26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

26.2.3二次函数y=ax2+b.x+c的 图象和性质 1.B2.D3.D 4.2,0【解析】.y=x2一2x一3=(x一1)2一4，∴.该函 数图象的顶点坐标为(1，一4).由题意可知，将函数y =x2一2x一3的图象向左平移2个单位长度，再向上 平移3个单位长度，就能得到函数y=x2+bx十c的图 象，.函数y=x2+bx十c图象的顶点坐标为（一1， -1),∴.y=x2+bx+c=(x+1)2-1=x2+2.x,.b 2,c=0. 5.D变式题C6.D7.x=2 8.解：(1)图象过点(0,5)， :m一2≠0解得m=3 m+2=5, .二次函数的解析式为y=x2+6x十5. (2).y=x2+6x+5=(x+3)2-4, ∴.此二次函数图象的顶点坐标为（一3，一4），对称轴为 直线x=一3. 9.D10.y=(x-2)2-311.y=2x2+2x-4 1 12.y=(x-2)2-1或y=-2（x-2)2-1【解析】 二次函数图象的顶点是(2，一1)，.设这个二次函 数的解析式为y=a(x-2)2一1.二次函数的图象 与y轴的交点到原点的距离是3，∴.交点坐标为(0， 3)或(0，-3).把(0,3)代入y=a(x-2)2-1,得3= 4a一1，解得a=1,则这个二次函数的解析式为y= (x-2)2-1:把(0，-3)代入y=a(x-2)2-1,得-3 =4如-1，解得a=-?则这个二次函数的解析式为 1 y=-2(x-2)2-1. 综上所述，二次函数的解析式为y=(x一2)2一1或y =2Cx=2)-1 解题方法专练求二次函数的解析式的方法 1.y=2x2-3x+5 2.y=-x2+4x+5 3.解：(1)二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(1, -2),B(0,-5), 1+b+c=-2, c=-5, 解得6=2， c=-5, .二次函数的解析式为y=x2+2x一5. y=x2+2x-5=(x十1)2-6， ∴.二次函数图象的顶点坐标为（一1，一6）. (2)将x=-4代入y=x2+2x-5,得y=16-8-5 =3. 4.C 5.y=3(x-2)2-3或y=-3(x-2)2+3【解标】 46 九年级数学RJ版 ,对称轴是直线x=2,与x轴的两个交点距离为6， .抛物线与x轴的两个交点的坐标为（一1,0），(5,0). 设顶点坐标为(2，y).以抛物线顶点，抛物线与x轴 的两交点为顶点的三角形面积等于9，∴号×6·y =9,∴.y=3或y=-3,∴.顶点坐标为(2,3)或(2， 一3).设函数的解析式为y=a(x一2)2+3或y=a(x -2)2-3.把点(5,0)代入y=a(x-2)2+3,得a= 1 3把点(5,0)代入y=a(x-2)-3,得a=3 满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为y=3 1 （x-2)-3或y=-3x-2)+3. 6.解：(1)设二次函数的解析式为y=a(.x一h)2十k. 顶点坐标为（一1，一2）， ∴.二次函数的解析式为y=a(x+1)2一2. 将点(1,2)代入y=a(x+1)2-2,得2=a(1+1)2-2, 解得a=1, .二次函数的解析式为y=(x十1)2一2=x2十2x一1. (2)当x=3时，y=32+2×3-1=14, ∴.点(3,14)在此函数图象上. 7.D【解析】由图象可知，这个二次函数的图象与x轴 的一个交点坐标为（一3,0），对称轴为直线x=一1， ,.函数图象与x轴的另一个交点坐标为(1,0). 设这个二次函数的解析式为y=a(x+3)(x一1)(a≠ 0).将(0,3)代入y=a(x+3)(x-1),得3=a(0+ 3)(0一1)，解得a=一1.故这个二次函数的解析式为y =-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3. 8.y=2x2-12x+10 9.解：(1)抛物线的解析式为y=(x一1)(x+3)=x2+ 2x-3. (2)令x=0,则y=-3,∴.C(0,一3). :S△ABP=S△ABC, .点P的纵坐标为3或一3. 令x2+2x-3=3,得x1=-1+√7，x2=-1-√7； 令x2十2x-3=-3,得x3=0(舍去)，x4=-2. 综上所述，点P的坐标为(-2，一3)或(-1+√7,3)或 (-1-√7,3). 10.A11.2或4 12.解：(1)y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1, .抛物线的顶点坐标为(1，一1). 点(1，一1)关于x轴对称的对应点的坐标为(1,1)， ∴.原抛物线关于x轴对称的抛物线对应的函数解析 式为y=-2(x-1)2+1. (2)'点(1，一1)关于y轴对称的对应点的坐标为 (-1,-1), ∴.原抛物线关于y轴对称的抛物线对应的函数解析 式为y=2(x+1)2-1.26.2.3二次函数y=ax2+bx十c的图象和性质 已知识要点扫描 已经典例题剖析 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象 【例】(2025一2026高安检测)已知(-1， 和性质 y1),(一2，y2),(-4,y3)是抛物线y=-2x2 函数 y=a.x2+bx十c(a,b,c是常数，a≠0) 8x十m上的点，则y1,y2,y3的大小关系为 a的值 a>0 a<0 (用“<”连接)。 【点拨】，y=-2x2-8.x十m=-2(x十 图象 2)2+m+8, '.抛物线的对称轴为直线x=一2. .a=-2<0, 开口 向上 向下 ∴.抛物线开口向下， 方向 ,当x<一2时，y随x的增大而增大，当 b 对称轴 直线x= 2a x=一2时，函数有最大值， 顶点 b 4ac-b2 .(一1，y1)关于直线x=一2的对称点为 坐标 (-2a4a (-3,y1),-4<-3<- 2,∴y3<y1<y2 2a时，y随 【解】y3<y1<y2 当x< 当x< 2a时y随x 已基础对点训练 -0 x的增大而减小： 的增大而增大； 增减性 知识点① 用配方法将y=ax2十bx十c化为 6 b 当x> 时，y随 2a 当x> 时，y随x 2a 顶点式 x的增大而增大 的增大而减小 1.(2025一2026高安检测)将二次函数y= 当x= 2a时，y有当x= 2a时y有最 -x2-2x十3配方成y=a(x-h)2十k的 最值 形式，下列选项正确的是 () 最小值， y最小值 值， y最大值 情况 A.y=-(x-1)2+3B.y=-(x+1)+4 4ac-b2 4ac-b2 Aa 4a C.y=(x-1)2+3 D.y=-(x-1)2+4 2.抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)的顶点 2.二次函数y=(x一2)(x一4)十6图象的顶 坐标和对称轴的求法 点坐标是 A.(2,6) B.(4,6) (1)配方法：y=ax2+bx+c=a(x+ b 2a C.(3,-5) D.(3,5) +4ac-b2 即得到二次函数的顶点式. 知识点② 抛物线的平移 4a 3.将抛物线y=ax2十b.x十c(a≠0)向下平移2 (2)公式法：对称轴是直线x=一 ,顶点 6 个单位长度，以下说法错误的是 A.开口方向不变 坐标是（一2a,一4a b 4ac-b B.对称轴不变 (3)图象法：画出抛物线，根据图象确定对 C.y随x的变化情况不变 称轴及顶点坐标. D.与y轴的交点不变 上册第二十六章 27△ 4.将函数y=x2十bx+c的图象向右平移2个 (2)求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴. 单位长度，再向下平移3个单位长度，所得 图象的函数解析式为y=x2一2x一3，则b,c 的值分别为 知识点③ 二次函数y=ax2+bx+c的图象 和性质 5.二次函数y=a.x2十bx的图象如图所示，则 一次函数y=x十b的图象一定不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 第5题图 知识点④ 用待定系数法求二次函数的解 变式题根据图象判断字母系数→根据字 析式 母系数判断二次函数的图象 9.已知二次函数的图象经过点（一1，一5），(0， 已知二次函数y=a.x2+bx一c(a≠0)，其 一4)和(1,1)，则该二次函数的解析式为 中b>0,c>0,则该函数的图象可能为 () A.y=-6x2+3x+4 B.y=-2x2+3x-4 C.y=x2+2x-4 D.y=2x2+3x-4 10.已知二次函数的图象的顶点坐标为(2， 3),且经过点(1，一2)，则其解析式为 6.若A(-6,y1),B(-3,y2),C(1,y3)为二次 函数y=x2十4x十m的图象上的三点，则 11.已知抛物线与x轴交于点A(一2,0)，B(1, y1y2y3的大小关系是 0),且经过点C(2,8),则该抛物线的解析 A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 式为 C.y3<y1<y2 D.y2<y3<y1 易错点忽略与y轴交点的两种情况 7.(2025一2026上饶鄱阳检测)二次函数y= 12.分类讨论思想已知二次函数图象的顶 x22正十1图象的对称轴是直线 点是(2，一1)，且与y轴的交点到原点 的离为3，则这个二次函数的解析式 8.(2025一2026南昌东湖区检测)二次函数 为 y=(m-2)x2+(m十3)x+m十2的图象过 点(0,5). (1)求m的值，并写出二次函数的解析式. 28 九年级数学RJ版