25.2.3 因式分解法（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，从基础解法到综合应用再到思维拓展，培养运算能力与推理意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|因式分解法、换元法及方法选择|基础计算题型，如直接解方程，强化运算能力| |B组能力进阶|综合应用与简单探究|含几何规律、换元法应用，培养模型意识| |C组思维拔高|创新探究与证明|定义新运算、方程根的性质证明，发展推理意识| |拓展链接中考|中考真题演练|日历问题等实际情境题，提升应用意识|

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 25.2.3因式分解法 目录 A组巩固过关 题型01因式分解法解一元二次方程 题型02换元法解一元二次方程 题型03选择造当方法解一元二次方程 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 颗型01 因式分解法解一元二次方程 1.=-35=-4 2.=06=2 3.【详解】解：x2-4x-12=0, (x-6)0x+2)=0 ∴.x-6=0或x+2=0, 1115 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1=6x2=-2 解得 4.【详解】(1)解：x2-2x=5 x2-2x+1=5+1 (x-1)=6 x-1=6或-l=-6 解得5=1+v6.名=1-V6 (2)解：2x2-x=2-4x 2x2+3x-2=0 (x+2)(2x-1)=0 x+2=0或2x-1=0 1 解得=2，x=-2. 5.【详解】(1)解：x2+4x-5=0, 移项，得x2+4x=5, 配方，得x2+4x+4=5+4, 即x+2}=9 得x+2=3或X+2=-3, 解得5=书=5 (2)解：x-4=(6-2x). 移项，得x-4-(5-2x=0 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因式分解，得x-4-5+2x)(x-4+5-2)=0 即(3x-9(-x+1)=0 .3x-9=0或-x+1=0 “解得=35=1 颗型02 换元法解一元二次方程 6.D 7.C 8.A. 9.=-15=5 10.6或-2 题型03 选择适当方法解一元二次方程 11.【详解】解：x2-8x=-15 x2-8x+15=0 (x-3)(x-5)=0 x-3=0或x-5=0 x=3x2=5 解 12.【详解】(1)2x2-3x=0 解： x(2x-3)=0 所以x=0,或2x-3=0 3 所以x=0,名2： 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)x2-4x+3=0 解：a=1,b=-4,c=3 b2-4ac=(-4)2-4×1×3=4>0 所以=b主V6-4ac4主4-4±2 2a 22 所以=35=1 13.【详解】(1)解：x2-6x-4=0, a=1,b=-6,c=-4, ∴.△=b2-4ac=(-6)}2-4×1×(-4)=52>0 x=-(-6)士v52-3t5 2 x=3+x,=3-3 (2)解： 3x(x-2)=-2(x-2) 3x(x-2)+2(x-2)=0 (3x+2)(x-2)=0 .3x+2=0或x-2=0, 2 :=5,5=2 14.【详解】(1)解：x2-4x+1=0, x2-4x=-1 x2-4x+4=-1+4, (x-2)2=3 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-2=±V5 解得：=2+55=2-5 (2)解：9(x-3=4x-2} 9(x-3}-4(x-2)}=0 [3(x-3)+2(x-2)][3(x-3)-2(x-2)]=0 (5x-13)(x-5)=0 则5x-13=0或x-5=0, 13 解得：x=5,=5. 15.【详解】(1)解： 3x(x-1)=1-x 3x(x-1)-1+x=0 3x(x-1)+(x-1)=0 (x-1)3x+1)=0 x-1=0或3x+1=0 1 解得x=1,名=3 (2)解：x2-2x-5=0, x2-2x=5 x2-2x+1=5+1 (x-12=6 x-1=±V6 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得=1+6，x=1-V6 B组 能力进阶 16.3x=-4y或x=2y 17.【详解】(1)证明：略： (2解：r-(m+6)x+5m+5=0 x2-(m+1+5)x+5(m+1)=0 (x-5)x-(m+1)]=0 则x-5=0成-(m+1)=0 或 解得：=5占=m+1 方程有一个根小于3， .m+1<3, .m<2. 18. 【详解】(1)解：：a-b-5=0, :ax(-1°+bx(-1)-5=0 方程ar2+bx-5=0必有一根为x=-1; (2)解：a-1≥0，b-420.a-1+b-4=0 ∴a-1=0，b-4=0, a=1,b=4. 2+4x-5=0 一元二次方程为 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-5x2=1 解得 19 【详解】(1)解：由题知，第①个图案中“●”的个数为：4=1×2+2； 第②个图案中“●”的个数为：6=2×2+2； 第③个图案中“●”的个数为：8=3×2+2： 所以第n个图案中“●”的个数 2n+2)个 当n=6时，2n+2=14, 即第⑥个图案中“●”的个数为14个， 1×2 (2)第①个图案中“O”的个数可表示为2， 2×3 第②个图案中“O”的个数可表示为2， 3×4 第③个图案中“0”的个数可表示为2， 4×5 第④个图案中“O”的个数可表示为2， n(n+1) “第个图案中“O”的个数可表示为2， n(n+1) 故答案为： 2； nn+=2.5(2n+2) (3)由题意得， 2 :.n(n+)=10(n+1) 解得：n=10或n=-l(舍去) 20. x2-2x)2-5(x2-2x)-6=0 【详解】(1)解：原方程整理得 7115 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设少=x2-2x y2-5y-6=0 则原方程可化为 因式分解得0-60y+1)=0 解得片=651 当少6 6时，-2x=6,配方，相《-1=7 解得5=1+万.5=1-万 当=一时，-2x=,配方，符-=0 解得5七1 “原方程的解为5=1+万.。=1-万.5==1 (2)解：设最小数为x, 由题意得*(x+1(x+2)(x+3)=120 即x+3x0r+3r+2）=120 设x2+3x=y, 则0+2)=120，即广+2y-120=0, 因式分解得0+120-10)=0 ∴.