29.1 圆的有关概念（课外拓展提高）-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

第二十九章圆 29.1圆的有关概念 29.1.1圆的有关概念（建议用时：30分钟） 1.有下列4个命题：①直径相等的两个圆是等6.如下图，在平面直角坐标系中，A(0,4),B(4, 圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最 4),C(6,2)是⊙M上的三个点. 长的弦是过圆心的弦；④一条弦把圆分为两 (1)直接写出圆心M的坐标： 条弧，这两条弧不可能是等弧.其中是真命 (2)求⊙M的半径. 题的是 (3)判断点D(4,一3)与⊙M的位置关系. A.①③ B.①③④ C.①④ D.②③ 2.如图，AB是⊙O的直径，点 C在⊙O上，∠B=65°，那 么∠OCA的度数是() A.25° B.35° 第2题图 C.15 D.20 7.将两个正方形按下图所示的方式放置（点 3.已知⊙O的半径为1，点P与圆心O的距离 B,C,E共线，点D,C,G共线).若AB=3, 为d,且关于x的方程x2一2x十d=0没有 EF=2,点O在线段BC上，以OF为半径作 实数根，则点P和⊙O的位置关系是 半圆O,点A,F都在半圆O上，求OD 的值 4.如图，AB是⊙O的直径，点D,C在⊙O上， AD∥OC,∠DAB=60°，连接AC,则∠DAC 第4题图 第5题图 5.如图，A为⊙O上一动点，D为圆外一点， AD交⊙O于点B,OD交⊙O于点C,延长 DO交⊙O于点E. (1)若∠AOD=90°，AD=8,B恰为AD的 中点，则OD的长为 (2)若∠AOE=99°，BD=OA,则∠D的度 数为 44444 上册课外拓展提高 125 29.1.2过三点的圆（建议用时：30分钟） 1.一个圆形陶盘残片的示意图如图所示.考古7.如下图，在△ABC中，AB,BC,AC均不相 专家从中标记了几个点，则选三点可以复原 等，点D,E,F分别是AC,AB,BC的中点. 该陶盘的是 (1)求证：四边形EFCD是平行四边形， A.B,E,F B.A,B,D (2)连接EC,FD,用反证法证明：线段EC C.A,B,C D.B,C,D 与FD不垂直. D A O B A 第1题图 第3题图 2.用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角 不大于60”，首先应假设这个三角形中() A.没有一个内角不小于60 B.没有一个内角不大于60 C.所有内角不大于60 D.所有内角不小于60° 8.如右图，在Rt△ABC中，∠C 3.如图，已知抛物线y=一 ：十4与x销交 =90°，AC=6,BC=8,AD是 于A,B两点，与y轴交于点C,则△ABC的 △ABC的角平分线，过A,D, 外心的坐标为 C三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE A.(o,)Bo,2)C(0,)D(1,2 (1)求证：AC=AE (2)求△ACD外接圆的直径长. 4.平面上有4个点，它们不在同一直线上.过 其中3个点作圆，可以作出n个不重复的 圆，则n的值不可能为 A.4 B.3 C.2 D.1 5.等边三角形的边长为6，则其外心到顶点的 距离为 6.若过平面直角坐标系中的三个点A(1,0), B(0,2),C(一1，m)能确定一个圆，则m≠ 变式题已知直线1：y=x-4,点A(1,0), B(0,2),设P为直线l上一动点.当点P 的坐标为 时，过P,A,B 三点不能作出一个圆. 126 九年级数学RJ版第二十九章圆 29.1 圆的有关概念 29.1.1圆的有关概念 1.A 2.A【解析】，OB=OC,∠B=65°， .∠OCB=∠B=65°，.∠BOC=180°-65°X2= 1 50.:0A=0C,∴∠0CA=∠A=2∠B0C=2 50°=25° 3.点P在⊙O外 4.30° 5.(1)43 (2)33°【解析】(1)如图①，连接OB ”∠AOD=90,B为AD的中点，∴OB= 2AD=4. 又，OA=OB,.OA=4.在Rt△OAD中，由勾股定 理，得OD=4√3 图① 图② (2)如图②，连接OB. .OB=OA,BD=OA,∴.OB=OA=BD,.△OAB 和△OBD均为等腰三角形.设∠D=x,则∠BOD= x,∴.∠OBA=2x,∴.∠A=2x,∠A+∠D=2x+x =∠AOE=99°，解得x=33°，即∠D=33°. 6.解：(1)(2,0) (2),A(0,4),M(2,0),∴.MA=√22+4=2√5， 即⊙M的半径为25. (3)M(2,0),D(4,-3), .MD=√(4-2)+(-3-0)7=√13<25， 点D(4,一3)与⊙M的位置关系是点D在⊙M内. 7.解：如图，连接OA,OF :OF是半圆O的半径，点A在半 圆0上， ..OA=OF ,四边形ABCD和四边形EFGC都 是正方形， .∠ABC=∠DCB=∠FEC=90°，BC=CD=AB= 3,CE=EF=2. 设OC=x,则BO=3-x,OE=x十2. 在Rt△ABO和Rt△EFO中， AB:+BO2=AO2,OE2+EF2=OF2, 即32十(3一x)2=AO2,(x+2)2+22=OF2 ,A0=F0,32+(3-x)2=(x+2)2+2, 解得x=1,即OC=1. 在Rt△DOC中，OD=√OC+CD=√+3 =√10. 40 九年级数学RJ版 29.1.2过三点的圆 1.C2.B3.A 4.C【解析】设四个点分别为A,B,C,D.分三种情况 讨论： ①当四个点都在同一个圆上时，n=1: ②当其中三个点在同一直线上时，如图①，能作圆的情 况有A,B,C;A,C,D;A,B,D.共3种，此时n=3； ③当A,B,C,D四点不共圆，且其中的任何三个点都 不共线时，如图②，能作圆的情况有A,B,C:B,C,D: C,D,A;D,A,B.共4种，此时n=4. 综上所述，n不可能是2. 图① 图② 5.23 6.4【解析】，A(1,0),B(0,2),.易得直线AB的解析 式为y=-2x+2,∴.当x=-1时，y=-2×(-1)+2 =4,∴当m=4时，A,B,C三点在同一直线上，即当 m≠4时，过平面直角坐标系中的三个点A(1,0), B(0,2),C(一1，m)能确定一个圆. 变式题(2，一2)【解析】设直线AB的解析式为y= kx十b(k≠0). A(1,0),B(0.2), 六 k=-2, 解得 b=2, .直线AB的解析式为y=一2x十2. 解方程组=14，。得工=2， y=-2x+2,y=-2, ∴当点P的坐标为(2，一2)时，P,A,B三点共线， ∴此时过P,A,B三点不能作出一个圆. 7.证明：(1)，点D,E,F分别是AC,AB,BC的中点， ∴.DE和EF都是△ABC的中位线， ∴.ED∥BC,EF∥AC,∴.ED∥FC,EF∥DC, .四边形EFCD是平行四边形. (2)假设线段EC与FD垂直. 由(1)知，四边形EFCD是平行四边形， 则平行四边形EFCD是菱形，∴.EF=DE. ,DE和EF都是△ABC的中位线， .DE-BC.EF-TAC, ∴.BC=AC,这与BC,AC不相等相矛盾， ∴该假设不成立，.线段EC与FD不垂直. 8.解：(1)证明：，∠C=90°，且∠C为△ACD外接圆的 圆周角， ∴AD为△ACD外接圆的直径， ∴∠AED=∠C=90°. :AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠EAD. I∠CAD=∠EAD, 在△ACD与△AED中，∠C=∠AED, AD-AD. △ACD≌△AED(AAS),∴.AC=AE. (2):△ABC是直角三角形，且AC=6,BC=8, .AB=√AC2+BC2=√/62+82=10. 