25.1 一元二次方程的概念&25.2.1 配方法-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

第二十五章 一元二 25.1一元 知识要点扫描 1,一元二次方程的概念 方程中只含有一个未知数（一元），并且含有 未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2 (二次)，这样的方程叫作一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是a.x2十bx+c =0(a≠0).其中ax2是二次项，a是二次项系 数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 3.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数 的值，就是这个一元二次方程的解，也叫作一 元二次方程的根. 判定一个数值是否是一元二次方程的根， 只需将这个数值代入一元二次方程的两边，看 方程的两边是否相等.若相等，就是方程的根； 若不相等，就不是方程的根， 已基础对点训练 知识点① 一元二次方程的概念 1.(2025一2026赣州信丰期中)下列方程中，是 一元二次方程的是 () A.x2-2026.x=0 B.x+1=0 C.y-2x=0 D.1+x2=6 2.若关于x的方程(m一1)x2十4x-1=0是 一元二次方程，则m的值不可能为() A.1 B.-1 C.0 D.2 知识点② 一元二次方程的一般形式 3.(教材变式)若关于x的一元二次方程x2+ 次方程 次方程的概念 (2a一1)x+5一a=ax+1的一次项系数为 4,则常数项为 知识点③一元二次方程的解 4.(2025一2026赣州于都期中)关于x的一元 二次方程x2-2x十m=0的一个根为-1， 则m的值为 变式题根据根的定义求字母的值→求代 数式的值 若m是关于x的一元二次方程x2一5x 1=0的一个实数根，则2026-10m十2m 的值是 ( A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 5.推理能力若关于x的一元二次方程ax2十 bx十5=0(a≠0)有一根为2026，则一元二 次方程a(x十1)2+b(x十1)=-5必有一根 为 知识点④建立一元二次方程模型 6.某公园计划在一块长为10m、宽为8m的矩 形草坪中央划分出一块30m2的矩形区域作 为宠物乐园.若宠物乐园四周草坪的宽度都 样，记为xm,根据题意，可列出方程为 易错点忽视一元二次方程的二次项系数 不为0 7.若关于x的一元二次方程(m一3)x2十 m2x=9.x+5化为一般形式后不含一次 项，则m的值为 上册第二十五章 25.2降次—解一元二次方程 25.2.1 配方法 第1课时直接开平方法 知识要点扫描 5.结论开放题若关于x的一元二次方程(x十 1,直接开平方法 3)2=c有实数根，则c的值可以为 通过开平方法运算，降次解一元二次方程 (写出一种情况即可)， 的方法叫直接开平方法.如果方程能化成x2= 6.解下列方程： p或(mx十n)2=p(p≥0)的形式，那么可得x (1)(2025一2026新余期中)(x-3)2=4. =士√p或mx十n=士√p. 2.用直接开平方法解一元二次方程的步骤 先把方程化为(m.x+n)2=p(p≥0)的形 式，再开平方.在开平方时要注意，p一定是非 负数.若p为负数，则方程无实数根 (2)3(2x-1)2-27=0. 已基础对点训练 知识点①可化为x2=p(p≥0)形式的方程 1.一元二次方程x2=9的根是 A.x=3 B.x1=3,x2=-3 C.x=9 D.x1=9,x2=-9 易错点方程两边同时开平方，忽略互为 变式题关于x的一元二次方程ax2一a 相反数的情况 0(a≠0)的根是 7.解方程：(y十2)2=(3y-1)2. 2.一元二次方程x2一49=0的解是 解：y+2=3y-1,第一步 ( -2y=-3, 第二步 A.x1=x2=7 B.x1=x2=-7 C.x1=√7，x2=-√7D.x1=7,x2=-7 2· 第三步 知识点② 可化为(mx+n)2=p(p≥0)形 (1)以上解方程的过程中从第 式的方程 步开始出现错误，错误的原因 3.方程(x一3)2=1的解为 是 A.x1=1,x2=-1 B.x1=4,x2=2 (2)请写出正确的解方程过程， C.x=4 D.x=2 4.下列方程中，有两个相等的实数根的是 ( A.(x-2)2=-1 B.(x-2)2=0 C.(x-2)2=1 D.(x-2)2=2 九年级数学RJ版 第2课时 知识要点扫描 1.用配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程 的方法叫作配方法.配方的目的是降次，把一个 一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 2.用配方法解一元二次方程的步骤 (1)把常数项移到等号的右边，总结为 “一移”； (2)方程两边都除以二次项系数，总结为 “三除”； (3)方程两边都加上一次项系数一半的平 方，把左边配成完全平方形式，总结为“三配”； (4)若等号右边为非负数，直接开平方求 出方程的解，总结为“四开”. 已经典例题剖析 【例】用配方法解方程：2x2-4x十1=0. 