30.1.2 第2课时 切线长定理&30.2 三角形的内切圆-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

∴.OB=√2OA=2√2. 又：⊙0的半径为2，即OC=2, ∴.CB=OB-OC=2√2-2. 第2课时切线长定理 1.B 2.D【解析】：CA,CD均是⊙O的切线，∴.CA⊥AB, CA=CD.:∠C=48°，.∠CAD=∠CDA=66°. CA⊥AB,AB是⊙O的直径， .∠ADB=∠CAB=90°， .∠B+∠DAB=90°，∠CAD+∠DAB=90°， ∴.∠B=∠CAD=66°. 3.解：(1)证明：：∠ACB=90°，CE为半圆的直径， ∴.BC为半圆O的切线 :半圆O与AB相切于点D,∴.BD=BC. (2):∠A=30°，∠ACB=90°， ,∴.∠ABC=60°. BD,BC均为⊙O的切线， ∴∠DB0=∠CB0=3∠ABC=30 在Rt△OBC中，OC=1,.OB=2OC=2, ∴BC=√2-1℉=3. 在Rt△ABC中，∠A=30°，.AB=2BC=23. 30.2三角形的内切圆 1.C 2.A【解析】：(a-4)2+(√b-1-2)2+|c-3|=0, ∴.c=3,a=4,b=5. 32+4=25=52,c2+a2=b2, ∴△ABC是直角三角形. 设内切圆的半径为. 1 根据题意，得Sac=2X3X4=2X3r+2×4r十 1 ×5,即12=12r,解得r=1. 3.(1)80°(2)110°4.< 5.135°【解析】如图，连接EC.由题意，得 点E是△ADC的内心，∠AEC=180 -(∠ACD+∠CAD)=135.由题意 可知，∠CAE=∠BAE,AC=AB,AE =AE,∴.△AEC≌△AEB(SAS), ∴.∠AEC=∠AEB=135. 6.(1)60°(2)80°【解析】(2)如图，连 接ID,IE. ∠DFE=50°， ∠DIE=100. AB,AC分别与⊙I相切于点D,E, .∠ADI=∠AEI=90°. ,∠A+∠ADI+∠DIE+∠AEI=360°， ∠A=180°-∠DIE=80. 7.证明：(1)PA,PB是⊙O的切线，∴.PA=PB, ∠APO=∠BPO,∴.PO⊥AB,∴∠AFP=90°.，BC 为⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴.∠BAC=∠AFP= 90°，.AC/OP. (2)如图，连接BE.:PB是⊙O的 切线，∠PBO=90°，.∠PBE+ ∠OBE=90°.PF⊥AB, ∴∠EBF+∠BEF=90°.，OB= OE,∴.∠BEF=∠OBE,∴.∠PBE=∠EBF,BE平 分∠PBF.PA,PB是⊙O的切线，.PO平分 ∠APB,∴E是△ABP的三条角平分线的交点，∴点 E是△ABP的内心. 思想方法专练数学思想在圆中的应用 1.2或2厅【解折1分以下两种情祝讨论：当⊙P与C 相切时，PE=PB=4一AP. 在Rt△PAE中，AP2+AE=PE, 即AP2+22=(4-AP)2, 解得AP= 3 当⊙P与DC相切时，PE=4, 则AP=√4-2=2√5. 综上所述，当⊙P与正方形ABCD的边相切时，AP的 长为2或25. 22或区或2 【解析】如图，连接BO. ,AB=AO=BO=1,.△ABO为等边三角形， .∠OBA=∠OAB=60°. ,直线l为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP=90° 由题意可知，当点P在点A的左侧时，∠BAP=30°； 当点P在点A的右侧时，∠BAP=150°.点P的位置 分为四种情况讨论： ①如图，当BP,=AB=1时 ∠BP,A=∠BAP1=30°， ∴.∠P,BA=120°，.∴.∠P,BA+ ∠OBA=180°， P PP A .点P,,B,O在同一条直线上， ∴.OP,=BO+BP,=2.②如图，当AP2=AB=1时， AP2=A0=1,∠OAP2=90°，.OP2= √AO+AP=√2.③如图，当AP=BP,时， ∠ABP,=∠BAP3=90°-60°=30°，.∠APB= 120°，∠OBA+∠ABP=90°.，OB为⊙O的半径， ∴.BP,为⊙O的切线.