月=-122=10 :×为正整数，六+3x=10,即+3x-10=0 因式分解得x-2(x+5)=0 解得=2.-5 舍去 8/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2,3,4,5 “这四个整数为 C组 思维拔高 21.D 4 22.5或3 2 23.【详解】(1)证明：△=m--4×1x(m-2) =m2-2m+1-4m+8 =m2-6m+9 =(m-3)2≥0 ∴.方程总有两个实数根 (2)解：r+0m-x+m-2=0 x+16x+m-2)=0 .x=-1或x=2-m ,方程仅有一个根是负数，且x=-1<0总是成立 分两种情况讨论：0当两根不相等时。一个根为负数1，则另一个根5=2 ”为非负数，即2-m≥0.解得 m≤2： ②当两根相等时，均为-1，则2-m=-1,解得m=3; 此时方程只有一个负根，符合题意： 综上所述，m的取值范围是m≤2或m=3 24,【详解1解：设=+6，则原方程（仗+6++6x+7列小=7可化为0+0+7)=7。 展开得少+8+77 即+8=0 因式分解得0+8)=0 解得片=0与=-8 9115 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当=0 y=0时，r+6x=0,即x+6)=0, =0x2=-6 ,解得 y=-8时，x2+6x=-8,即xr+6x+8=0,判别式△=6-4×1x8=4>0,解得x=)y4=-6± 2,即 x3=-2x4=4 经检验，所有解均满足原方程. 故答案为：X=0,x=-6,x=-2,x=-4 25.【详解】(1)解：-4r+3=r-4x+4-4+3=(x-2}-1 (x-2)2≥0 (x-2)2-1≥-1 x2-4x+ 的最小值是1 (2)解：x2-4ax+2a2+a-6 =x2-4ax+4a2-2a2+a-6 =(x-2a)-2a2+a-6 (x-2a)2≥0 ∴.(x-2a)}2-2a2+a-6≥-2a2+a-6 小关于的二次多项式 2-4ax+2a2+a-6 -2a2+a-6 的最小值为 “天千产的次多质其-+26（为能数有级分为 .-2a2+a-6=-9 2a-a-3=0,即a+1(2a-3)=0, 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得a=-1,a=2 3 :常数a的值为-1或2； 7 (3)解：-+2x+y-3=0, "y=x_7 +3 -2=-2r+9 =x-2x2+7x-6 =-2x2+8x-6 =-2(x-2)2+2 (x-2)≥0 .-2(x-2)≤0 .-2(x-2)2+2≤2 当=2时， x-2y 有最大值，最大值为2. 26. 【详解】(1解：①解方程+=6得=2，七=-3 x-x2=2-(-3)=5 2+x=6 方程 不是“邻根方程”； ②解方程+3x+2=0得=-1：=-2 得 x-3=-1-(-2)=1 x2+3x+2=0 方程 是“邻根方程”； 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 ®解方程x490得77吊 (》 :方程2、 49=0不是“邻根方程”： ④解方程-5x=-6得=3，名=2 x-x2=3-2=1 2-5x=-6 方程 是“邻根方程”. 故答案为：②④. (2)解：“方程+2x-k+1=0是“邻根方程”，无、无是方程的两根， .x+x2=-2xx2=-k+1x-x2=1 (x-x2)2=(x+x2)2-4x3 .12=(-2)2-4(-k+1) 解得： （3)解：方程x+m+4=b是“邻根方程 r+m+b=0a,m,b均为常数， a≠0) 由题意可知，方程 有两个实数根， b x=-m±厂 +m+h=0a,m,b均为常数，a≠0是关于*的“邻根方程”， 12/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Va-2. :a(x+m+4)2=-b x+m+4=主-0 (m-4+8-m-42-2 六方程(x+m+4-b “邻根方程” b 则=-m-4±√6 =-m-4 a 2 :方程a(c+m+4=-b的根为x=m 2或术m-9 2· 27.【答案】(1)1 2)BD-(a+b-c) ③)证明：设-元二次方程a-b)r+(c-a)r+(b-c)=0的两根为、5， :[【a-bx-6-cx-l)-=0」 a-b,x32=1, :关于的-元=次方程a-b)r+(c-a)x+(b-c)=0 两个相等的实数根， b-c=1 x=x2,即a-b 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..a-b=b-c, .a+c=2b,即c=2b-a, 2a+b=2c, .2a+b=2(2b-a),b=2c-2a, 即2b=4c-4a, .2b=a+c=4c-4a, .4a=3b,5a=3c, 即a:b=3:4,a:c=3:5, .a:b:c=3:4:5, 设a=3k,则b=4k,c=5k, d+6=25=c,m46C 为直角三角形. 【详解】(1)解：：a+c=2b, ∴.a-b=b-c, b-c=1 a-b (2)解：：△ABD与△ACD的周长相等， ∴AB+BD+AD=AD+CD+AC, ∴c+BD=b+CD, ,D为BC边上一点， ∴.CD=BC-BD=a-BD. ..c+BD=b+a-BD, D-+h- (3)解：略 拓展 链接中考 28.2 29.【详解】解： x(x-1)=8x-8 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x(x-1)-8(x-1)=0 (x-8)(x-1)=0 x-8=0或x-1=0, .x=8x3=1 30. 【答案】(1)①n-8: ②B.C-AD为定值28，理由如下： 由题意可得：B=n-6,C=n+6,D=n+8, ,B.C-AD=(n-6)(n+6)-(n-8)(n+8)=n2-36-n2+64=28 (2)19 【分析】(1)①根据中心数的特点可得A=n-8；②根据中心数的特点分别表示B=n-6,C=n+6, D=n+8,再进一步求解即可： (2)先解方程x2-13x+22=0,再结合中心数的特点可得答案. 【详解】(1)解：①由题意可得：A=n-8； ②略 (2)解：x2-13x+22=0, :6x-2x-1)=0 ∴.x-2=0或x-11=0, 解得： x=2x2=11 。 ,x为九宫格的中心数， x=2不符合题意， .