC⊥OB,垂足为C ,⊙0的半径为2， .⊙O的面积S=4π，OA=OB=2. ,圆的内接正十二边形的中心角为 ∠AOB= 360° 12 =30°， 1 ·AC=20A=1, 1 1 .Sa0s=20B·AC=2X2X1=1, .圆的内接正十二边形的面积S=12S△4oB=12, ∴.则S-S,=4π-12. 8.解：如图，连接OG. ,八边形ABCDEFGH是正八边形， .由图及其对称性可知AE为⊙O的直 径，∠GOE=90°， ..∠EAG=45. 9.解：(1)如图，连接OA,OB,OB与AC相 交于点Q 由题意，得QA=QC,OB⊥AC. ,多边形ABCDEFGH是正八边形，G 六∠A0B=360=45. 8 由勾股定理，易知QA=OQ=2 2 ..AC=2QA=2. (2):AFD所对的圆心角为5∠AOB=225°， ·AFD所对的圆周角为∠ABD=2×225°=112.59， ∠BAC= 2X45=22.5°， ∴.∠APD=∠ABD+∠BAC=135. 限时周测 周测一一元二次方程的解法 1.B2.C3.C 4解：)原方程可化为(4x+1)2=1。 4 .∴.4x+1=士 3 1 7 解得x=2x=一2 (2)原方程可化为(2x+1)2=9(x-3)2, ∴.2x+1=±3(x-3), 8 解得x1=10,x:=5 5.C6.C 7.3【解析】由(x-c)2=4c2,得x-c=士2c,.x=c士 2c,即x1=-c,x2=3c.方程的一个根为1，且c>0, 8=1c=名原方程为(-日）广=专整理， 1 上册详解详析 47@30.2三角形的内切圆 （建议用时：30分钟) 1.如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是 连接DE,AO.延长AO交DE于点F,则 △ABC的内心，连接OB,IA.若∠CAI= ∠AFD的度数为 35°，则∠OBC的度数为 ( 7.(教材变式)如右图，在△ABC A.15° B.17.5°C.20° D.25 中，∠C=90°，⊙I为△ABC 的内切圆，BC=9,AC=12. 求⊙I的半径. 第1题图 第2题图 2.如图，△ABC的内心为点I,连接AI并延 长，交△ABC的外接圆于点D,则线段DI 与DB的关系是 () A.DI=DB B.DI>DB C.DI<DB D.无法确定 3.如图，四边形ABCD内接于⊙O,点I是 △ABC的内心，∠I=124°，点E在AD的 延长线上，则∠CDE的度数为 ) A.56° B.629 C.689 D.78 8.如下图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别 是D,E,F.已知∠BAC=100°，∠ACB =20° (1)∠DFE的度数为 D (2)连接OA,OC,则∠AOC的度数为 第3题图 第4题图 4.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于 (3)连接DE.若△ABC的周长为20cm,AC 点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°，则∠O =6cm,求DE的长. 的度数是 5.如图，已知⊙O是等边三角形ABC的内切 圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的面积为 09 第5题图 第6题图 6.如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的 内切圆⊙O与AB,BC分别相切于点D,E, 4444 上册课外拓展提高 137 》30.3正多边形与圆 (建议用时：30分钟) L.已知正六边形ABCDEF的面积为6√3，则 接正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面 正六边形的边长为 ( ) 积.如图，若用圆的内接正十二边形的面积S A.1 B.5 C.2 D.4 来近似地估计⊙O的面积S,设⊙O的半径为 2.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都 2,则S-S1= 内接于⊙O,则AD:AB等于 8.图①所示的司南是中国古代辨别方向的一 种仪器，图②所示的是其部分示意图.已知 A.22:3 司南中心为圆形，圆心为O,根据八个方位 B.√2：√3 将圆形八等分（图②中点A~H)且顺次连 C.5:√2 接点A~H构成正八边形，连接AE,AG, D.√3：22 第2题图 求∠EAG的度数， 3.已知圆内接正三角形的面积为√3，则该圆的 内接正六边形的边心距是 ( ) A.2 B.1 C.√3 D③ 图① 图② 4.如图，P1~P8是⊙O的八等分点.若 △P,P3P,和四边形P3P,P6P,的周长分 别为a,b,则下列正确的是 ) A.a<b B.a=b C.a>b D.a,b大小无法比较 9.如下图，正八边形ABCDEFGH内接于 ⊙O,连接AC,BD,相交于点P.若⊙O的 半径为1，求： 第4题图 第5题图 (1)AC的长. 5.如图，⊙C经过正六边形ABCDEF的顶点 (2)∠APD的度数. A,E,P为优弧AE上一点，则劣弧AE所对 的圆周角∠P的度数为 6.如图，⊙O的内接正方形与外切正方形的边 长之比为 第6题图 第7题图 7.古代数学文化（2025一2026新余第四中学 期末)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他 在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内 138 九年级数学RJ版