第26章 二次函数 学业质量自我评价-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

九年级数学RJ版上册 第二十六章学业质量自我评价 (考试时间：120分钟 满分：120分)》 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列各式中，y是x的二次函数的是 ( ) 1 A.y= B.y=ax2+bx+cC.y=2x2-1 D.y=√x-1 2.下列各点在抛物线y=3x2上的是 ( ) A.(3,1) B.(1,-3) C.(1,3) D.(-1,-3) 3.(2025一2026赣州信丰期中)在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+1向上平 移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是() A.y=(x-2)2-2 B.y=(x-2)2+3 C.y=(x+2)2-3 D.y=(x+2)2+1 4.已知抛物线y=x2+m.x的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2十m.x=5的 根是 () A.0,4 B.1,5 C.1,-5 D.-1,5 5.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2十mx十m2一m(m为常数)的图象经过 点(0,6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有 ( B.最大值4 .15 A.最大值5 C.最小值5 最小值号 6.（2025一2026赣州南康区检测)如图，抛物线y=ax2十bx 十c(a≠0)与x轴交于点A(一3,0)和点B(1,0),与y轴交 于点C.有下列说法：①αbc<0:②抛物线的对称轴为直线 x=-1;③当-3<x<0时，ax2+bx+c>0;④当x>1 0 时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a一b(m为任意实 数).其中正确的个数是 第6题图 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.若抛物线y=a.x2(a≠0)经过点A(1,3),则该抛物线的解析式为 8.一个二次函数y=ax2+b.x十c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分 是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 (写出一种 情况即可). 9.二次函数y=x2一6x十的图象与x轴有两个交点.若其中一个交点的坐标为 (1,0),则另一个交点的坐标为 10.已知抛物线y=x2+x一1经过点P(m,4),则代数式m2十m+2025的值为 11.跳丸是一种传统游戏.已知竖直上抛的丸铃，在不考虑空气阻力的情况下，满 足关系式：h=一21，其中h是上升的竖直高度，w是抛出时的速度，g是 重力加速度(g≈10m/s2),t是抛出后的时间.若某杂技师以10m/s的速度从 手中竖直向上抛出丸铃，则丸铃经过约 s到达1.8m高的 位置. 165 12.已知二次函数y=ax2十bx十2(a≠0)的图象的顶点在第二象限，且过点(1， 0),当a一b为整数时，3a+b的值为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1)已知函数y=(m十3)x"+3m-2是关于x的二次函数.当m为何值时，该函 数图象的开口向下？ (2)已知抛物线y=x2十bx十c经过点(0,2)和(1，一1)，求抛物线的解析式， 14如下图：在平面直角坐标系0y中，抛物线y=号-。 -5x十2与x轴交于A, B两点，四边形ABCD为正方形 (1)请仅用无刻度的直尺画出图中抛物线的对称轴（保留画图痕迹，不写画 法). (2)正方形ABCD对角线交点的坐标为 B 15.如右图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2十x一2 与x轴交于点A,B,与y轴交于点C. (1)求顶点D的坐标. A 0 B (2)求△ABC的面积， 16.如右图，正方形ABCD的顶点A,B在抛物线y=2x2上，顶 点C,D在x轴上. (1)求顶点A的坐标. (2)连接BD交抛物线于点P,求点P的坐标. D 17.已知抛物线y=x2十(m一2)x一2m. (1)若顶点在y轴上，求m的值， (2)若抛物线经过原点，求此抛物线的顶点坐标 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.(2025一2026赣州南康区期中)某小型飞机着陆后滑行的距离S(单位：m)关 于滑行时间t(单位：s)满足S=at一bt2,其中a,b是常数.由监测仪器记录获 得滑行时间t与滑行距离S的几组数据如下： 滑行时间t/s 0 4 6 8 … 滑行距离S/m 054 96126 144… (1)请根据上述数据，求该函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） (2)飞机着陆后滑行多远才能停下来？ 1141419 166 19.(2025一2026上饶鄱阳检测)抛物线y=(k2一2)x2一4kx十m的对称轴是直线 x=2,且它的最低点在直线y=一2x十2上. (1)求该抛物线的函数解析式. (2)若抛物线与x轴的交点为A,B,与y轴的交点为C,求△ABC的面积. 20,如下图，已知抛物线y=-子-名x十2与x轴交于A,B两点，与y轴交于 点C (1)求点A,B,C的坐标. (2)E是此抛物线上的点，F是抛物线的对称轴上的点，求以A,B,E,F为顶 点的平行四边形的面积. 4444444 167 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.已知二次函数y=a.x2+bx十c的图象过点A(-1,0),B(3,0),且与y轴交于 点C(0,-3). (1)求此二次函数的解析式及图象顶点D的坐标. (2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E,使△ACE为直角三角形？若存在， 求出点E的坐标：若不存在，请说明理由. 22.课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x十2ax十a一3的 最值问题展开探究： 【经典回顾】二次函数求最值的方法。 (1)老师给出a=一4，求二次函数y=x2+2a.x十a-3的最小值. ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值？写出此时的y值. 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y 的最小值.记录结果，并整理成下表： -4 -2 0 2 4 444 2 0 -2 -4 y的最小值 -9 -3 -5 -15 (￥为②的计算结果) 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x=一a,就能得到y的最 小值.” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小 值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值.” (2)请结合函数解析式y=x十2ax十a一3，判断甲同学的说法是否合理. (3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明 理由. 六、解答题（本大题共12分） 23.定义：抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)与x轴交于A,B两点（点A在点B的左 侧)，它的顶点为P,若A,B,P三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这 样的抛物线叫作“完美抛物线”. (1)理解：下列抛物线是“完美抛物线”的是 (填序号). ①y=x2-3.x②y=(x-1)(x+3)③y=-(x-1)2+9 (2)应用：若“完美抛物线”y=a.x2+bx十c的顶点坐标为(3,5)，且AB=4,求 该抛物线的解析式. (3)拓展：已知“完美抛物线”y=a.x2十bx十c的顶点P坐标为(n,n+2),且 AB=4,与y轴的交点为C.若该“完美抛物线”y=ax十bx十c与抛物线y= 2x2开口大小一样，求点C的纵坐标. 1141119 168(2)证明：由题意可知，“直系一元二次方程”的△= (J2c)2-4ab=2c2-4ab. c2=a2+b2,∴.△=2(a2+b)-4ab=2(a-b) ≥0， .关于x的“直系一元二次方程”必有实数根. (3).'x=一1是“直系一元二次方程”a.x2+十√2cx十b =0的一个根， .a·(-1)2+2c·(-1)+b=0,即a-√2c+b =0, .a+b=√2c, .∴.(a+b)2=(J2c)2,即a2+2ab+b2=2c2. a2+b2=c2,.c2+2ab=2c2, .∴.2ab=c2,.a2+b2=2ab, ∴.a2-2ab+b2=0,即(a-b)2=0, ∴.a-b=0,即a=b. 7Sm=32b=8a=6 解得a=√6（负值已舍去）. 23.解：(1)①28 ②(x-1）2x(x-1)2x(x-1)=28 (2)设有a人参加这次聚会. 由题意，得7a(a-1)=10, 解得a1=5,a2=-4(舍去). 