中心数为11， 九宫格中最大的数为11+8=19 15/15 分层作业 25.2.3因式分解法 目 录 A组 巩固过关 题型01因式分解法解一元二次方程 题型02换元法解一元二次方程 题型03选择适当方法解一元二次方程 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 因式分解法解一元二次方程题型01 1．方程的根是__________． 2．（北京市昌平区2025－2026学年第二学期初二年级期末质量抽测数学（第一组））一元二次方程的解为_________． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）用适当的方法解方程：． 4．（25-26八年级下·安徽池州·期末）解方程： (1)． (2) 5．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）解下列方程： (1) (2) 换元法解一元二次方程题型02 6．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 8．（24-25八年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 10．（24-25九年级上·河南商丘·期中）已知，那么式子的值为：____________． 选择适当方法解一元二次方程题型03 11．（2026·安徽·模拟预测）解方程：． 12．（25-26八年级下·浙江温州·期中）选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 13．（24-25九年级上·江苏南京·期中）解方程： (1) (2)． 14．（25-26八年级下·浙江·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 15．用适当的方法解下列方程． (1) (2) 16．给定实数，满足，若，则之间的关系是_____． 17．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 18．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若，则方程必有一个根为________． (2)若a，b满足，求一元二次方程的根． 19．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）【观察思考】如图，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 【规律发现】 (1)第⑥个图案中“●”的个数为________个； (2)第①个图案中“○”的个数可表示为，第②个图案中“○”的个数可表示为，第③个图案中“○”的个数可表示为，第④个图案中“○”的个数可表示为，…，第n个图案中“○”的个数可表示为________； 【规律应用】 (3)按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的倍，求的值． 20．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 21．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（   ）． A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）我们称一元二次方程的两个根差的绝对值为两个根的距离，若关于x的方程的两根距离为3，则=_______ 23．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程仅有一个根是负数，求的取值范围． 24．（25-26八年级上·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为_____． 25．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 26．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另个根大1，则称这样的方程为“邻根方程” (1)下列方程是“邻根方程”的是_________（填序号） ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求：请求出k的值． (3)若（，，均为常数，）是关于的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 27．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）已知不等边的三条边分别为，，． (1)若，求的值； (2)已知为边上一点，连接，若与的周长相等，求的长； (3)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求证：为直角三角形． 28．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 29．（2026·江苏连云港·中考真题）解方程． 30．（2026·山东德州·中考真题）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)如图，若九宫格的中心数为，四个角的数字分别是、、、． ①用含的式子表示； ②探究是否为定值，请证明： (2)若框选出的九宫格的中心数是方程的根，求九宫格中最大的数． 试卷第2页，共14页 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 25.2.3因式分解法 目 录 A组 巩固过关 题型01因式分解法解一元二次方程 题型02换元法解一元二次方程 题型03选择适当方法解一元二次方程 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 因式分解法解一元二次方程题型01 1．方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解∶∵， ∴或， 解得，． 2．（北京市昌平区2025－2026学年第二学期初二年级期末质量抽测数学（第一组））一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）用适当的方法解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ∴ ， ∴或， 解得，． 4．（25-26八年级下·安徽池州·期末）解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： 或 解得，． 5．