：直线1为⊙O的切线，A为切 点P,0平分∠AP,B,∠0P,A=∠AP,B 60,∠AOP3=30°，∴.OP3=2AP.在Rt△OAP 中.OP=AP+A0,即OP=(2OP)）'+A0, 上册详解详析 23Λ第2课时 巴知识要点扫描 1.切线长 经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点 之间线段的长叫作这点到圆的切线长 2.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角 注意：切线和切线长是两个不同的概念， 切线是一条直线，不可以度量，而切线长是切 线上一条线段的长，即切线上一点（非切点）与 切点之间的距离，可以度量，不要误认为切线 长就是切线的长度 已经典例题剖析 【例】如右图，边长为1的正方 形ABCD的边AB是⊙O的直径， CF是⊙O的切线，E是切点，点F 在AD上，BE是⊙O的弦.求 △CDF的面积， 【点拨】先根据切线长定理，得到EF和 AF,CB和CE之间的数量关系，再结合勾股定 理，得到DF的长，即可求出△CDF的面积， 【解】设AF=x .四边形ABCD是正方形， .∠DAB=90°，即AD⊥AB. 又，AB是⊙O的直径， ∴.AD是⊙O的切线 CF是⊙O的切线，E是切点， ∴.EF=AF=x. 同理可得CE=CB=1, ..DF=1-x,CF=CE+EF=1+x. 在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2, 即1+x)=1+1-x),解得x 86 九年级数学RJ版 切线长定理 ∴DF=1-x= 3 4 .S△cpr= 1X33 481 已基础对点训练 知识点 切线长定理 1.如图，P为⊙O外一点，PA,PB分别切⊙O 于A,B两点.若PA=3,则PB等于() A.2 B.3 C.4 D.5 .0 B D B 第1题图 第2题图 2.(教材变式)如图，AB是⊙O的直径，C为 ⊙O外一点，CA,CD均是⊙O的切线，切点 分别为A,D,连接BD,AD.若∠C=48°，则 ∠B的度数是 A.32 B.48° C.60° D.66° 3.如右图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，点O在边 AC上，以点O为圆心，OC 0 的长为半径的半圆与斜边AB相切于点D, 交OA于点E,连接OB. (1)求证：BD=BC. (2)已知OC=1,∠A=30°，求AB的长. 30.2三角 知识要点扫描 三角形的内切圆与三角形的内心 (1)与三角形各边都相切的圆叫作三角形 的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心， 这个三角形叫作圆的外切三角形； (2)三角形的内心就是三角形三条角平分 线的交点，三角形的内心到三边的距离相等. 已基础对点训练 知识点三角形的内心和内切圆 1.用无刻度的直尺和圆规确定△ABC的内 心，下列作法正确的是 D 2.已知△ABC的三边长a,b,c满足(a一4)2+ (√b-1一2)2+|c一3|=0，则△ABC的内 切圆半径为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，点O在△ABC的内部，∠A=40° (1)若点O是△ABC的外心，则∠BOC的 度数为 (2)若点O是△ABC的内心，则∠BOC的 度数为 第3题图 第4题图 形的内切圆 4.如图，点P是△ABC的内心，连接PA,PB, PC,△PAB,△PBC,△PAC的面积分别为 S1,S2,S3,则S S2十S3(填“>” “<”或“=”) 5.如图，在扇形CAB中，CD⊥AB,垂足为D. ⊙E是△ACD的内切圆，连接AE,BE,则 ∠AEB的度数为 第5题图 第6题图 6.如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别是 D,E,F (1)若∠B=50°，∠C=70°，则∠DFE的度 数为 (2)若∠DFE=50°，则∠A的度数为 7.如下图，PA,PB分别与⊙O相切于点A, B,BC为⊙O的直径，OP交⊙O于点E,交 AB于点F.求证： (1)AC∥OP (2)点E是△ABP的内心. IF O 上册第三十章 87△