26.1二次函数的概念（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，通过矩形面积、喷泉轨迹等实际问题导入，结合函数及一次函数旧知，引导学生列出关系式并对比归纳特征，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以实际问题为载体，类比一次函数培养抽象能力与推理意识，借矩形面积、羽毛球飞行轨迹等实例渗透数学建模思想。典例分层含真题，小结涵盖知识、方法与易错点，助力学生理解应用，为教师提供结构化教学资源。

26.1 二次函数的概念 第二十六章 二次函数 人教版2026·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解二次函数的定义，熟记二次函数一般形式及自变量取值要求；能准确判断一个函数是否为二次函数，精准区分各项系数；能根据实际问题列出简单的二次函数解析式. 经历从实际问题中提炼函数关系式、归纳二次函数特征的全过程，提升抽象概括、数学建模和类比推理能力，掌握研究新函数的基本方法. 感受二次函数与生活的紧密联系，体会数学的实用性和逻辑性，培养主动探究、合作交流的学习习惯，增强用函数思想解决实际问题的意识. 章前引言 函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型，我们已经学习过利用一次函数表示一个变量随另一个变量均匀变化的关系，下面再来看一些变量之间的更为复杂的关系。 （1）矩形的面积与边长 用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y（单位：m²）会随矩形一边长 x（单位：m）的变化而变化，y与x之间有什么关系？ x 20 －x 面积计算： y = x · (20 - x) 整理得： y = -x² + 20x(0 < x < 20) y与x之间关系式 不同于一次函数的新函数 章前引言 水珠从喷头喷出后，其运动轨迹呈现出完美的抛物线形状， 这正是本章学习的二次函数在现实世界中最直观、最优美的体现。 （2）喷泉水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离x 从喷头喷出的水珠，在空中经过的路线是一条曲线。在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？ 函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型，我们已经学习过利用一次函数表示一个变量随另一个变量均匀变化的关系，下面再来看一些变量之间的更为复杂的关系。 像学习一次函数一样，本章我们首先讨论什么样的函数是二次函数，然后讨论二次函数的图象和性质，由此加深对一元二次方程的认识，最后运用二次函数分析和解决某些实际问题。通过上述过程，进一步体会函数在描述现实世界中变量关系和变化规律时的作用。 🎯 本章学习内容 （1）概念学习 理解二次函数的一般形式，掌握其基本特征与判定方法。 （2）图象与性质探究 深入分析抛物线的开口、对称轴、顶点及增减性规律。 （3）函数与方程联系 建立二次函数与一元二次方程的联系，理解根与图象的关系。 （4）实际问题解决 运用二次函数模型解决最优化、面积最值等实际生活问题。 章前引言 什么是函数？ 什么叫做一次函数？ 什么叫做正比例函数？ 函数有哪些表示方法？ 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数. 形如y=kx+b (k、b为常数，k≠0) 形如y=kx(k≠0) 解析法 列表法 图象法 知识回顾 b=0 导入新课 你能列出下列变量之间的函数关系式吗？ 2. 正方形的边长为x，面积y与边长x的关系式； 3. 某商品进价为20元，售价为x元，每日销量为(100-x)件，每日利润y与售价x的关系式. 1. 一个矩形的长为10cm，宽为xcm，矩形面积y（cm²）与宽x的关系式； y=10x y=x² 利润=（售价－进价）×数量 y =（ x －20）（ 100-x ） =-x²+120x-2000 新知探究 探究点1 对比观察，归纳特征 活 动 1 观察归纳二次函数特征 （1）式子① y=10x是我们学过的什么函数？ （2）式子②③与一次函数有什么不同？最高次数是多少？ （3）三个式子均为整式关系式，变量之间都是函数关系，②③的共同特征是什么？ 两个变量的关系式是整式，自变量的最高次数是2. 一次函数 自变量的最高次数不同，式子②③最高次数是2 ① y=10x ② y = x² ③ y= － x² +120x－2000 ——二次函数 新知探究 探究点2 生成定义，细化要点 活动2 归纳二次函数完整定义 【分析】每支球队与其他_____支球队各比赛一场， 由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛， 所以比赛的场次数 ，即 ………① n-1 n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛. （1）比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系? 问题1 ①式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数. （2）m是n的函数有什么特征？ 是用n的二次三项式表示 两个变量的关系式是整式，且自变量n的最高次数是2 y与x之间的关系： ； 新知探究 探究点1 对比观察，归纳特征 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y（单位：t）将由x的值确定，（1）y与x之间的关系应怎样表示? 问题2 【分析】这种产品的原产量是20t， 一年后的产量： ； 20(1+x) 吨 再经过一年后的产量是 ； 20(1+x)(1+x) 吨 y=20(1+x)2 即两年后的产量： ； （2）y是x的函数有什么特征？ ②式表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. y =20x2+40x+20……② 两个变量的关系式是整式，自变量的最高次数是2 注意 二次函数解析式必须同时满足的三个条件： 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a，b，c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数. 新知探究 探究点2 生成定义，细化要点 归一归 （1）二次函数的定义 3. a，b，c为常数，且二次项系数不为0，即a≠0. 1.函数解析式是整式； 2.自变量的最高次数是2. 称：a为二次项系数，ax2叫做二次项， b为一次项系数，bx叫做一次项， c为常数项。 归一归 （2）二次函数的一般形式： 新知探究 探究点2 生成定义，细化要点 y= ax² + bx + c (a，b，c为常数，a≠0) （3）二次函数的特殊形式： 当b=0，c=0时， y=ax2(a≠0) 当c=0时， y=ax2+bx(a≠0) 当b=0时， y=ax2+c(a≠0) 一次项系数、常数项可以为0. 典例分析 例1.判断下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别说出二次项系数、一次项系数和常数项. ① y=3x² ② y=2x+1 ③ y=-x²+4x-1 ④ ⑤ y=x²-x(2+x) √ 解：（1）二次项系数：3,一次项系数：0,常数项：0 （4）∵不是整式，∴不是二次函数 （3）二次项系数：-1,一次项系数：4,常数项：-1 （5）先整理化简 y= - 2x, 自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数. （2）自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数. √ × × × 解题关键是紧扣三个判定条件： 关系式为整式； 2. 自变量最高次数为2； 3. 二次项系数a≠0； 对于复杂式子需先化简，再逐一判定. 典例分析 例2.（1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式. （2）一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x，写出两年后产品的年销售量y（单位万件）关于x的函数解析式. 解：(1）圆柱表面积是其底面积与侧面积的和， 所以S=2πr²+2πr•r，即S=4πr². r r (2）一年后产品的年销售量为8(1-x)万件， 两年后的年销售量为8(1-x)(1-x)万件， ∴y=8(1-x)²， 即 y=8x²-16x+8. 典例分析 例3.用一根长为40cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为xcm，矩形的面积为y cm²，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. 【分析】 矩形的周长为40 长+宽=20 另一边=20-x 解：∵矩形的周长为40且矩形一边长为xcm， ∴另一边长为 =(20-x)cm ∴y=x(20-x)= -x²+20x 由题意可得： ，解得：0<x<20. ∴函数关系式为 y= -x²+20x （0<x<20） 新知巩固 1.写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)y =8x²-16x+8; (2) y =x²; (3) y =－x2+5x; (4)y =2(x-1)²-5 . 解：（1）二次项系数: 一次项系数: 常数项: （2）二次项系数: 一次项系数: 常数项: 8 -16 8 1 0 0 （3）二次项系数: 一次项系数: 常数项: － 5 0 =2x2-4x-3 (4)y =2(x-1)²-5 2 -4 -3 教材第31页 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 新知巩固 2.如图，矩形绿地的两边长各增加 x m，扩充后的绿地面积为y m2. 写出y关于x的函数解析式. 解：y = (30+x)(20+x) 即 y= x2+50x+600. 3.提出一个问题，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数来表示. 教材第31页 解 ：由题意可得S(cm2)与x(cm)之间的函数表达式为 S = x(20-x) = －x2+10x. 自变量x的取值范围是0<x<20. 已知一个直角三角形的两条直角边的和为20 cm. 设这个直角三角形的面积为S cm2,其中一条直角边长为x cm,写出S(cm2)与x(cm)之间的函数表达式及自变量x的取值范围. x 20-x 拓展提升 1.