由(1)知，AE=AC=6,∠AED=∠C=90°， .∠BED=90°，BE=AB-AE=4. 设CD=ED=x,则BD=8-x. 在Rt△BED中，由勾股定理，得BD=BE2十ED, 即(8-x)=4十x2,解得x=3,∴.CD=3. 又AC=6,△ACD是直角三角形， AD=√AC+CD=√6+32=35， 即△ACD外接圆的直径长为3√5. 29.2圆的有关性质 29.2.1垂直于弦的直径 1.B 2.B【解析】对于y=kx十12，当x =0时，y=12,.直线y=k.x+12 恒过点(0,12)，记为点D.过圆内 定点D的所有弦中，与OD垂直 的弦最短，如图，连接OB. ,OB=OA=13,OD=12, ∴.在Rt△OBD中，BD=√/OB2-OD=/13-12=5, .∴.BC=2BD=10. 3.(1)3(2)2√74.2√3 5.6cm【解析】如图，设杯口所在圆 的圆心为O,CD的中点为M,AB 的中点为N,连接OD,OB,则MN B ⊥AB,MN⊥CD,且MN过圆心O,DM=2CD=2 X48=2,4(cm),BN=号AB=2X3,6=1,8(cm MN=4.2cm.设OM=xcm,∴.ON=MN-OM= (4.2-x)cm..OM +MD2 =OD2,ON BN2= OB2,∴.OM+MD=ON2+BN2,∴.x2+2.4=(4.2 -x)2+1.82,解得x=1.8,即OM=1.8cm,∴.OD= √OM+MD=3cm,∴.纸杯的直径为3×2=6(cm). 6.解：任务1：由题意，得拱高CD垂直平分AB, 则AD=BD=2AB=8m 记圆心为O,则点O在CD的延长线上，连接AO,如 图.设圆形拱桥的半径为rm,则OD=(r-4)m, (r-4)2十82=r2,解得r=10. 故圆形拱桥的半径长为10m. 任务2：不能： 当EH是⊙O的弦时，易知AB∥EH. AB⊥CD, ∴.EH⊥CD 记EH与OC的交点为M,连接OE,如图，则EM= 2EH-5m, ∴.OM=√OE-EM=5√3m. .OC=10 m,CD=4 m, ∴.OD=OC-CD=6m, ∴.DM=(55-6)m<3m, ,∴，货船不能通过圆形拱桥. 为了能顺利通过圆形拱桥，船露出水面部分至少需要 下降的高度为3-(5√3-6)=(9-5√3)m. 1 :y=1007, ..当y=9-5√3时，x=100×(9一5√3)=900- 500√5， ∴.至少需要增加(900一500√3)t的货物. 29.2.2圆心角 1.D2.B 3.D【解析】如图，连接OB,OC. .OA=OB=OC=OD, 0 ∴.△OAB,△OBC,△OCD都是等腰AN 32 三角形. ∠A=75°，∠D=60°，.∠1=180°-2∠A=180° 2×75°=30°，∠2=180°-2∠D=180°-2×60°=60°， :∠A0D=150°，∴∠3=∠A0D-∠1-∠2=150° 30°一60°=60°，则劣弧BC所对圆心角的度数为60° 4.A【解析】如图，取点O关于直线 Q AC的对称点Q,连接OQ交AC于点 M M,则AC垂直平分OQ,连接AQ,则A光 AQ=OA.,OQ=OA,∴.OQ=AQ=OA,∴.△AQ0 是等边三角形，∴.∠AOQ=60°. :AC⊥OQ,∴.∠AM0=90°，.∠OAM=90°- ∠AOQ=30°..'OA=OC,∴.∠OAM=∠OCM=30°， .∴.∠AOC=180°-∠OAM-∠OCM=120°. 48 5.24°6.5 7.60° 8.解：(1)证明：C为AB的中点， ..∠AOC=∠BOC. D,E分别为半径OA,OB的中点，OA=OB, ∴.OD=OE. 在△COD和△COE中， OD=OE. ∠DOC=∠EOC, OC=OC, .∴.△COD≌△COE(SAS), ..CD=CE. 上册详解详析 41