25.2.2 公式法（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到思维拔高再到中考衔接，覆盖根的判别式应用、参数求解及公式法运算，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|根的判别式判定根的情况、求参数、公式法解方程|基础题型，直接应用概念，强化运算能力| |B组|参数取值范围、方程解法纠错|综合应用，衔接易错点，发展推理意识| |C组|几何与方程综合、新定义运算、根的性质判断|跨知识整合，培养创新意识与模型意识| |拓展|中考真题|对接中考题型，提升应用能力|

分层作业 25.2.2 公式法 目 录 A组 巩固过关 题型01根据根的判别式判定一元二次方程根的情况 题型02根据一元二次方程根的情况求参数 题型03用公式法解一元二次方程 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 根据根的判别式判定一元二次方程根的情况题型01 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）关于x的一元二次方程的实数根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与k的取值有关 D．没有实数根 5．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 根据一元二次方程根的情况求参数题型02 6．（25-26八年级下·浙江温州·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河南平顶山·三模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·北京通州·三模）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·北京·三模）若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 10．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 用公式法解一元二次方程题型03 11．用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 12．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）用公式法解方程时，得，则“□”处应填（  ） A． B． C．5 D．7 13．某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·河北邢台·期中）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程： 解：将方程化为一般形式，得，      第一步， ，，，        第二步； ，      第三步；           第四步， 即，        第五步． (1)开始出现错误的步骤是第___________步； (2)请给出此题正确的解答过程． 15．（25-26九年级上·吉林延边·阶段检测）用公式法解方程： 16．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 17．（2026·广东清远·三模）若关于方程有且只有一个实数根，则实数的值是（     ） A．或 B． C． D． 18．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）若关于x的方程（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 19．已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 20．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 21．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）解下列方程： (1)(配方法)； (2)(公式法)． 22．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 23．若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．1或2 24．（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）在中，，边上的高是10，则的最小值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 25．（25-26八年级下·安徽六安·期末）等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 26．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知二次方程的两根一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为________． 27．一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是_____． 28．（25-26九年级上·福建漳州·期末）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 29．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 30．（25-26八年级下·北京·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是__________________；若该方程的两个实根均为有理数，则整数的最小值为__________． 31．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根． (1)求的值； (2)试判断关于的方程的根的情况； (3)若为完全平方式，求常数的值． 32．（2026·江苏扬州·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 33．（2026·安徽·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 34．（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 试卷第20页，共20页 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 25.2.2公式法 目录 A组巩固过关 题型01根据根的判别式判定一元二次方程根的情况 题型02根据一元二次方程根的情况求参数 题型03用公式法解一元二次方程 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 根据根的判别式判定一元二次方程根的情况 1.D 2.D 3.D 4.A 5.c 题型02 根据一元二次方程根的情况求参数 6.C 117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.B 8.A 9.D 10.【详解】解：关于x的一元二次方程r-(4a+1小水+(4a-)=0有两个实数根， ∴a≠0，且△=[-(4a+l]-4a(4a-l)≥0， 即a≠0，且12a+1≥0， .a≥ 12且a≠0： 颗型03 用公式法解一元二次方程 11.B 12.A. 13.B. 14.