如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m． (1)求羽毛球经过的路线对应的函数表达式． (2)通过计算判断此球能否过网． (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离． （1）解：根据题意， 抛物线顶点坐标为， 与轴交点坐标为， 设羽毛球经过的路线对应的函数表达式为， 把代入得： ， 解得， ； ∴羽毛球经过的路线对应的函数表达式为： 拓展提升 1.如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m． (1)求羽毛球经过的路线对应的函数表达式． (2)通过计算判断此球能否过网． (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离． （2）解： 在中， 令得： ， ∴此球能过网； （3）解： 在中， 令得： 解得（舍去）或， （米）， ∴乙与球网的水平距离为2米． 真题感知 1.（2026·泰安校考）如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． 写出S与t的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围； 解：第t秒钟时，， ∴，， ∴． ∵． ∴. 真题感知 2．（2025·乌鲁木齐校考）某山西特产专卖店销售某种核桃，原来平均每天可销售200千克，每千克可盈利8元，为减少库存，经市场调查，如果这种核桃每千克降价1元，则每天可多售出20千克． (1)设每千克核桃降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数解析式； (2)若要销售这种核桃平均每天盈利1440元，则每千克应降价多少元？ （1）解：根据题意，可得 化简，得 （2）当时 即， 解得，(舍去)． 要销售这种核桃平均每天盈利1440元，则每千克应降价2元． 知识与技能 （1）掌握二次函数的定义及一般形式： y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)； （2）能准确辨析二次函数， 区分二次项、一次项、常数项及对应系数； （3）能根据实际问题列二次函数解析式， 并结合实际意义确定自变量取值范围. 课堂小结 思想方法 课堂小结 （1）类比思想： 类比一次函数的探究方法，学习二次函数的定义与特征，实现知识迁移； （2）数学建模思想： 将生活中的面积、利润、几何图形问题转化为二次函数数学模型； （3）化简转化思想： 复杂函数关系式需先化简，再判定函数类型. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）判定二次函数必须先化简，不能直接根据原式表面形式判断； （2）二次函数的核心条件是a≠0，b、c可以为0，切勿混淆； （3）实际问题中的二次函数，自变量取值范围必须符合实际意义，不能默认全体实数； （4）分式形式、根式形式的关系式一定不是二次函数. 课后练习 1. 某商场一月份的销售额为50万元，二、三月份每月销售额的平均增长率为x，写出三月份的销售额y（单位：万元）关于x的函数解析式. 解：二月份的销售额为50(1+x)万元， 三月份的销售额为50(1+ x)(1+ x)万元， ∴y =50(1+ x)2 ， 即y =50x2 +100x +50. 习题 26.1 教材p32页 注意：直接应用连续两次平均增长率问题公式： 设平均增长率为x， 增长后的量y=开始量a（1+ x ）² 课后练习 2. 设人民币一年期定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年期定期储蓄转存. 如果本金是30000元，写出两年后的本息之和 y（单位：元）关于年利率x的函数解析式. 解：一年后的本息之和为30000(1+x)元， 两年后的本息之和为30000(1+x)(1+x)元， 所以 y=30000(1+ x)2 ， 即 y=30000x2+ 60000x+30000. 习题 26.1 教材p32页 课后练习 3. 如图，一面圆形的镜子，其周边镶有宽为5cm的边框.已知镜面的价格是每平方米180元，边框的价格是每平方米100元，求这面镜子的价格y（单位：元）关于镜子半径x（单位：m）的函数解析式. 解：镜面的价格 =π(x – 5)2 ·180元， 边框的价格 = π［x2 –(x – 5)2 ］·100， ∴ y = π(x – 5)2 ·180 + π·［x2 –(x – 5)2 ］· 100， 化简得：y = 180πx2–800πx + 2000π. 习题 26.1 教材p32页 课后练习 4. 如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5 m/s. 写出钢球滚动的距离 l (单位： m)关于滚动的时间 t (单位：s)的函数解析式. (提示本题中，距离=平均速度 ×时间 t， = ，其中，v0是开始时的速度，vt是 t s时的速度.) (2)如果斜面的长是3 m，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间? 习题 26.1 教材p32页 解：（1）由题意，得v0=0，vt=1.5t m/s， ∴ = =0.75 t （ m/s）， ∴l = t =0.75t2 . （2）当l =3时，0.75t2 =3， 解得： t1=2，t2= -2（舍去）. ∴ 钢球从斜面顶端滚到底端要用2 s. 谢谢聆听 $