故有5人参加这次聚会 1 1 (3)依题意，得y1=2n(n-1),y2=2×2n·(2n 1)=n(2n-1), y=n(2n-1)=4n-2 2 11 2n(n-1) n-1=4 n-1 :n为正整数，兰为整数， 六当号=1时m=3当，号-2时=2 2 综上所述，当n=2或1=3时，为整数. y 第二十六章学业质量自我评价 1.C2.C3.B 4.D【解析】，抛物线y=x2十m.x的对称轴为直线x= 2-贺=2解得m=-4y=十mr=-4 当x2-4x=5时，x2-4x-5=0,解得x1=5,x2= -1. 5.D【解析】，二次函数y=x2十m.x十m2一m经过点 (0,6),.m2一m=6,解得m1=3,m2=一2.，该抛物 线的对称轴在y轴的左侧一罗<0，m>0,∴m =3.故该二次函数的解析式为y=x2+3x十6=（x十 2)+5a=1>0该二次函数有最小值号 .15 6.C【解析】，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， .a<0,c>0. 抛物线与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0), 六抛物线的对称轴为直线工=一3，+1=一1，故@ 2 正确. -=一1， .∴.b=2a<0. ∴.abc>0,故①错误. 由函数图象可知，当一3<x<0时，抛物线的函数图象 在x轴上方， ,.当一3<x<0时，ax2十bx十c>0,故③正确. ,抛物线的对称轴为直线x=一1且开口向下， .当x>一1时，y随x的增大而减小，则当x>1时， y随x的增大而减小，故④错误. 抛物线的对称轴为直线x=一1且开口向下， ∴.当x=一1时，抛物线有最大值y=a一b十c, ∴.am2+bm+c≤a-b+c, ∴.am2十bm≤a一b,故⑤正确. 综上所述，正确的有②③⑤. 7.y=3x28.y=一x2十1（答案不唯一） 9.(5,0)10.2030 11.0.2或1.8【解析】把v=10m/s,g≈10m/s2代入h 1 =M-281,得h=-512+10.当h=1.8m时，1.8 =一5t2+10t,即5t2一10t+1.8=0,解得t1=0.2s, t2=1.8s. 12.-5或-4或-3【解析】：二次函数y=a.x2+bx+ 2(a≠0)的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0)， 开口向下， b a<0,2a <0,a十b+2=0 .b<0,且b=-a-2,a-b=a-(-a-2)=2a+2. 由b=-a-2<0,得-2<a<0, ∴.-2<2a+2<2. 又a一b为整数， .2a+2的值为-1或0或1， .2a的值为-3或-2或-1. b=-a-2,即a+b=-2, ∴.当2a=-3时，3a+b=a+b+2a=-2+(-3)= -5; 当2a=-2时，3a+b=a+b+2a=-2十(-2)= -4; 当2a=-1时，3a+b=a+b+2a=-2+(-1)= -3. m2+3m-2=2, 13.解：(1)根据题意，得 m十3≠0， 解得m1=一4，m2=1. 上册详解详析 59个 ,函数图象的开口向下，.m十3<0， ∴.m<-3,∴.m=-4, ∴.当m=一4时，该函数图象的开口向下， (2)把(0,2)和(1，-1)代入y=x2+b.x+c, 得2， b=-4, 解得 1+b+c=-1, c=2, ∴.抛物线的解析式是y=x2一4x+2. 14.解：(1)如图，直线PQ即为所求. (2)(3,2) 15解：1y=x+x-2=(x+)-2- =x- 》- 顶点D的坐标为(-日-)》 (2)令y=0,即.x2+x-2=0, 解得x1=一2，x2=1, .A(-2,0),B(1,0), .AB=3. 令x=0,则y=一2， .C(0,-2), .OC=2, Sam-7AB.00=7X3X2=3 16.解：(1)设点A的坐标为(m,2m). 将A(m,2m)代入y=2x2中，得2m2=2m,解得m =1,m2=0. :m≠0， ∴.m=1, .点A的坐标为(1,2). (2),点A的坐标为(1,2)， .点B的坐标为（一1,2），点D的坐标为(1,0). 设直线BD的解析式为y=kx十b. 将B(-1,2),D(1,0)代入y=kx+b,得 1-k十b=2 2k=-1, k+b=0, 解得6=1… ∴直线BD的解析式为y=一x十1. 令2x2=-x+1,解得x=-1或x= ,点P在第一象限， x=2' 1 y=- 2+1=2 60 九年级数学RJ版 ∴点P的坐标为（分，》。 17.解：(1)：抛物线y=x2十(m-2)x-2m的顶点在y 轴上， “对称轴为直线工=-m一2=0， 2 解得m=2. (2),抛物线y=x2+(m-2)x-2m经过原点(0， 0), .-2m=0, 解得m=0, .抛物线的解析式为y=x2一2x=(x一1)2-1， .顶点坐标为(1，一1) 18.解：(1)由题意可列方程组 54=2a-4b, a=30, 解得 96=4a-16b, b=1.5, .函数解析式为S=30t-1.5t. (2)由(1)知S=301-1.512. :a<0,∴当t=一 30 2×(-1.5) =10时，S最大， S=30×10-1.5×102=150. 