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 即， 得或， 解得； （2）解：  ， 移项，得， 因式分解，得， 即， ∴或 ∴解得． 换元法解一元二次方程题型02 6．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，通过一元二次方程，变形为，再根据题意可得一元二次方程有一个根为，然后求解即可，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴一元二次方程有一个根为，解得， 故选：． 7．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 8．（24-25八年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程． 由题意可得，再去分母可得，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为： ， ， ， 故选：A． 9．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值． 【详解】解：关于的方程的解是，，，均为常数，， 方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 10．（24-25九年级上·河南商丘·期中）已知，那么式子的值为：____________． 【答案】或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握用换元法解一元二次方程是解题的关键． 设，得到，解方程得或，即可得到答案． 【详解】解：设， 则原方程可化为， ， 或， 或， 或 故答案为：或 ． 选择适当方法解一元二次方程题型03 11．（2026·安徽·模拟预测）解方程：． 【答案】 ， 【详解】解： 或 解得，． 12．（25-26八年级下·浙江温州·期中）选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1） 解： 所以，或 所以，； （2） 解： 所以 所以，． 13．（24-25九年级上·江苏南京·期中）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，； （2）解：， ， ， 或， ，． 14．（25-26八年级下·浙江·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)，． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， 则或， 解得：，． 15．用适当的方法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）因式分解法解一元二次方程即可； （2）配方法解一元二次方程即可. 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， ， ， 解得. 16．给定实数，满足，若，则之间的关系是_____． 【答案】或 【分析】首先对因式分解得，然后可以求出x与y的关系式． 【详解】解：， ， 或 或 17．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 【答案】(1)证明：， ， 不论m取何值，方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）利用因式分解法解方程得，，再结合“有一个根小于3”列不等式求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：， ， ， 则或， 解得：，， 方程有一个根小于3， ， ． 18．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若，则方程必有一个根为________． (2)若a，b满足，求一元二次方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由可知，把中的x换成成立，则可求得答案； （2）根据算术平方根、绝对值可求出a，b的值，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程必有一根为； （2）解：，，， ，， ，， 一元二次方程为， 解得，． 19．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）【观察思考】如图，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 【规律发现】 (1)第⑥个图案中“●”的个数为________个； (2)第①个图案中“○”的个数可表示为，第②个图案中“○”的个数可表示为，第③个图案中“○”的个数可表示为，第④个图案中“○”的个数可表示为，…，第n个图案中“○”的个数可表示为________； 【规律应用】 (3)按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的倍，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图形找出规律为第n个图案中“●”的个数为个，再把代入求解即可； （2）根据题干的列举信息，直接得出结论； （3）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题知，第①个图案中“●”的个数为：； 第②个图案中“●”的个数为：； 第③个图案中“●”的个数为：； .... 所以第n个图案中“●”的个数为个， 当时，， 即第⑥个图案中“●”的个数为14个， （2）第①个图案中“○”的个数可表示为， 第②个图案中“○”的个数可表示为， 第③个图案中“○”的个数可表示为， 第④个图案中“○”的个数可表示为， …， ∴第个图案中“○”的个数可表示为， 故答案为：； （3）由题意得，， ∴ 解得：或（舍去） 20．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 21．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程，掌握一元二次方程的解法，读懂题意、理解“邻根方程”是解决本题的关键．先解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是否为“1”得结论． 【详解】解：A. ， ∴， ∴，， ∴方程不是“邻根方程”，选项A不符合题意； B.  ， ， 方程无实数根，选项B不符合题意； C. ， ∴， ∴， ∴，，， ∴方程不是“邻根方程”，选项C不符合题意； D. ， ， ∴， ∴，，， ∴方程是“邻根方程”，选项D符合题意； 故选：D． 22．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）我们称一元二次方程的两个根差的绝对值为两个根的距离，若关于x的方程的两根距离为3，则=_______ 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程． 由方程可得两根分别为和．根据两根距离为3，得 ，即．解此绝对值方程，得到或．代入所求表达式 ，即可求得值． 【详解】方程 的两根为，． 两根距离为． 即， 解得或， 所以或． ． 当时，； 当时，． 故答案为：或． 23．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程仅有一个根是负数，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，因式分解法解一元二次方程． （1）计算根的判别式并证明其非负，即可； （2）因式分解方程得到两个根，根据仅有一个根是负数的条件，令另一个根非负，解不等式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴ 方程总有两个实数根 （2）解：∵ ∴ ∴ 或 ∵ 方程仅有一个根是负数，且 总是成立 分两种情况讨论：① 当两根不相等时，一个根为负数，则另一个根为非负数，即，解得； ② 当两根相等时，均为，则，解得； 此时方程只有一个负根，符合题意； 综上所述，的取值范围是或． 24．（25-26八年级上·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为_____． 【答案】，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；通过观察方程，发现含有重复表达式，因此采用换元法，设，将原方程转化为关于的一元二次方程，求解后再代回求解． 【详解】解：设，则原方程可化为． 展开得，即． 因式分解得，解得，． 当时，，即，解得，． 当时，，即，判别式，解得，即，． 经检验，所有解均满足原方程． 故答案为：，，，． 25．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 26．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另个根大1，则称这样的方程为“邻根方程” (1)下列方程是“邻根方程”的是_________（填序号） ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求：请求出k的值． (3)若（，，均为常数，）是关于的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】(1)②④ (2) (3)方程是“邻根方程”，， 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键； （1）分别求得①②③④中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于的方程求解即可； （3）解方程，，均为常数，求得两个根，由“邻根方程”的定义计算得出，即，解，计算两个根的差即可判断方程是“邻根方程”，进一步代入，即可求得方程的根． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ③解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：②④． （2）解： 方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ，，， ， ， 解得； （3）解：方程是“邻根方程” 由题意可知，方程，，均为常数，有两个实数根， ， ，，均为常数，是关于的“邻根方程”， ， ， ， ， ， ， ， 方程是“邻根方程” 则， 方程的根为或． 27．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）已知不等边的三条边分别为，，． (1)若，求的值； (2)已知为边上一点，连接，若与的周长相等，求的长； (3)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求证：为直角三角形． 【答案】(1)1 (2) (3)证明：设一元二次方程的两根为、， ∴， ∴，， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴， ，即， ， ∴，， 即， ∴， ，， 即， ， 设，则, ，即为直角三角形． 【分析】（1）由可得，即可得出， （2）根据周长的定义得出，根据线段的和差关系得出，即可得出； （3）设一元二次方程的两根为、，因式分解法解方程得，，根据方程有两个相等的实数根得出，结合得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：与的周长相等， ， ∴， ∵为边上一点， ∴， ∴， ． （3）解：略 28．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 29．（2026·江苏连云港·中考真题）解方程． 【答案】， 【分析】方程移项后运用因式分解法解答即可． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 30．（2026·山东德州·中考真题）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)如图，若九宫格的中心数为，四个角的数字分别是、、、． ①用含的式子表示； ②探究是否为定值，请证明： (2)若框选出的九宫格的中心数是方程的根，求九宫格中最大的数． 【答案】(1)①； ②为定值，理由如下： 由题意可得：，，， ∴． (2) 【分析】（1）①根据中心数的特点可得；②根据中心数的特点分别表示，，，再进一步求解即可； （2）先解方程，再结合中心数的特点可得答案． 【详解】（1）解：①由题意可得：； ②略 （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∵为九宫格的中心数， ∴不符合题意， ∴中心数为， ∴九宫格中最大的数为． 试卷第2页，共14页 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $