25.2.2 公式法同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦公式法核心技能，分层设计从概念理解到实际应用，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三阶路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|根的判别式计算、公式法步骤、一般形式转化|选择1-6题直接考查判别式公式应用，填空9-12题强化方程求解规范，夯实概念理解| |中档|含参数方程根的情况、解方程综合运算|选择7题分类讨论参数，解答13题系统训练不同形式方程求解，提升运算准确性| |提高|实际问题建模、参数整数根探究|解答15题结合矩形面积情境列方程，16题通过求根公式推导参数取值，发展应用意识与推理能力|

人教版 九年级数学上册 25.2.2 公式法 同步练习 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。） 1．一元二次方程 的根的判别式 的值为（ ） A． B． C． D． 2．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ） A． B． C． D． 3．用公式法解方程 ，将方程化为二次项系数为正的一般形式后，代入求根公式书写正确的是（ ） A． B． C． D． 4．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．关于 的一元二次方程 ，其根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．根的情况与 的取值有关，无法直接确定 6．将方程 整理为一元二次方程的一般形式，若用公式法求解，则一次项系数 的值为（ ） A． B． C． D． 7．若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（ ） A． B． 且 C． D． 且 8．某农户种植蔬菜，2025 年亩产量为 1000 千克，2027 年亩产量为 1200 千克。设亩产量的年平均增长率为 ，根据题意列方程后，下列关于该方程根的判断正确的是（ ） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个相等的正实数根 C．有一正一负两个实数根，正根符合实际意义 D．没有实数根 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 9．一元二次方程 的根的判别式 。 10．用公式法解方程 ，得到的两个根为 。 11．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为 。 12．已知一元二次方程 的一个根为 ，则方程的另一个根为。 三、解答题（本大题共 4 小题，共 60 分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 13．（18 分）用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）。 14．（14 分）已知关于 的一元二次方程 。 （1）求证：无论 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为 ，求 的值及方程的另一个根。 15．（14 分）学校利用一面长 15 米的院墙，搭建矩形劳动实践菜园。现有总长 28 米的篱笆，要使菜园的面积为 90 平方米，求垂直于院墙的一边的长度。 16．（14 分）已知关于 的一元二次方程 （ 为常数，且 ）。 （1）求证：无论 取何非零实数，该方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为整数，求整数 的值。 参考答案与解析 一、选择题 1．答案：D 解析：由判别式公式 ，代入 ，得 。 2．答案：B 解析：分别计算判别式： A．，有两个不等实根； B．，有两个相等实根； C．，有两个不等实根； D．，有两个不等实根。 3．答案：A 解析：方程两边同乘 ，化为一般形式 ，即 。 代入求根公式 ，得 。 4．答案：A 解析：方程有两个不相等实数根，则 ，解得 。 5．答案：D 解析：计算判别式 。 当 时，；当 时，；当 时，。 因此根的情况由 的取值决定，无法直接确定。 6．答案：A 解析：展开方程左边得 ，右边移项得 ， 整理为一般形式 ，故一次项系数 。 7．答案：A 解析：分两种情况讨论： ① 当 即 时，方程为 ，是一元一次方程，有实数根； ② 当 时，方程为一元二次方程，需满足 ， 解得 且 。 综上， 的取值范围是 。 8．答案：C 解析：根据题意列方程 ，整理得 。 ，方程有两个不相等的实数根； 由根与系数的关系（通过求根公式推导），两根之积为 ，故两根一正一负，负根不符合增长率实际意义，舍去。 二、填空题 9．答案：33 解析：。 10．答案： 解析：，， ，解得 。 11．答案：2 解析：方程有两个相等实数根，则 ，解得 。 12．答案：2 解析：将 代入方程得 ，解得 。 原方程为 ，由求根公式解得另一根为 。 三、解答题 13．解：(1) ， ， ， 即 。 (2) ， ， ， 即 。 (3) 整理方程得 ， ， ， ， 即 。 14．(1) 证明：， 无论 取何实数，， 该方程总有两个不相等的实数根。 (2) 解：将 代入原方程得：， 整理得 ，解得 。 当 时，方程为 ，另一根为 ； 当 时，方程为 ，另一根为 。 综上， 的值为 或 ，对应方程的另一个根为 或 。 15．解：设垂直于院墙的一边长为 米，则平行于院墙的边长为 米。 根据题意列方程：， 整理得 。 ， ，解得 。 当 时，，，符合墙长限制； 当 时，，，不符合题意，舍去。 答：垂直于院墙的一边长为 9 米。 16．(1) 证明：， ，且无论 取何非零实数，，即 ， 方程总有两个实数根。 (2) 解：由求根公式得： ， 化简得 ，。 方程的两个根均为整数，且 为整数， 为整数，即 是 3 的整数因数， 。 综上，整数 的值为 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $