25.3 第2课时 传播与平均变化率问题-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

第2课时 传播 知识要点扫描 1.传播问题 传播问题在现实生活中很常见，如：细胞 分裂、信息传播、储蓄收益等.此类问题中存在 的相等关系是传染源数量十第一轮被传染的 数量+第二轮被传染的数量=第二轮被传染 后的总数， 2.平均变化率问题 变化率问题是列一元二次方程解应用题中 的常见类型之一，包括增长率和降低率两类问 题.增长（或降低）后的数量是在上一次数量的 基础上增长（或降低）的.若设每次的平均增长 (或降低)率为x,增长（或降低）前的数量为a, 则第一次增长（或降低）后的数量为a(1士x),第 二次增长（或降低）后的数量为a(1士x)(1士 x),即a(1土x)2」 经典例题剖析 【例1】某生物实验室需要培育一种有益 菌.现有60个活体样本，经过两轮培育后，有 益菌的总数为24000个，每轮培育后每个有益 菌可分裂出若干个相同数目的有益菌， (1)每轮培育后每个有益菌可分裂出 个有益菌. (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培育 后有 个有益菌. 【点拨】(1)设每轮培育后每个有益菌可分 裂出x个有益菌.根据题意得60(1十x)2= 24000,解得x1=19,x2=一21（不合题意，舍 去).(2)经过三轮培育后，有益菌的个数为 24000×(1+19)=24000×20=480000. 【解】(1)19(2)480000 【例2】某超市购进甲、乙两种商品，2022 年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随 着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平 与平均变化率问题 均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为 80元. (1)求乙种商品每件进价的年平均下 降率 (2)2024年该超市用不超过7800元的资 金一次购进甲、乙两种商品共100件，最少购 进多少件甲种商品？ 【点拨】(1)设年平均下降率为x,根据变化 前的量X(1一x)2=变化后的量，列出方程求 解即可.(2)设购进甲种商品为y件，根据资金 不超过7800元，列出不等式求解即可. 【解】(1)设乙种商品每件进价的年平均下 降率为x. 根据题意得，125(1-x)2=80, 解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不符合题 意，舍去) 答：乙种商品每件进价的年平均下降率 为20%. (2)设购进y件甲种商品，则购进(100一 y)件乙种商品. 根据题意得，(125-25×2)y+80(100一 y)≤7800，解得y≥40， ∴.y的最小值为40 答：最少购进40件甲种商品. 已基础对点训练 知识点①传播问题 1.为提高“村BA”比赛的热度，主办方发起了 转发海报得门票的活动.小王将此消息链接 转发给x个好友，每个好友收到链接之后， 又转发给x个互不相同的人，经过这两轮转 发，这条链接共被转发110次，则可列方程 为 A.x+x=110 B.(1+x)2=110 C.x(1+x)2=110 D.x+x2=110 13 上册第二十五章 2.（2025一2026上饶广信区期中)有一个人患 了流感，经过两轮传染后共有225人患了流 感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设 每轮传染中平均一个人传染x个人，则可列 方程是 3.某树主干长出x根枝干，每根枝干又长出x 根小分支.若主干、枝干和小分支总数共133 根，则主干长出枝干的根数x为多少？ 4.情境应用为宣传“垃圾分类”，某同学写了 一份倡议书在某社交平台传播，规则：将倡 议书发表在自己的社交平台，再邀请n个好 友转发倡议书；每个好友转发倡议书之后， 又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以 此类推.已知经过两轮传播后，共有421人 参与了传播活动，求n的值. 知识点②平均变化率问题 5.(教材变式)近年来，某县大力发展柑橘产业， 某柑橘生产企业在两年内的销售额从20万 元增加到80万元.设这两年的销售额的年平 均增长率为x,根据题意，可列方程为() A.20(1+2x)=80B.20(1+x)2=100 C.20(1+x2)=80D.20(1+x)2=80 14 九年级数学RJ版 6.在“双减”政策的推动下，某校学生课后作业 时长有了明显的减少.去年上半年平均每周 作业时长为mmin,经过去年下半年和今年 上半年两次调整后，现在平均每周作业时长 比去年上半年减少了64%.