30.1.1 直线与圆相离、相切、相交&30.1.2 第1课时 切线的性质和判定-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

+∠AEB=180°，.∠C+∠BED=180°-15°=165. 变式题1195°【解析】如图，连接BE, :AB所对的圆心角的度数为30°， ∠AEB=15°.四边形BCDE为圆 内接四边形，.∠C+∠BED=180°， .∠C+∠AED=180°+15°=195°. 1 变式题2180-2a【解析】如图，连 D 接AE.:∠AOB=a∠AEB=2a :四边形ACDE为圆内接四边形 .∠C+∠AED=180°，∴.∠C+∠BED=180°- 20. 9.C10.30π11.B12.D 13.C【解析】如图，连接CO并延长交 ⊙O于点E,连接AE.:OB=OC, .∠OCB=∠CBO=n°，∴.∠BOC =180°-∠B-∠OCB=180°-2n°， .∠AOC=∠AOB-∠BOC=150 -(180°-2n°)=2n°-30°，∠E 2∠A0C=n°-15°，∠ADC 180°-∠E=180°-(n°-15)=195°-n°. 14.6π 15.解：如图，连接AC,过点B作BH⊥DE于点H,交 AC于点F,设ABC所在圆的圆心为点O,连接CO. 由题意可得BH=21,四边形AC DE,CDHF都是矩形，∴.FH=CD =3,AC=DE=12,BF⊥AC. 设⊙O的半径为r,则CO=BO r,..OF=BH-BO-FH=21-r D -3=18-r. :BF过圆心O,且BF⊥AC.CF=2AC=2X12 =6.在Rt△COF中，CF2+OF2=CO2,62+ (18-r)2=r2,解得r=10. 故ABC所在圆的半径为10dm. 第三十章直线与圆的位置关系 30.1直线与圆 30.1.1直线与圆相离、相切、相交 1.B2.C3.A变式题相切4.D 5.解：(1)R=4.8或6<R≤8 (2)4.8<R≤6 (3)0<R<4.8或R>8 【解析】(1)如图，利用三角形面积，求 得斜边AB上的高CD=4.8,⊙C与 斜边AB有且只有一个公共点，存在 以下两种情况： 九年级数学RJ版 当圆与AB相切时，R=4.8;当点A在圆内部，点B在 圆上或圆外时，AC<R≤BC,即6<R≤8. 6.±2-2<m<2 30.1.2圆的切线 第1课时切线的性质和判定 1.D2.B 3.B【解析】如图，连接OA.,AB切⊙O 于点A,∴.OA⊥AB,∴.∠OAB=90. ∠B=50°，.∠0=180°-∠OAB ∠B=40°.由圆周角定理，得∠D= 2∠0=20. .AD∥OB,.∠OCD=∠D=20. 4.√13【解析】如图，连接OB.,AC是 ⊙O的切线，B为切点，∴.∠ABO= ∠CB0=90°.：∠A=30°，.A0=A 2BO.在Rt△ABO中，AO2=AB2+BO,即(2BO)2= (2√5)2+BO,解得BO=2.在Rt△CBO中，OC= √BO+BC=√22+32=√/13. 5.32 6.解：(1)证明：AB=AC,∴.∠B=∠C. OB=OD,∴.∠B=∠ODB, .∠C=∠ODB,∴.OD∥AC. ,⊙O与AC相切于点E,.OE⊥AC, ∴.OD⊥OE. (2),BC=AB=AC,∴.△ABC是等边三角形， ∴.∠A=∠B=∠C=60°.又，OB=3,∴.OD=OE= OB=√3. 在Rt△AE0中，∠AOE=90°-60°=30°， AE-TOA. .AE+OE2=OA2, (20A）+(5)=0A. 解得OA=2,∴.AE=1, ..AB=BC=AC=OA+OB=2+√3， ..CE=AC-AE=1+/3. 1 SaE=2(OD+CE)·0E=号+3 7.相切8.6cm 9.解：(1)证明：AD⊥OB, ,.∠DAC+∠ACD=90° ,OA=OC,.∠OAC=∠OCA. :AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠BAC, ∴.∠OAB=∠BAC+∠OAC=∠DAC+∠OCA= 90°，即OA⊥AB. 又：OA为⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线 (2)'∠AOB=45°，∠OAB=90°， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴.OB=√2OA=2√2. 又：⊙0的半径为2，即OC=2, ∴.CB=OB-OC=2√2-2. 第2课时切线长定理 1.B 2.D【解析】：CA,CD均是⊙O的切线，∴.CA⊥AB, CA=CD.:∠C=48°，.∠CAD=∠CDA=66°. CA⊥AB,AB是⊙O的直径， .∠ADB=∠CAB=90°， .∠B+∠DAB=90°，∠CAD+∠DAB=90°， ∴.∠B=∠CAD=66°. 3.解：(1)证明：：∠ACB=90°，CE为半圆的直径， ∴.BC为半圆O的切线 :半圆O与AB相切于点D,∴.BD=BC. (2):∠A=30°，∠ACB=90°， ,∴.∠ABC=60°. BD,BC均为⊙O的切线， ∴∠DB0=∠CB0=3∠ABC=30 在Rt△OBC中，OC=1,.OB=2OC=2, ∴BC=√2-1℉=3. 在Rt△ABC中，∠A=30°，.AB=2BC=23. 30.2三角形的内切圆 1.C 2.A【解析】：(a-4)2+(√b-1-2)2+|c-3|=0, ∴.c=3,a=4,b=5. 32+4=25=52,c2+a2=b2, ∴△ABC是直角三角形. 设内切圆的半径为. 1 根据题意，得Sac=2X3X4=2X3r+2×4r十 1 ×5,即12=12r,解得r=1. 3.(1)80°(2)110°4.< 5.135°【解析】如图，连接EC.由题意，得 点E是△ADC的内心，∠AEC=180 -(∠ACD+∠CAD)=135.由题意 可知，∠CAE=∠BAE,AC=AB,AE =AE,∴.△AEC≌△AEB(SAS), ∴.∠AEC=∠AEB=135. 6.(1)60°(2)80°【解析】(2)如图，连 接ID,IE. ∠DFE=50°， ∠DIE=100. AB,AC分别与⊙I相切于点D,E, .∠ADI=∠AEI=90°. ,∠A+∠ADI+∠DIE+∠AEI=360°， ∠A=180°-∠DIE=80. 7.证明：(1)PA,PB是⊙O的切线，∴.PA=PB, ∠APO=∠BPO,∴.PO⊥AB,∴∠AFP=90°.，BC 为⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴.∠BAC=∠AFP= 90°，.AC/OP. (2)如图，连接BE.:PB是⊙O的 切线，∠PBO=90°，.∠PBE+ ∠OBE=90°.PF⊥AB, ∴∠EBF+∠BEF=90°.，OB= OE,∴.∠BEF=∠OBE,∴.∠PBE=∠EBF,BE平 分∠PBF.PA,PB是⊙O的切线，.PO平分 ∠APB,∴E是△ABP的三条角平分线的交点，∴点 E是△ABP的内心. 思想方法专练数学思想在圆中的应用 1.2或2厅【解折1分以下两种情祝讨论：当⊙P与C 相切时，PE=PB=4一AP. 在Rt△PAE中，AP2+AE=PE, 即AP2+22=(4-AP)2, 解得AP= 3 当⊙P与DC相切时，PE=4, 则AP=√4-2=2√5. 综上所述，当⊙P与正方形ABCD的边相切时，AP的 长为2或25. 22或区或2 【解析】如图，连接BO. ,AB=AO=BO=1,.△ABO为等边三角形， .∠OBA=∠OAB=60°. ,直线l为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP=90° 由题意可知，当点P在点A的左侧时，∠BAP=30°； 当点P在点A的右侧时，∠BAP=150°.点P的位置 分为四种情况讨论： ①如图，当BP,=AB=1时 ∠BP,A=∠BAP1=30°， ∴.∠P,BA=120°，.∴.∠P,BA+ ∠OBA=180°， P PP A .点P,,B,O在同一条直线上， ∴.OP,=BO+BP,=2.②如图，当AP2=AB=1时， AP2=A0=1,∠OAP2=90°，.OP2= √AO+AP=√2.③如图，当AP=BP,时， ∠ABP,=∠BAP3=90°-60°=30°，.∠APB= 120°，∠OBA+∠ABP=90°.，OB为⊙O的半径， ∴.BP,为⊙O的切线.：直线1为⊙O的切线，A为切 点P,0平分∠AP,B,∠0P,A=∠AP,B 60,∠AOP3=30°，∴.OP3=2AP.在Rt△OAP 中.OP=AP+A0,即OP=(2OP)）'+A0, 上册详解详析 23Λ第三十章 直线与圆的位置关系 30.1直线与圆 30.1.1直线与圆相离、相切、相交 知识要点扫描 =4cm.以点C为圆心，2.5cm为半径画圆， 1.直线与圆的位置关系 则⊙C与直线AB的位置关系是( A.相交 B.相切 .0 .0 C.相离 D.不能确定 相交：两个公共点 相切：唯一公共点 相离：没有公共点 变式题角度：非特殊角度→特殊角度 2.定理 如图，∠AOB=30°，OM= 如果⊙O的半径为r,圆心O到直线1的 6,那么以点M为圆心，3 距离为d,那么有下列关系： 为半径的圆与直线OA的0 M B (1)直线l与⊙0相离台d之r; 变式题图 位置关系是 (2)直线l与⊙O相切台d=r; (3)直线l与⊙O相交台d<r. 知识点② 直线和圆的位置关系的性质 注意：①直线和圆有唯一公共点的含义是 4.在平面直角坐标系中，已知点M(4,3),以点 “有且仅有”，这与直线和圆有一个公共点的含 M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y 义不同： 轴相离，则r的取值范围为 () ②直线和圆的位置关系可以用它们的交 A.0<r<5 B.3<r<5 点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离 C.4<r<5 D.3<r<4 与半径的大小关系来区分. 5.已知△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8, 已基础对点训练 以点C为圆心，R为半径作⊙C. 知识点① 直线和圆的位置关系的判定 (1)若⊙C与斜边AB有且只有一个公共点， 1.已知⊙O的半径为5cm,圆心O到直线l的距 则R的取值范围是 离为5cm,则直线l与⊙O的位置关系为 (2)若⊙C与斜边AB有两个公共点，则R ( 的取值范围是 A.相交 B.相切 (3)若⊙C与斜边AB没有公共点，则R的 C.相离 D.无法确定 取值范围是 2.已知⊙O的半径是一元二次方程x2一2x一3 易错点考虑问题不全面 =0的一个根，圆心O到直线l的距离d= 6.在平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标 4,则直线（与⊙O的位置关系是 ( 为(m,4),半径为2.若⊙M与y轴所在 A.相交 B.相切 直线相切，则m= ;若⊙M C.相离 D.平行 与y轴所在直线相交，则m的取值范围 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm,AC 是 83 上册第三十章 30.1.2 圆的切线 第1课时 切线的性质和判定 已知识要点扫描 的直角边是斜边的一半求出OE,再由勾股定 切线的性质和判定 理求得BE,从而求得BD的长. (1)切线的性质定理：圆的切线垂直于过 【解】(1)证明：如图，连 切点的半径； 接OC (2)切线的判定定理：经过半径的外端并 .∠D=30°， 且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 .∠O=2∠D=60°. 注意：对于切线的性质定理可分解出三个 ∠D=∠OBD,∴.CD∥AB. 条件：①垂直于切线；②经过切点；③经过圆 又：AC∥BD,∴.四边形ABDC为平行四 心.知道其中的任意两个，就可以推出第三个 边形，∴.∠A=∠D=30°，∴.∠OCA=180° 在应用切线的判定定理时，必须先弄清题 ∠A-∠O=90°，即OC⊥AC. 设的两个条件：一是经过半径的外端；二是垂 又OC是⊙O的半径， 直于这条半径.这两个条件缺一不可. .AC是⊙O的切线， 证明直线是圆的切线时，证明思路可归纳 (2)如图，设OC与BD相交于点E. 为未知切点，作垂直、证半径；已知切点，连半 由(1)知，OC⊥AC. 径、证垂直 .AC∥BD,.OC⊥BD,∴.BE=DE .在Rt△BEO中，∠OBD=30°，OB=4, 已经典例题剖析 【例】如下图，点B,C,D都在半径为4的 80E=20B=号×4=2. ⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于 ∴.BE=√OB-OE=√4-2=23， 点A,连接CD.已知∠D=∠OBD=30° ∴.BD=2BE=43」 (1)求证：AC是⊙O的切线. 已基础对点训练 (2)求弦BD的长 知识点① 切线的性质 1.如图，已知△ABC,以AB为直径的⊙O交 BC于点D,与AC相切于点A,连接OD.若 ∠AOD=80°，则∠C的度数为 ( 【点拨】(1)连接OC,根据圆周角定理求得 A.30° B.40 C.45°D.50 ∠O=2∠D=60°，然后证明四边形ABDC为 平行四边形，从而证得∠A=∠D=30°.根据 三角形的内角和定理证得∠OCA=180°一∠A 一∠O=90°，即OC⊥AC,从而证得AC是⊙O 第1题图 第2题图 的切线；(2)设OC与BD相交于点E.由OC⊥ 2.（2025一2026新余第四中学期末)如图，在 AC,AC∥BD得出OC⊥BD.根据垂径定理可 ⊙O上有A,B,C三点，∠B=27°，DC与 得BE=DE,然后根据直角三角形中30°所对 ⊙O相切于点C,交OA的延长线于点D,则 九年级数学RJ版 ∠D的度数为 ( 知识点② 切线的判定 A.27° B.36 C.46° D.54 7.如图，点A,B,D在⊙O上，∠A=25°，OD的延 3.如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A,连接OB 长线交直线BC于点C,且∠OCB=40°，则直线 交⊙O于点C,过点A作ADOB交⊙O于 BC和⊙O的位置关系为 点D,连接CD.若∠B=50°，则∠OCD的度 数为 A.15 B.20° C.25 D.30% 第7题图 第8题图 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，以 点A为圆心，3cm长为半径作⊙A.当AB B 第3题图 第4题图 = 时，BC和⊙A的位置关系 4.如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接 为相切. OA,OC.若∠A=30°，AB=23,BC=3,则 9.如下图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB 交⊙O于点C,AD⊥OB于点D,AC是 OC的长度是 ∠BAD的平分线. 5.如图，△ABC是⊙O的内接三 (1)求证：AB为⊙O的切线， 角形，∠A=119°，BD为直径， (2)若⊙O的半径为2，∠AOB=45°，求CB CP与⊙O相切，交BD的延 第5题图 的长 长线于点P,则∠P的度数为 6.如下图，在△ABC中，AB=AC,点O在边 AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半 圆，交BC于点D,与AC相切于点E,连接 OD,OE. (1)求证：OD⊥OE. (2)若AB=BC,OB=√3，求四边形ODCE 的面积. 上册第三十章 5△