【点拨】配方的关键是要将方程的左边转 化为完全平方式(x十m)2的形式，而方程的右 边是一个常数」 【解】移项，得2x2一4x=一1. 二次项系数化为1，得x2一2x=- 2 配方，得x2一2x十（一1)2=一 2 (-1)2,即(x-1)2=1 …x-1=±2 √2 十1，x2一 √2 .x1 2 +1, 已基础对点训练 知识点①配方法 1.(2025一2026赣州章贡区期中)用配方法解 方程x2十6x=7,下列配方正确的是() A.(x+3)2=7 B.(x+3)2=16 C.(x-3)2=16 D.(x-3)2=7 配方法 2.已知方程x2一10x十n=0可以配方成(x一 m)2=15的形式，那么x2-10x+m=n可 以配方成 ( A.(x-5)2=20 B.(x-5)2=30 C.(.x-5)2=15 D.(x-5)2=40 3.一题多解法已知方程x2一4x十1=■，等号右 侧的数印刷不清楚.若可以将其配方成(x一 m)2=5的形式，则印刷不清楚的数是( ) A.-3 B.-2C.3 D.2 知识点②用配方法解一元二次方程 4.定义：如果存在一个数i,使（士i)2=一1，那 么当x2=一1时，有x=士i,从而x1=i,x2 =一i是方程x2=一1的两个根.据此可知， 方程x2-2x十5=0的两个根为 (用含i的代数式表示) 易错点在配方时忽视等式的性质 5.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当 的内容 解方程：2x2-8x一18=0. 解：移项，得2x2一8x=18.第一步 两边同时除以2，得x2一4x=9.第二步 配方，得x2一4x十4=9，第三步 即(x一2)2=9，∴.x一2=士3.第四步 故x1=5,x2=一1.第五步 (1)上述过程中开始出错的步骤是第 步，原因是 (2)请写出正确的解答过程. 上册第二十五章 △详解详析 第二十五章一元二次方程 4.x1=1+2i,x2=1-2i【解析】由x2-2.x十5=0配 方，得(x-1)=-4,∴.x-1=土2i,解得x1=1+2i, 25.1一元二次方程的概念 x2=1-2i. 1.A2.A3.-14.-3变式题D 5.解：(1)三等式右边没有同时加4 5.2025【解析】由a(x十1)2+b(x十1)=-5，得a(x+ (2)正确的解答过程如下： 1)2+b(x+1)+5=0.设t=x+1,则at2+bt+5=0. 移项，得2x2-8x=18. ,关于x的一元二次方程a.x2+bx十5=0(a≠0)有一 两边同时除以2，得x2一4x=9. 配方，得x2-4x十4=9+4， 根为2026，即at+bt+5=0有一根为2026，∴.x+1 即(x-2)=13, =2026,解得x=2025,.一元二次方程a(x+1)2+ b(x十1)=-5必有一根为2025. .x-2=士√/13 6.(8-2x)(10-2.x)=307.-3 故x1=2+/13,x2=2-√13】 25.2.2公式法 25.2降次一解一元二次方程 第1课时一元二次方程根的判别式 25.2.1配方法 1.C2.C3.D4.B5.A 第1课时直接开平方法 6.解：(1)根据题意，得12+(m十3)·1十m十1=0， 1.B变式题x1=1,x2=-1 解得m=一 5 2.D3.B4.B (2)证明：：△=(m+3)2-4(m+1)=m2+2m+5= 5.1(答案不唯一) (m+1)2+4≥4>0， 6.解：(1)直接开平方，得x-3=士2， 方程总有两个不相等的实数根 解得x1=5,x2=1. 7.C8.B (2)方程可化为(2x-1)2=9. 9.C 直接开平方，得2x-1=±3， 解得x1=2,x2=-1. 变式题1B变式题2m<一 7.解：(1)一开平方时，忽略互为相反数的情况 (2)直接开平方，得y+2=3y-1或y+2=一(3y 变式题3m≤2 【解析】分两种情况讨论：①当m=0 1D部得=名=一子 时，原方程为一2x+2=0,解得x=1,符合题意.②当 m≠0时，原方程为一元二次方程.：关于x的方程 第2课时配方法 mx2-2.x十2=0有实数根，.△=(-2)2-4m·2=4 1.B -8m≥0，解得m≤名·则m≤号且u≠0.综上所述， 2.B【解析】方程x2-10x十n=0移项，得x2-10x= -n.配方，得x2-10x十25=25-n,即(x-5)2=25- -1 m的取值范围是m≤2 n.根据题意，得m=5,25一n=15,.m=5,n=10,代 10.解：(1)由题意可知，k=1, 入x2-10x十m=n,得x2-10x十5=10.配方，得(x .方程为x2-4.x十4=0， -5)2=30. 解得x1=x2=2. 3.D【解析】设印刷不清楚的数是a,则x2-4x十1=a, (2):方程有两个不相等的实数根， 移项，得x2-4x=a-1,配方，得(x-2)2=a+3,则a .△=(-4)2-16k>0,且k≠0， 十3=5，解得a=2. ,.k的取值范围为k<1且k≠0. ◆一题多解法《 11.解：△=(-m)2-4×2n=m2-8n. (x-m)2=5变形，得x2-2mx十m°=5.由题 (1),m-n=4,∴.n=m-4,∴.△=m2-8(m-4)= 意，得-2m=-4,解得m=2,x2-4x十22= m2-8m+32=(m-4)2+16. 5,x2-4x十1=2，.印刷不清楚的数是2. (m-4)2≥0，.(m-4)2+16>0,即△>0， 此方程有两个不相等的实数根。 上册详解详析