因此，飞机着陆后滑行150m才能停下来 19.解：(1)，抛物线y=(k2一2)x2一4kx十m的对称轴 是直线x=2, -4k .一2(k2-2) =2, 解得k1=一1，k2=2. 经检验，k,=一1，k2=2是分式方程的解 又：图象有最低点，即开口向上， .k2-2>0,即k2>2, k=2, y=2x2-8.x+m. 把x=2代入直线y=-2.x+2得y=-2, 即抛物线的顶点坐标是(2，一2)， 代人函数y=2x2-8.x十m可得m=6, ∴.该抛物线的函数解析式为y=2x2一8.x十6. (2)当x=0时，y=6,即点C的坐标是(0,6). 当y=0时，2x2-8.x+6=0,解得x1=1,x2=3, 即点A,B的坐标分别是(1,0)，(3,0)， 则AB=3-1=2,OC=6, 1 .Sac=2AB·0C=2X2X6=6., 20解：1令y=0得-7-号+2=0… 整理，得x2+2x一8=0，解得x1=-4,x2=2, 点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为（一4,0）. 令x=0,得y=2, 点C的坐标为(0,2) (2)当AB为平行四边形的一边时， :AB=EF=6,抛物线的对称轴为直线x=2,4 2 -1, .点F的横坐标为一1， .点E的横坐标为一7或5， ∴点E的坐标为(-7、-)成(6，-留），此时点下 的坐标为(-1，-留). .以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积为6× 2781 4=2 当AB为平行四边形的对角线时， :AB的中点（一1,0）在对称轴直线x=一1上， 点E,F在对称轴直线x=一1上，且EF的中点也 为(-1,0)， 则点E的坐标为(-1，号)， 点F的坐标为(-1，-） 以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积为2×6 x号-号 综上所述，以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积 81.27 为2或2 21.解：(1)二次函数y=a.x2+bx十c的图象过点 A(-1,0),B(3,0), ∴.设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3). 把C(0,-3)代入解析式，得-3a=-3,解得a=1, .此二次函数的解析式为y=（x十1)(x一3)=x2 2x-3=(x-1)2-4, .点D的坐标为(1，一4) (2)存在. 由(1)，得抛物线的对称轴为直线x=1. 如图，设E(1,n).A(一1,0)，C(0,一3)， .AC2=(-1-0)2+(0+3)2=10, AE2=(1+1)2+n2=n2+4, CE2=(1-0)2+(n+3)2=n2+6n+10. 当∠EAC=90°时，n2+6n+10=n2十4+10，解得n =号(1： 当∠ACE=90°时，n2+4=10+n2+6n+10,解得n =E(1-）: 当∠AEC=90时，n2+4+n2+6n+10=10, 整理，得n2十3n十2=0，解得n1=-1,n2=一2， .E(1,-1)或E(1,-2). 综上所述，点E的坐标为(1，子)或(1，-8)或1， -1)或(1，-2) 22.解：(1)①当a=-4时，y=x2+2ax十a-3=x2-8.x -7 -8 ②当x=一2X1 4时，y取得最小值，最小值为16 -32-7=-23. (2)甲同学的说法合理.理由： 1>0,函数有最小值. 当x=一 2a X=一a时，y取得最小值. 故甲同学的说法合理。 (3)乙同学的猜想正确. 当x=-a时，y=x2+2a.x十a-3=-a”+a-3. -1<0, y有最大值 1,1 当a=2时，y取得最大值，最大值为-4十2-3= 23.解：(1)②③ (2),“完美抛物线”y=a.x2+bx十c的顶点坐标为 (3,5), y=a(x-3)2+5,对称轴为直线x=3. AB=4, ∴.A(3-2,0),即A(1,0), a(1-3)+5=0,解得a=-5 4 .y=- 4(x-3)2+5. (3),“完美抛物线”y=a.x2十bx十c与抛物线y= 2x2开口大小一样， .a=士2. ,“完美抛物线”y=a.x2十bx十c的顶点P坐标为 (n,n+2), ∴.抛物线的解析式为y=2(x一n)十n十2或y= 一2(x一n)2十n十2，对称轴为直线x=n. .AB=4,.A(n-2,0), ∴.当y=2(n-2-n)2+n十2=0时，解得n=-10: 当y=-2(n-2-n)2十n十2=0时，解得n=6. 故y=2(x+10)2-8或y=-2(x-6)2+8, ,∴.当x=0时，y=2×102-8=192或y=-2×62十8 =-64. 故点C的纵坐标为192或-64. 第二十七章学业质量自我评价 1.C2.D3.D4.B 5.A【解析】如图，连接正方形的对角线，分别过点A,B 作x轴的垂线，垂足分别为E,F. 上册详解详析 61