设每半年平均每 周作业时长的下降率为x,则可列方程为 () A.m(1-x)2=64%m B.m(1+x)2=64%m C.m(1-x)2=36%m D.m(1+x)2=36%m 7.(2025一2026南昌期中)俗话说：“一天不练 手脚慢，两天不练丢一半.”学习过的东西不 及时复习就会被遗忘.假设平均每天遗忘的 百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”， 平均每天遗忘的百分比约为 (参考数据：√2≈1.4). 8.李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始 盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达 到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平 均增长率都相同. (1)求每月盈利的平均增长率. (2)按照这个平均增长率，试估计5月份这 家商店的盈利将达到多少元∴.(x-k)2-1=0, .(x-k-1)(x-k+1)=0, x1=k+1,x2=k-1. 当k+1=5时，k=4; 当k一1=5时，k=6. 综上所述，k的值为4或6. (2)证明：△=（一2k)2-4(k2一1）=4>0， ∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根. 12.解：(1)一二 (2)正确的解法：3x(x一6)=(x一6)2， 移项，得3x(x一6)-(x一6)2=0， 提取公因式，得(x一6)(3x一x+6)=0, 则x-6=0或3.x-x十6=0， 解得x1=6,x2=一3. 25.2.4一元二次方程的根 与系数的关系 1.A2.C3.5变式题5 4.解：(1)方程4.x一x2=2化简成一般形式得x2-4x+2 =0. x1,x2是方程4x一x2=2的两根， .根据一元二次方程的根与系数的关系，得x1十x2= 一4 2 -1=4x1x:=1=2. (2)'x1十x2=4,x1x2=2, 4+=+x=x十)-2x4=4-2X2 2 =6. 5.B【解析】，关于x的方程2x2+x-2m+1=0有一 正实数根和一负实数根， x1,=-2m+1<0,且4=1-4X2(-2m+1D> 2 1 0,解得m>2· 6.A【解析】由题意，得m十n=一(2b十3)，mn=b2. :1+1=-1m+=-1,-(26+3》=-1, m n’· mn 即b2-2b-3=0,解得b1=3,b2=-1.当b=3时，原 方程为x2十9x十9=0，此时△>0，方程有两个实数 根，符合题意；当b=一1时，原方程为x2十x十1=0， 此时△<0，方程没有实数根，不符合题意，舍去.综上 所述，b的值是3. 7.-1【解析】由题意，得a十B=一2(m-1),a3=m -m. a2+B2=(a+B)2-2a3=12, ∴.[-2(m-1)]2-2(m2-m)=12, 解得m1=一1，m2=4. 当m=-1时，△=(-4)2-8=8>0，符合题意； 当m=4时，△=62-4×12=-12<0，不符合题意. 综上所述，m的值为一1. 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 1.C2.C3.D变式题2 4.D【解析】如图，将边长为6和x的 两个正方形分别补成长为9、宽为6 和长为9、宽为x的矩形. 16 “·线段AB将原图形分成面积相等的两部分， 六2(6+9+x)·9-x(9-x)=2(6+9+x)·9-6 X(9一6)，解得x1=3,x2=6. 5./41 6.6【解析】设其中一个正方形的边长为xcm. 由题意，得r+(5)=10。 解得x1=6,x2=8. 故较小的一个正方形的边长为6cm. 7.6【解析】设小矩形的长为x,则小矩形的宽为8一x. 根据题意，得x[x一(8一x)]=24, 解得x1=6,x2=一2（不合题意，舍去）， .小矩形的长为6. 8.解：设原正方形空地的边长为xm 根据题意，得x2一4x-5.x十4×5=240. 整理，得x2-9x-220=0, 解得x1=一11（不合题意，舍去），x2=20. 故原正方形空地的边长为20m. 9.解：设小路的宽度为xm. 根据题意可知，每个地块的长为20,4虹， 3一m,宽为 二m,面积为24m,则可列方程为204虹× 14-4.x 3 3 14-4x=24, 3 化简，得(20-4x)(14一4x)=216, 展开并整理，得2x2-17x十8=0， 1 解得工1=2x,=8. 经检验，江二。符合实际意义 故小路的宽度为2m. 第2课时传播与平均变化率问题 1.D2.1+x+x(1+x)=225 3.解：依题意，得1十x十x2=133, 整理，得x2十x一132=0， 解得x1=11,x2=-12(不合题意，舍去). 4.