28.1 第1课时 旋转及其特征-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

一第三、第四象限，反比例函数y=冬的图象在第 一、第三象限，故选项B符合题意，选项C不符合题 意；当k<0时，函数y=kx一k的图象在第一、第二、 第四象限，反比例丽数)=兰的闲象在第二、第因象 限，故选项A,D不符合题意. 11.C【解析】由题意，得直线y=2x+m向上平移3个 单位长度后得到直线y=2.x十m十3. 设点A的横坐标为x1,点B的横坐标为x2· y=2x+m+3, 联立 3 得2x2十(m十3)x-3=0. v=。 x 由题意可知，x1,x2是方程的两根， x十x=-m十3 2 又点A,B关于原点对称， -m+3=0, 2 .m=-3. 根据定义可知，一次函数y=2x十m的“特征数”是 [2,-3]. 12.解：(1)：一次函数y=a.x+b的图象经过点A(一4， 0),B(0,2) -4a+b=0, b=2, 解得a=2 b=2. (2)由(1)可知，一次函数的解析式为y=2x+2. :点P在一次函数的图象上， 设点P的坐标为(t,21+2) ,△PMN是腰长为3的等腰直角三角形， ∴.PM=PN=3. 1 点M的坐标为(t一3，t+2),点N的坐标为(t, 24-10. “点M,N在反比例函数y=冬(>0，x>0)的图 象上， k=4-3)(2+2)=(2-1). 解得t=4, ∴点P的坐标为(4,4)，则点M的坐标为(1,4). 将M(1,4)代入y=二(k>0,x>0), 解得k=4. 故点P的坐标为(4,4)，k的值为4. 综合与实践高铁列车运行中的 数量关系（教材新增） 1 1.解：(1)加速或减速阶段平均速度为2×(0+350)= 175(km/h), 每一阶段加速和减速的时间为15×2=30(min)=0.5 (h). A市南→C站的路程为175×0.5+350×1= 437.5(km). C站→D站的路程为175×0.5+350×1.5=612.5 (km). D站→B市的路程为175×0.5+350×0.5=262.5 (km). (2)高铁全长大约为437.5+612.5+262.5 =1312.5(km). 全程的平均速度：1312.5÷4.5≈291.7(km/h). 2.解：(1)不相同.依据：平均速度=路程÷时间，三段路 程的“路程/时间”的比值不同〔如A市南→C站的平 437.5 均速度为 1.5 ≈291.7(km/h),C站→D站的平均速 612.5 度为2 =306.25(km/h)1. (2)如图 ↑速度/(km/h) 350 012345时间i 3.解：差异原因：①实际运行中，匀速行驶速度可能未达 到350km/h; ②匀变速阶段的加速度并非恒定，与实际运动有偏差； ③经停站的停留时间计入了运行时间，但实际里程为 线路固定长度（合理即可）. 4.解：总路程=匀变速阶段路程十匀速阶段路程， =2,+,)t1-4,-4,. 第二十八章旋转 28.1图形的旋转 第1课时旋转及其特征 1.B 2.2变式题√2 3.解：如图，连接AE. :∠ACB=90°，AC=BC=2V2, ∴.∠BAC=∠ABC=45°，AB=4. 又AD:BD=1:3, ∴.BD=3. 由旋转的性质可知，CE=CD,∠DCE=90°， ∴.∠ACE=∠BCD=90°-∠ACD, .△CAE≌△CBD(SAS), 上册详解详析 15个 .AE=BD=3,∠CAE=∠CBD=45°， ∴.∠BAE=∠BAC+∠CAE=90. 在Rt△BAE中，EB=√AE+AB=√3+4'=5. 4.A5.C6.C7.18° 8.46°【解析】：∠A=27°，∠B=40 ∴∠ACA'=∠A+∠B=67°. :△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C, ∴.△ABC≌△A'B'C,∴∠ACB=∠A'CB', .∠ACB-∠ACB'=∠A'CB'-∠ACB', 即∠BCB'=∠ACA'=67°， .∠ACB'=180°-∠BCB′-∠ACA'=180°-67° 67°=46°. 9.解：(1)证明：，四边形ABCD是菱形，∠D=120°， .∠ABC=120°，AB=CB. 又：EB绕着点B逆时针旋转120°到FB, .EB=FB,∠FBA+∠ABE=∠ABE+∠EB( =120°， ∴.∠FBA=∠EBC. FB=EB, 在△AFB与△CEB中，{∠FBA=∠EBC, AB=CB. △AFB≌△CEB(SAS), ..AF=CE. (2)105 第2课时旋转作图 1.N 2.解：(1)如图①，△AB1C,即为所求 (2)如图②，△A2B,C:即为所求. 图① 图② 3.B4.(3√2,3√2) 5.解：如图，△OA'B'即为旋转后的图形.过点A'作 A'M⊥x轴于点M,则∠A'MO=90°. 由旋转的性质，得OA'=OA=2,∠AOA'=75°，则 ∠A'OM=∠AOA'-∠AOB=75°-30°=45°， ..MA'=OM. 设MA'=OM=x.根据勾股定理，得OM+MA2 OA'?,即x2+x2=2,解得x=√2（负值已舍去）. 16 九年级数学RJ版 ,点A'在第四象限，点A'的坐标为（√2，一√2）. 解题模型专练旋转中常见的几何模型 1.1【解析】：△ABC和△BEF都是 等边三角形，∴∠ABC=∠EBF= ∠BAC=60°，AB=BC,BE=BF, ∴.∠ABE=∠CBF=60°-∠EBC, ∴.△ABE≌△CBF(SAS). 如图，取AB的中点M,连接EM. ,△ABC是等边三角形，AB=4,M是AB的中点， AD是边BC上的高，.D是BC的中点，AD平分 ∠BAC,AM=2,∴.DF=EM,∠BAD=30°， ∴.当ME⊥AD时，ME取最小值，即DF取最小值. 在Rt△AME中，∠MAE=30°， ∴ME=号AM=1DF的最小值为1. 2号 【解析】如图，在AC上截取CF=CB =3,连接EF,BF. 由旋转的性质可得CE=CD,∠ECD 90°，.∠DCB=∠ECF=90°-∠BCE, △ECF≌△DCB(SAS), ∴EF=DB. 由垂线段最短可知，当FE⊥AB时，EF取最小值，即 BD取最小值， SAANC=2 1 1 ×3X4=2×3X3+2×5EF, EF=3 “BD的最小值为号 5 3.2【解析】由旋转的性质可得∠A=∠DCM=90°， DE=DM,∴.∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴.F, C,M三点共线. 由题意，得∠EDM=90°，即∠EDF+∠FDM=90. :∠EDF=45°，∴.∠FDM=∠EDF=45. DE=DM, 在△DEF和△DMF中，∠EDF=∠MDF, DF=DF. ∴.△DEF≌△DMF(SAS),.EF=MF 设EF=MF=x.,AE=CM=1,且BC=3,∴.BM= BC+CM=3+1=4,..BF=BM-MF=4-x. EB=AB-AE=3-1=2,.在Rt△EBF中，由勾 股定理，得EB2+BF2=EF,即22+(4-x)2=x2,解 4.√34【解析】将△ABD绕点A 逆时针旋转至△ACD',使得AB 与AC重合，如图所示，连接ED' :∠BAC=90°，AB=AC,第二十八章 旋转 28.1图形的旋转 第1课时 旋转及其特征 已知识要点扫描 .AE=AC-EC=2, 1.旋转的概念 ∴.AG=AE+EG=4. 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个 根据勾股定理，得AF=√AG十GF2= 方向转动一个角度，这样的图形运动叫作旋 √42+32=5. 转，这个定点叫作旋转中心，转动的角叫作旋 巴基础对点训练 转角，旋转不改变图形的大小和形状。 2.旋转的性质 知识点① 旋转的概念 旋转过程中，对应点到旋转中心的距离相等. 1.(教材变式)如图，该图形绕点O按下列角度 旋转前、后的图形全等，对应点与旋转中 旋转后，不能与其自身重合的是 () 心所连线段所成的角相等，都等于旋转角， 经典例题剖析 【例】如右图，在Rt△ABC 第1题图 中，∠ACB=90°，AC=6,BC= A.72° B.108° 4.将△ABC绕直角顶点C顺 C.144° D.216 时针旋转90°得到△DEC.若F 是DE的中点，连接AF,求AF的长。 知识点② 利用旋转的性质求线段长度 【点拨】取EC的中点G,连接FG.利用旋转 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°， 的性质可得EC,DC的长和∠ACD的大小，再证 AC=1cm.将Rt△ABC绕，点A逆时针旋转得 明GF是△ECD的中位线，进而求出GF和AG 到Rt△AB'C',使点C'落在AB边上，连接 的长，最后根据勾股定理即可求出AF的长 BB.BB'的长度是 cm. 【解】如图，取EC的中 点G,连接FG, 根据旋转的性质，得 EC=BC=4,DC=AC=6, 第2题图 变式题图 ∠ACD=∠ACB=90°. ,F是DE的中点，G是EC的中点， 变式题旋转构造等边三角形→构造等腰 :GF是△ECD的中位线，EG=7EC=2, 直角三角形 如图，在△AOB中，AO=1.将△AOB绕 ∴.GF/CD,GF=DC=3, 点O逆时针旋转90°得到△A'OB',连接 AA'.线段AA'的长为 ∴.∠AGF=∠ECD=90°. 458 九年级数学RJ版 3.如右图，在△ABC中，∠ACB= 7.如图，在正方形ABCD中，将边AB绕点B 90°，AC=BC=2√2.D为AB边 顺时针旋转36°得到线段BE,连接AE,则 上一点，且AD：BD=1：3.连接 AD ∠DAE的度数为 CD,将CD绕点C顺时针旋转90°得到线段 D CE,连接EB.求线段EB的长. 第7题图 第8题图 8.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到 △A'BC,使点A'落在BC的延长线上.已知 ∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB'的度数为 9.(2025一2026赣州于都期中)如下图，在菱形 ABCD中，∠D=120°，E为菱形内一点，连 接EC,EB.将EB绕着点B逆时针旋转 知识点③利用旋转的性质求角度 120°到FB,连接FA,EF,且EF交AB于 4.(2025一2026丰城期中)如图，在△ABC中， 点G ∠BAC=40°.将△ABC绕点A按逆时针方 (1)求证：AF=CE. 向旋转60°得到△ADE,则∠CAD的度数是 (2)若∠EBC=45°，则∠AGE的度数为 ( A.20° B.30 C.40° D.609 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，∠CAB=70°.将△ABC 绕点A逆时针旋转到△ABC'的位置，使得 CC∥AB,则∠BAB'的度数是 A.70° B.35°C.40° D.509 6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC =90°.将△ABC绕点A顺时 针旋转得到△AB'C',使点C B A 的对应点C'在BA的延长线 第6题图 上，连接CC'.若∠CC'B'=32°，则∠B的度 数是 A.64° B.67° C.77° D.87° 上册第二十八章 59△