29.1.2 过三点的圆-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

29.1.2 知识要点扫描 1.确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 2.三角形的外接圆和外心 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这 个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三 角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三 角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三 角形 3.反证法及其一般步骤 (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出 矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而得到原 命题的结论是成立的 经典例题剖析 【例】半径为5的⊙O是锐角三角形ABC 的外接圆，AB=AC,连接OB,OC,延长CO 交弦AB于点D.若△OBD是直角三角形，求 弦BC的长， 【点拨】当∠ODB=90°时，推出△ABC是 等边三角形，再由勾股定理及含30°角直角三 角形的性质得BC=AB=5√3；当∠DOB= 90°时，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得 到BC=5√2. 【解】如图①，当∠ODB=90°时，即CD ⊥AB, 点O为△ABC的外心， ∴.AD=BD,.AC=BC ,AB=AC,∴.AB=BC=AC,即△ABC 是等边三角形，∴.∠ABC=∠ACB=60°. :CD⊥AB,∠BCD=2∠ACB=30, .OB=OC,.∠OBC=∠BCD=30°， 过三点的圆 ∴.∠DBO=30. :OB=5,在R△ODB中，D0=2, BD=5 ,.BC=AB=2BD=53. 2 图① 图② 如图②，当∠DOB=90时，∠BOC=90°. ,OB=OC,.△BOC是等腰直角三角 形，.BC=52」 综上所述，若△OBD是直角三角形，则弦 BC的长为5√3或5√2. 已基础对点训练 知识点① 确定圆的条件 1.下列条件中，能够确定一个圆的是( A.已知圆心 B.已知半径 C.已知三个点 D.经过三角形的三个顶点 2.(2025一2026宁波鄞州区检测)小明不慎把 家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图 所示.为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小 明带到商店去的一块玻璃碎片应该是() A.① B.② C.③ D.④ 2 R A B C D 第2题图 第3题图 3.如图，点A,B,C,D均在直线l上，点P在 直线1外，则经过其中任意三个点，最多可画 出圆的个数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 上册第二十九章 69△ 4.已知平面直角坐标系内的三个点A(1, -3),B(0,-3),C(2,-3),这三个点 确定一个圆（填“能”或“不能”）. 知识点②三角形的外接圆和外心 5.下列关于三角形外心的说法中，不正确的是 () A.三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直 平分线的交点 B.三角形的外心到三边的距离相等 C.三角形的外心到三个顶点的距离相等 D.三角形有且只有一个外接圆 6.如图，在4×4的正方形网格中，A,B,C是 三个格点（网格线的交点），其中每个小正方 形的边长为1.△ABC的外心可能是( N/P Q B M C 第6题图 AM点B.N点C.P点 D.Q点 7.如果三角形的外心在三角形的外部，那么这 个三角形一定是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 8.若一个三角形的三边长分别为6,8,10，则这 个三角形外接圆的半径是 () A.3 B.4 C.5 D.6 9.如下图，小明家的房前有一块空地，空地上 有三棵树A,B,C,小明想建一个圆形花园， 使三棵树都在花园的边上. (1)请你帮小明把圆形花园的位置作出来 (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法). 470 九年级数学RJ版 (2)若圆形花园的半径为10m,在△ABC 中，AB=AC,BC=16m,求△ABC的面积. 知识点③反证法 10.用反证法证明“a>0”时，应先假设结论的 反面.下列假设正确的是 () A.a<0B.a=0C.a≠0D.a≤0 11.用反证法证明时，假设“点在圆内或圆外”， 经过推理后得出矛盾，则点和圆的位置关 系是 () A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.不确定 12.用反证法证明命题“若平面内⊙O的半径 为r,点P到圆心的距离为d,且d>r,则 点P在⊙O的外部”，应先假设 13.如下图，在△ABC中，点D,E分别在AC, AB上，连接BD,CE,相交于点O.用反证 法证明BD和CE不可能互相平分.转90°后得到的点C,的坐标为（一2,3）. 8.解：(1)如图，△A1B,C1即为所求. (2)如图，△A2B2C2即为所求，A2(1,一1). C 9.解：(1)证明：，将CD绕点C逆时针方向旋转90 至CE, ∴.CE=CD,∠ECD=90. ,∠BCA=90°，AC=BC, ∴.∠ECB=∠DCA=90°-∠BCD, .△ECB≌△DCA(SAS), .∠EBC=∠A. (2)当点D为AB的中点时，四边形CDBE能成为正 方形. 证明：当点D为AB的中点时，，∠BCA=90°，A( =BC, ∴.CD⊥AB,即∠CDB=90°. 由(1)得∠EBC=∠A. :∠CBA=∠A=45°， ∴∠EBA=90°，∴四边形CDBE为矩形. 又：CD=CE,∴四边形CDBE为正方形. 10.D11.A12.18 3(-号) 【解析】由旋转的性质可知，C(0,2). 设直线OB的函数解析式为yom=mx. 把B(4,2)代入，得4m=2,解得m=2, 1 ∴直线OB的函数解析式为ym=2x 设直线AC的函数解析式为yc=kx十b. 把A2.0).C0,2)代入得2+6=0 (k=-1, 解得 b=2, b=2, .直线AC的函数解析式为yAc=一x+2. 4 联立= 2x, 解得 x=3’ 2 () y=-x+2, y=3' 将点E向左平移2个单位长度得到点E, (-) 第二十九章圆 29.1圆的有关概念 29.1.1圆的有关概念 1.C2.B3.B 个18 九年级数学RJ版 4.证明：如图，连接ME,MD. ,BD,CE均为△ABC的高，且M为BC 的中点， .ME-MD-MC-MB-BC, ∴点B,C,D,E都在以点M为圆心的同一个圆上 5.B6.(1)上外(2)5内7.D8.2 9.22.5°【解析】：AB是⊙O的直径， .'.AB=2DO. AB=2DE,∴.DO=DE,∴∠DOE=∠E. △COD为直角三角形，OC=OD, .△COD为等腰直角三角形，∴.∠CDO=45°. :∠CD0=∠DOE+∠E,·∠E=2 ∠CDO= 22.5° 10.解：如图，设BC的中点为O,连 接OP. :∠BPC=90°，点P在以BC为 直径的半圆O上运动，当O,P,D 在一条直线上时，PD最小. ,AB=3,BC=4, 1 OC-2BC=2-OP.CD=AB=3. .OD=OC+CD=√13， ∴.PD的最小值为√I3一2. 29.1.2过三点的圆 1.D2.B3.D4.不能5.B6.D7.A8.C 9.解：(1)如图，⊙O即为所求的圆形花园. (2)如图，连接AO并延长交BC于点D,连接OB,OC. ,AB=AC,OB=OC,∴.AD是BC的垂直平分线， 1 ·BD=DC=2BC=8m. 在Rt△OBD中，OD=√OB-BD=6m, 5AD=16m,1Sw-BC·AD-号×16X16 1 128(m2). 10.D11.B 12.点P在⊙O上或点P在⊙O的内部 13.证明：如图，连接DE.假设BD和CE互相平分， .四边形EBCD是平行四边形， ∴.BE∥CD. .在△ABC中，点D,E分别在AC, AB上， ∴AB不可能平行于AC,与已知条件矛盾. 故假设不成立，原命题正确， 即BD和CE不可能互相平分. 29.2圆的有关性质 29.2.1垂直于弦的直径 1.B2.B变式题A 3.C【解析】如图，连接OA ⊙O的直径CD=20,OM:OC= 3:5, ..OA=OC=10, .OM=6. :AB⊥CD,垂足为M, .AM=√OA-OM=√102-6=8， ∴.AB=2AM=16. 4.7 5.解：(1)如图，弦CD即为所求.依据：垂直 于弦的直径平分弦 (2)如图，连接OD. :OA⊥CD于点P,AB是⊙O的直径， 六∠OPD=90°，PD=2CD=4. 设⊙O的半径为r,则OD=r,OP=OA-AP=r-2. 在Rt△ODP中，OD=OP2+PD, 即r2=（r一2)2+42，解得r=5. 故⊙0的半径为5. 6.C7.48° 8.B【解析】如图，连接OA.由题意，得 CDLAB,AD-BD-2AB-0.5 m. 设拱门所在圆的半径为rm,∴.OA= OC=r m.'.'CD=2.5 m,.'.OD=(2.5 ADB -r)m.在Rt△AOD中，AO=AD2+ OD2,∴.r2=0.52+(2.5-r)2,解得r=1.3,.拱门所 在圆的半径为1.3m. 9.0.5 10.解：：D是AB的中点，∴.OD⊥AB..AC=BC= 2AB=2×18=9(em.设0A=rem,则0C=( 6)cm.在Rt△OAC中，由勾股定理，得OC2+AC2= 01,即-6)+g=r,解得r-90A的长为 39 4cm. 11.C【解析】当点D在优弧AB上时，如图①，连接 OB.C为弦AB的中点，DE是⊙O的直径，AB= scm.'.DEAB,DC-AB-4 cm. 又，OB=OD=5cm,∴.OC=√OB-BC √52-4=3(cm),∴.CD=OD+OC=5+3=8(cm). 当点D在劣弧AB上时，如图②，同理，CD=OD一 OC=5-3=2(cm).综上，CD的长为2cm或8cm. 图① 图② 29.2.2圆心角 1.D2.C3.60°4.C5.D 6.B【解析】如图，连接OF. ,DE⊥AB, ∴DE=EF,AD=AF. D是AC的中点， ∴AD=CD, ∴AC=DF ∴.AC=DF=45, .EF-DF-2/3. 设OA=OF=x, .OE=x-2.在Rt△OEF中，x2=(23)2+(x- 2)2,解得x=4,∴.AB=2x=8. 112839 9.解：连接AC,如图： .AB=BE, ∴B是AE的中点. ,F是EC的中点， ∴BF是△EAC的中位线， .BF-TAC. .AD=BC. ..BD=AB+AD=AB+BC=AC, BD=ACBF=号BD= 10.证明：如图，连接OC. :四边形OBCD是菱形， ∴.DO=DC. 又DO=CO, ∴.△DOC为等边三角形， .∠DOC=60°. 同理可证∠BOC=60°， ∴.∠AOD=180°-∠BOC-∠DOC=60°， .∠AOD=∠DOC, .'.AD=DC. 11.解：(1)证明：BC=CD,BC=DC 又，BO=DO,OC=OC, ∴.△BOC≌△DOC. (2):OB=OC,∠ABC=65°， ∴.∠OCB=∠OBC=65°， 上册详解详析 19个