【详解】(1)解：将方程3x2-5x=2化为一般形式，得 3x2-5x-2=0, ∴，第一步开始出现错误， 故答案为：一 (2)解：解方程化为一般形式，得3x2-5x-2=0, a=3,b=-5,c=-2, △=b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0, x=-(5)±V495±7 2×3 6, 1 即=3，x=2: 15.【详解】解：x2+4x+2=0, 在这里，a=1,b=4,c=2,b2-4aC=42-4×1×2=8>0 x=4生8-4±25.-2t2, 2 2 解得x=-2+V2,x2=-2-V2 217 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 16.A 17.D 18.m<1且m≠0」 19.【详解】解：(1)，方程x2-2ax-a+2b=0有一个根为2a, .4a2-4a2-a+2b=0, 整理，得b= 2 .a<0. a< <2:即a<b: (2)由题意，△=4a2-4(-a+2b)=4a2+4a-8b】 ,对于任何实数4，此方程都有实数根， ∴.对于任何实数a,都有4a2+4a-8b≥0，即a2+a-2b≥0， 对于任何实数a,都有bsa+a, 2 a2+a112 a+ 22 28 8 b的取值范围是bs-} 8 20.【详解】解：：对于实数a,b定义新运算：a※b=a2-ab, .x※2=x2-2x=m, .x2-2x-m=0, ,关于x的方程x※2=m有两个不相等的实数根， .△=(-2)-4×1×(-m)>0, 解得m>-1」 21.【详解】(1)解：x2+4x+2=0, x2+4x=-2, x2+4x+4=2, (x+2)}2=2, 317 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+2=±V2, x=-2+V2,x2=-2-V2; (2)解：3x2+2x-1=0, .a=3,b=2,c=-1, .△=22-4×3×(-1)=16>0 x=-2±16-2±4 2×36 1 x=-1,=3 C组 思维拔高 22.【详解】解：①方程ar2+c=0有两个不相等的实根， .△=0-4ac>0, .-4ac>0, 则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4ac>0, ∴.方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故①正确： ②c是方程ar2+br+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0, ∴c(ac+b+1)=0. 若c=0,等式仍然成立，但ac+b+1=0不一定成立，故②不正确： ③若xo是一元二次方程ax2+bx+c=0的根， 则由求根公式得无=b+vB-4ac 或=b-vBP-4c 2a 2a “2ax。+b=VB2-4ac或2ax。+b=-Vb2-4ac, .b2-4ac=(2ax+b),故③正确： ④存在实数m、n(m≠n）,使得am2+bm+c=an2+bn+c, 整理得a(m2-n2)+b(m-n)=0,即(m-n)儿a(m+n)+b]=0, 6 因为m主n:只需取m+n=名即可满足， 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b 例如取m=0,n=-2a≠0），就有m+bm+c=am㎡2+m+c,故④正确。 a 23.D 24.C 25.7 2饭2m<-月 27.m<1且m≠-1 28.【详解】解：结论①，原方程x2+2x+c=0的倒方程为cx2+2x+1=0, 将x=2代入得4c+4+1=0, 解得c=一4 故①正确： 结论②，当ac<0时， 判别式△=b2-4ac>0, ∴.两个方程均有两个不相等的实数根， 故②正确： 结论③， 原方程无解， .4-4ac<0, 即ac>1, 倒方程判别式4-4ac<0, 倒方程无解， 故③正确： 结论④， 举反例说明，当c=0时，原方程为ax2+bx=0, 若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：△=b2>0, 即b≠0， 原方程ax2+bx+c=0的倒方程为cx2+bx+a=0,c=0,b≠0， ∴倒方程为bx+a=0,是一元一次方程， .只有一个根， 故④错误。 517 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为①②③， 29.【详解】解：将方程整理得：x2-(2m+4)x+m2+4=0, .△=(2m+4)2-4(m2+4）=16m. 六当m≥0时，方程根为x=2(m+2)上4m =2+m±2Wm, 2 :x,m均是整数且m≤40， ∴.m为完全平方数， .m=0,1、4、9、16、25、36 ∴.符合条件的整数m的个数为7. 0.k>-且02 31.【详解】(1)解：关于x的方程x+4x-2p=0没有实数根， .△=42-4×1×(-2p)=16+8p<0. 解得p<-2, ,P是满足条件的最大整数， p=-3 ,方程x+5x+2g=0有两个不相等的实数根， A=52-4×1×2g=25-8g>0, 25 解得9< =3.125 ,9是满足条件的最大整数， .9=3； (2)解：将p=-3,9=3代入方程x2+px+9=0,得方程为x2-3x+3=0, 其判别式△=(-3)2-4×1×3=9-12=-3<0， ∴方程x+px+9=0没有实数根； (3)解：把p=-3,g=3代入4x2+4g(n+1)x+(5p-3)n得 4x2+4q(n+1)x+(5p-3)n=4x2+12(n+1)x-18n, :4x2+4q(n+1)x+(5p-3)n=4x2+12(n+1)x-18n为完全平方式， 方程4r2+12(n+1)x-18n=0有两个相等的实数根， 617 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△=[12(n+1)]了-4×4×(-18m)=0, 整理得n2+4n+1=0, 计算该方程的判别式得△=42-4×1×1=12>0， :n=-4±2 2 -2±5 拓展 链接中考 32.A 33.D 34.A 717 分层作业 25.2.2 公式法 目 录 A组 巩固过关 题型01根据根的判别式判定一元二次方程根的情况 题型02根据一元二次方程根的情况求参数 题型03用公式法解一元二次方程 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 根据根的判别式判定一元二次方程根的情况题型01 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程， 根的判别式为， 当时方程有两个相等的实数根，依次计算各选项： A选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； B选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； C选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； D选项：方程中，， ， 方程有两个相等的实数根，符合要求． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，，方程没有实数根，A不符合要求． 对选项B，，，方程没有实数根，B不符合要求． 对选项C，，，方程有两个相等的实数根，C不符合要求． 对选项D，，，方程有两个不相等的实数根，D符合要求． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】已知，即判别式为0，方程有两个相等的实数根，通过配方即可得到方程的解． 【详解】解：∵一元二次方程，，且， ∴，方程有两个相等的实数根． 对原方程配方： 移项得， 两边同除以得， 配方得， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）关于x的一元二次方程的实数根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与k的取值有关 D．没有实数根 【答案】A 【分析】当时方程有两个不相等的实数根，时有两个相等的实数根，时没有实数根，计算判别式并判断其符号即可得到结论． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，，， 计算判别式得： ， ∵， ∴恒成立， ∴方程有两个不相等的实数根． 5．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】通过计算判别式并判断其符号即可确定方程根的情况即可 【详解】解：对于一元二次方程， 其中，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此方程无实数根 根据一元二次方程根的情况求参数题型02 6．（25-26八年级下·浙江温州·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，据此计算即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 其中，，， ∴， 化简得， 解得． 7．（2026·河南平顶山·三模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴． 8．（2026·北京通州·三模）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式 ”列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ∴根的判别式 ， 其中，， 代入得 ， 解不等式得． 9．（2026·北京·三模）若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式关系列出不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不等的实数根， ，解得， 观察四个选项，只有． 10．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， ∴且． 用公式法解一元二次方程题型03 11．用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，首先要把方程化成一般形式，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 故选：B． 12．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）用公式法解方程时，得，则“□”处应填（  ） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，熟记公式法解一元二次方程的方法是解决问题的关键． 先将题中一元二次方程化为一般式，再由求根公式代入求解即可得到答案． 【详解】解：用公式法解方程时，得， 先化为一元二次方程一般式：， ， ， 则“□”处应填， 故选：A． 13．某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 14．（25-26九年级上·河北邢台·期中）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程： 解：将方程化为一般形式，得，      第一步， ，，，        第二步； ，      第三步；           第四步， 即，        第五步． (1)开始出现错误的步骤是第___________步； (2)请给出此题正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)，，解答过程见解析 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可； （2）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：将方程化为一般形式，得 ， ∴第一步开始出现错误． 故答案为：一． （2）解：解方程化为一般形式，得， ，，， ， ， 即，． 15．（25-26九年级上·吉林延边·阶段检测）用公式法解方程： 【答案】， 【分析】根据求根公式，代入系数解答即可． 【详解】解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 【点睛】注意：一元二次方程必须要化成一般形式． 16．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 17．（2026·广东清远·三模）若关于方程有且只有一个实数根，则实数的值是（     ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需分类讨论方程的类型，结合一元一次方程，一元二次方程根的概念求解，注意一元二次方程中两个相等的实数根仍属于两个根。 【详解】∵ 题目未明确方程为一元二次方程，需对二次项系数分类讨论， 当时，原方程化简为，属于一元一次方程，有且只有一个实数根，符合题意， 当时，原方程是一元二次方程，即使判别式，方程也只有两个相等的实数根，并非一个实数根，不符合题意， ∴ 只有满足条件． 18．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）若关于x的方程（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 【答案】且 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，可得二次项系数不为，且根的判别式大于，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：， 的取值范围是且． 19．已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 【答案】 【分析】（1）把代入方程，求出的值，进行判断即可； （2）根据方程都有实数根，得到，进而求出 b的取值范围即可. 【详解】解：（1）∵方程有一个根为， ∴， 整理，得； ∵， ∴，即； （2）由题意，， ∵对于任何实数a，此方程都有实数根， ∴对于任何实数a，都有，即， ∴对于任何实数a，都有， ∵， ∴b的取值范围是. 20．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由新定义运算得出，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于实数，定义新运算：， ∴， ∴， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 21．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）解下列方程： (1)(配方法)； (2)(公式法)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 22．