解：由题意得n+n2+1=421,解得n1=-21(舍去)， n2=20. 故n的值是20. 5.D6.C7.30% 上册详解详析 3 8.解：(1)设该商店每月盈利的平均增长率为x,根据题 意，得2400(1十x)2=3456, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去) 故该商店每月盈利的平均增长率为20%. (2)由(1)知，该商店每月盈利的平均增长率为20%， 则5月份盈利为3456×(1+20%)=4147.2（元）. 故估计5月份这家商店的盈利将达到4147.2元。 第3课时循环与数字问题 1.C2.C3.B变式题84.10 5.解：(1)，·每家公司与其他(x一1)家公司都签订1份合 同，而甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司 签订的合同是同一份合同，∴.所有公司共签订了y= 2》份合同。 y与x之间的关系式为y=2x(x一1). (2)当y=55时，2x(x-1)=55,解得x1=11,x= -10(不合题意，舍去)，∴x=11. 故参加此次展销会的公司共有11家 6.D7.B8.C 9.D【解析】设原两位数个位上的数字为m,则十位上 的数字为(m十4)，即原两位数为10(m+4)十m=11m 十+40，新两位数为10m+m十4=11m+4.根据题意， 得(11m+40)(11m+4)=1612,解得m1=2,m2=-6 (不合题意，舍去).故原两位数为11m+40=22+40 =62. 10.143【解析】设最小数为x,则6个数依次是x,x+ 7,x+13,x十14，x+15,x+16,则这6个数的和为 6x+65. 依题意，得x(x+16)=377,解得x1=13,x2=一29 (不符合题意，舍去). 6x+65=6×13+65=143.故这6个数的和为143. 11.解：设个位上的数字为x,则十位上的数字为x一3. 根据题意，得x2十(x一3)2=10(x一3)十x+18, 解得x1=7,x2=1.5(不合题意，舍去)， ,.10(x-3)+x=47. 故这个两位数为47. 12.解：设这个数的个位上的数字为x,则十位上的数字 为x十8. 根据题意，得(x+x+8)2一[10(x+8)+x]=9, 解得x=1,=一5（不符合题意，含去这个数 的个位上的数字为1，十位上的数字为1+8=9， ,.“青春队”的总得分是91分 章末对点导练 1.D2.B 3.x1=2,x2=-34.C 5.D【解析】，直线y=x十a不经过第二象限，∴a≤0. 4 九年级数学RJ版 当a=0时，方程a.x2-3.x十1=0是一元一次方程，有 一个实数根；当a<0时，△=（一3）2一4a=9-4a>0, 则关于x的一元二次方程a.x2-3.x十1=0有两个不 相等的实数根.综上所述，方程ax2一3x十1=0的实数 根的个数为1或2. 变式题有两个不相等的实数根【解析】，·直线y= k.x十a(k≠0)不经过第二象限，ax2一3x十k=0是关 于x的一元二次方程，.k>0,a<0,.△=（一3）2 4a·k=9-4ak>0,则关于x的一元二次方程a.x2一 3x+k=0有两个不相等的实数根. 6.D【解析】由1☆x=2,得x2-x=2. 整理，得x2-x一2=0. .△=（一1）2一4×1×（一2）=9>0，.该方程有两个 不相等的实数根」 7.解：(1)根据题意，得m≠0，且△=[-(2m一3)]一 9 4m(m-1)≥0，解得m≤8且m≠0. (2),m为正整数，.m=1,.原方程变形为x2十x 0,解得x1=0,x2=-1. 8.C9.2 10.解：(1)，关于x的方程x2一2(m十1)x十m2十2=0 总有两个实数根， ,.△=[-2(m+1)]2-4(m2+2)=8m-4≥0， 解得m≥2· (2),x1,x2为方程x2-2(m十1)x十m2+2=0的两 个根， ∴.x1十x2=2(m十1)，x1x2=m2+2. (x1+1)(x2+1)=8, x1x2+(x1十x2)十1=8， .m2+2+2(m+1)+1=8. 整理，得m2十2m一3=0，即(m十3)(m一1)=0， 解得m1=一3（不合题意，舍去），m2=1, .m的值为1. 11.(1)6(2)6+42 【解析】(1)根据题意，得起始矩形的面积为abm,得 到的矩形面积为(a十1)(b-1)m2. ,a=5,得到的矩形面积不变， .(5十1)(b-1)=5b,解得b=6. (2)根据题意，得起始矩形的面积为abm2,得到的矩 形面积为(a十1)(b十2)m, “25=(a+106+2),6=§. 2s=(a+1)(ξ+2） 2S-5+2 …a+1a ∴.2a2+(2-S)a+S=0. 有且只有一个a的值， ∴.△=(2-S)2-8S=0, .S2-12S+4=0, 解得S1=6十4√J2,S2=6一4√2（不合题意，舍去）.