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：①方程有两个不相等的实根， ， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根，故①正确； ②是方程的一个根，则， ， 若，等式仍然成立，但不一定成立，故②不正确； ③若是一元二次方程的根， 则由求根公式得或， 或， ，故③正确； ④存在实数，使得， 整理得，即， 因为，只需取即可满足， 例如取，，就有，故④正确． 23．若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象经过的象限，一元二次方程的根的判别式．先根据一次函数的性质确定m的取值范围，再分和两种情况，结合一次方程、一元二次方程根的判别式判断方程实数根的个数． 【详解】解：∵直线不经过第三象限， ∴， ①当时，方程化为，是一元一次方程， ∴方程有1个实数根； ②当时，方程是一元二次方程， 此时， ∵， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， 综上，方程的实数根有1个或2个， 故选：D． 24．（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）在中，，边上的高是10，则的最小值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，求出，，根据化简得，由可求出可得结论． 【详解】解：以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，如图， ∴，， ∵， 平方后得：， 化简得，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴的最小值为15． 25．（25-26八年级下·安徽六安·期末）等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：①腰长为，即或，②底边长为，即，分别结合一元二次方程根的性质求出的值，再利用三角形三边关系验证，舍去不符合条件的结果，得到的最终值． 【详解】解：三角形为等腰三角形 分两种情况讨论：①或，②， ①当或时， ，是一元二次方程的两个根， 是方程的一个根， 将代入方程得， 解得， 当时，方程为 因式分解得， 解得，， 此时三角形三边长为，，， ，不满足三角形三边关系中两边之和大于第三边， 不合题意，舍去； ②当时，一元二次方程有两个相等的实数根 根的判别式， 解得， 此时方程为， 解得， 此时三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 综上所述，． 26．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知二次方程的两根一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【分析】由二次方程和根的判别式解不等式组得出实数m的取值范围． 【详解】解：是二次方程， ，解得． 二次方程有两根， ． 即． 或． 解，得． 解，得且，不合题意舍去． 实数m的取值范围为． 27．一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义得到二次项系数不为，再结合方程有两个实数根可得根的判别式大于等于，求解两个不等式的公共部分即可得到的取值范围． 【详解】解：∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 解得， 对于一元二次方程，根的判别式为： ∵方程有两个实数根， ∴ ∴ ∴且 28．（25-26九年级上·福建漳州·期末）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 【答案】 ①②③ 【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性： ①通过代入求解； ②利用判别式即可； ③通过判别式得到，代入倒方程判别式可得； ④举反例说明不成立． 【详解】解：结论①，原方程 的倒方程为 ， 将 代入得 ， 解得 ， 故①正确； 结论②，当 时， 判别式 ， 两个方程均有两个不相等的实数根， 故②正确； 结论③， 原方程无解， ， 即 ， 倒方程判别式 ， 倒方程无解， 故③正确； 结论④， 举反例说明，当 时，原方程为， 若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：， 即， 原方程 的倒方程为 ，，， 倒方程为，是一元一次方程， 只有一个根， 故④错误． 故答案为①②③． 29．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 【答案】7 【分析】首先把方程进行整理，根据一元二次方程的求根公式得，再根据x，m均是整数且，得m为完全平方数，即可求解． 【详解】解：将方程整理得：， ∴， ∴当时，方程根为，     ∵，均是整数且， ∴为完全平方数， ∴，1、4、9、16、25、36． ∴符合条件的整数m的个数为7． 30．（25-26八年级下·北京·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是__________________；若该方程的两个实根均为有理数，则整数的最小值为__________． 【答案】 且 2 【分析】方程有两个不相等实根，说明该方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为0，且根的判别式大于0，据此求出的取值范围； 若两根为有理数，根据求根公式可知根的判别式需为完全平方数，结合的取值范围求出最小整数即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实根， ∴该方程为一元二次方程，可得， ∵方程有两个不相等的实根， ∴， 解得， ∴的取值范围是且； 若方程的两个实根均为有理数，由求根公式可知，判别式必须是完全平方数，即 为完全平方数 设（为正整数），则， 当时，，不符合，舍去， 当时，，符合条件， ∴整数的最小值为． 31．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根． (1)求的值； (2)试判断关于的方程的根的情况； (3)若为完全平方式，求常数的值． 【答案】(1)， (2)方程没有实数根 (3) 【分析】本题整体利用一元二次方程根的判别式求解； （1）分别根据两个方程的根的情况列不等式，得到，，再取各自范围内的最大整数即可； （2）代入，计算判别式，根据判别式的符号判断根的情况； （3）根据完全平方式对应一元二次方程判别式为0，代入，整理求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴； （2）解：将代入方程，得方程为， 其判别式 ， ∴方程没有实数根； （3）解：把代入得， ∵为完全平方式， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 计算该方程的判别式得， ∴ ． 32．（2026·江苏扬州·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 33．（2026·安徽·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式，整理等式即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 展开整理得， 即， ∴，得， ∵， 等式两边同除以得． 34．（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 试卷第20页，共20页 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $