第10章 数的开方（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 新教材华东师大版七年级下第10章“数的开方”培优卷，题型针对性强、覆盖全、有深度，适配单元复习，可量化掌握程度，培养抽象能力与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|算术平方根、无理数概念、立方根性质|基础概念辨析，结合真题情境| |填空题|6/18|新定义运算、立方根应用、无理数估算|创新情境设计，如“新运算的平方根”| |解答题|9/72|实际问题（运动员动能计算）、逻辑推理（无理数生成器）、跨学科情境（A系列纸）|分层设计，体现模型意识与推理能力，如排水法测体积结合空间观念|

第10章 数的开方·培优卷 【新教材华东师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·天津北辰·期末）49的算术平方根是（     ） A． B． C．7 D．23 2．（25-26七年级下·天津北辰·期末）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 3．（25-26七年级下·内蒙古·期末）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 4．（25-26七年级下·福建莆田·期末）下列四个数中，最大的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 6．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则表示的数为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·河北沧州·期中）若一个正数的两个不相等的平方根分别是和＋，则这个正数是(    ) A．4 B．8 C．16 D．64 8．若a2＝16，＝2，则a+b的值为（　　） A．12 B．4 C．12或﹣4 D．12或4 9．（25-26七年级下·天津南开·期中）若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，，记，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输入值为时，输出值为 ②当输出值为时，输入值为或 ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值． ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）计算：_________． 12．（25-26七年级下·湖北黄石·期末）已知，则的值是__________． 13．（25-26七年级下·北京·期中）已知的小数部分为a，则_____． 14．（25-26七年级下·福建厦门·期末）已知m是无理数，且，请写出一个符合条件的m的值________． 15．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）小霞同学规定了一种新运算：对于任意实数，都有．按照这个规定，计算的平方根为___________． 16．（25-26七年级下·陕西延安·期中）小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·福建南平·期中）计算： (1)； (2)． 18．（6分）（25-26七年级下·新疆和田·期中）求出下列的值： (1)； (2)． 19．（6分）（25-26七年级下·广西钦州·期中）已知的平方根是，的立方根是，与互为相反数． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 20．（8分）（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知：一切运动的物体都具有动能．已知运动物体的动能（单位：焦耳）与质量（单位：千克），速度（单位：米/秒）近似满足公式．若一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克，动能是2800焦耳． (1)求该运动员的跑步速度； (2)已知，，估计（1）中求得的速度的近似值． 21．（8分）（25-26七年级下·四川广元·期末）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若和是有理数，，则，．已知和是有理数． (1)若，试求出的立方根； (2)若，其中，是的平方根，求的值． 22．（10分）（25-26七年级下·安徽六安·期中）排水法测体积的核心原理是：物体浸没在液体中时，物体排开液体的体积等于物体自身的体积．小华利用这一原理进行实验：用细线将一正方体铁块系住，完全浸入盛满水的圆柱形杯中，测得从杯中溢出的水的体积为；将铁块从杯中取出后，测得杯内水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 23．（10分）（25-26七年级下·江西南昌·期中）任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中表示不超过的最大整数，． 例如：，其中； 又如，其中回答下列问题： (1)____________，____________； (2)____________；____________； (3)若，求所有可能的值． 24．（12分）（25-26七年级下·广东江门·阶段检测）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 25．（12分）（25-26七年级下·河南开封·期末）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸……，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长：宽___________． 请根据材料回答下列问题： (1)的小数部分是___________． (2)A5纸的面积是___________平方米．A4纸的长宽___________． (3)按照图2的A系列纸生成过程，经过探究发现，A系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，，） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 数的开方·培优卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·天津北辰·期末）49的算术平方根是（     ） A． B． C．7 D．23 【答案】C 【详解】解：∵， ∴ 49的算术平方根是． 2．（25-26七年级下·天津北辰·期末）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，逐个判断选项即可． 【详解】解： A选项、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； B选项、，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； C选项、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； D选项、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，故此选项符合题意． 3．（25-26七年级下·内蒙古·期末）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 【答案】D 【详解】解：∵负数有立方根，例如，∴A选项错误； ∵负数有立方根，但负数没有平方根，∴ B选项错误； ∵任意数都只有一个立方根，∴ C选项错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，因此不为的数的立方根与被开方数同号，∴ D选项正确． 4．（25-26七年级下·福建莆田·期末）下列四个数中，最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数比较大小的基本规则（负数小于，正数大于；两个负数，绝对值大的数反而小）即可得出结果． 【详解】解：∵ ，， 又∵ ，即 ， ∴ ， ∴ 四个数中最大的是． 5．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【答案】D 【分析】根据绝对值，相反数，倒数，有理数和无理数的定义逐一判断选项，找出错误说法. 【详解】解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，，A选项说法正确； ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，B选项说法正确； ∵ 乘积为的两个数互为倒数，，的倒数是，C选项说法正确； ∵ 是开方开不尽的数，属于无理数，是无理数，不是有理数，D选项说法错误. 6．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据数轴有：，则有：． 7．（25-26七年级下·河北沧州·期中）若一个正数的两个不相等的平方根分别是和＋，则这个正数是(    ) A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】A 【分析】利用“正数的两个平方根互为相反数”的性质列方程求解，再计算得到这个正数即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不相等的平方根互为相反数， ∴ ， 整理得， 解得， 将代入其中一个平方根，得， ∵， ∴这个正数是． 8．若a2＝16，＝2，则a+b的值为（　　） A．12 B．4 C．12或﹣4 D．12或4 【答案】D 【分析】根据平方根和立方根的意义求出a、b即可． 【详解】解：∵a2＝16， ∴a＝±4， ∵＝2， ∴b＝8， ∴a+b＝4+8或﹣4+8， 即a+b＝12或4． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根和立方根以及有理数加法，解题关键是明确平方根和立方根的意义，准确求出a、b的值，注意：一个正数的平方根有两个． 9．（25-26七年级下·天津南开·期中）若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，，记，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算分子的总和，再计算分母的值，进而求出，最后得到的值． 【详解】解：， ， ， 当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个， 则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5， ， ， ∴， ， ． 10．（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输入值为时，输出值为 ②当输出值为时，输入值为或 ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值． ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】根据程序运算图逐项判断即可求解． 【详解】解：①当时，∵是有理数， ∴重新输入， ∵是有理数， ∴重新输入， ∵是无理数， ∴输出值为，故①正确； ②∵输出值为时， ∴输入值为或或等，故②错误； ③当时，的算术平方根为，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值，故③正确； ④当为正无理数时，不存在正整数，使得，故④错误； 综上，说法正确的是①③． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）计算：_________． 【答案】8 【详解】解：． 12．（25-26七年级下·湖北黄石·期末）已知，则的值是__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 13．（25-26七年级下·北京·期中）已知的小数部分为a，则_____． 【答案】/ 【详解】解：， ，即， 的整数部分为， 的小数部分为， ． 14．（25-26七年级下·福建厦门·期末）已知m是无理数，且，请写出一个符合条件的m的值________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】无限不循环小数即为无理数，据此即可作答． 【详解】解：∵m是无理数，且， ∴一个符合条件的m为（答案不唯一）． 15．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）小霞同学规定了一种新运算：对于任意实数，都有．按照这个规定，计算的平方根为___________． 【答案】±7 【分析】根据新定义的运算法则，先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，最后根据平方根的定义求出结果即可． 【详解】解：先计算括号内的运算： 根据新运算法则，得 再计算括号外的运算： 根据平方根的定义，的平方根为． 16．（25-26七年级下·陕西延安·期中）小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 【答案】6 【分析】先根据正方体体积公式求出印章的棱长，得到长方体木匣的宽，再设木匣的长为未知数，根据长方体体积公式求解即可． 【详解】解：设正方体印章的棱长为， 由正方体体积公式得：， ∴， 因此木匣的宽为， 设木匣的长为，则木匣的高也为， 根据长方体体积公式可得：，即， 所以， 即木匣的长为． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·福建南平·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 18．（6分）（25-26七年级下·新疆和田·期中）求出下列的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 19．（6分）（25-26七年级下·广西钦州·期中）已知的平方根是，的立方根是，与互为相反数． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（）根据平方根，立方根的定义，相反数的定义即可求解； （）根据（）得，，，求出的值，然后通过平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴，解得， ∵与互为相反数， ∴， 综上，，，； （2）解：由（）得，，，， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 20．（8分）（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知：一切运动的物体都具有动能．已知运动物体的动能（单位：焦耳）与质量（单位：千克），速度（单位：米/秒）近似满足公式．若一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克，动能是2800焦耳． (1)求该运动员的跑步速度； (2)已知，，估计（1）中求得的速度的近似值． 【答案】(1)该运动员的跑步速度是米/秒 (2)该运动员跑步速度的近似值约为米/秒 【分析】（1）根据题意得到，，将上述数据代入公式即可求得跑步速度； （2）根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：，代入得： ， 即， 解得：，负值舍去， ∴该运动员的跑步速度是米／秒． （2）解：∵， ∴（米/秒）， 即该运动员跑步速度的近似值约为米/秒． 21．（8分）（25-26七年级下·四川广元·期末）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若和是有理数，，则，．已知和是有理数． (1)若，试求出的立方根； (2)若，其中，是的平方根，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据题意可得，，从而可得，，代入所求式子，最后结合立方根的定义计算即可得出结果； （2）先将式子整理为，再结合题意求得，最后由平方根的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，m和n是有理数， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵m和n是有理数， ∴， 解得， ∵m，n是x的平方根， ∴． 22．（10分）（25-26七年级下·安徽六安·期中）排水法测体积的核心原理是：物体浸没在液体中时，物体排开液体的体积等于物体自身的体积．小华利用这一原理进行实验：用细线将一正方体铁块系住，完全浸入盛满水的圆柱形杯中，测得从杯中溢出的水的体积为；将铁块从杯中取出后，测得杯内水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1)正方体棱长 (2)直径为 【分析】（1）设正方体棱长为，由体积公式列方程求解即可； （2）设直径为，由圆柱体积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得或（负值不符合实际，舍去）， 答：杯内部的底面直径为． 23．（10分）（25-26七年级下·江西南昌·期中）任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中表示不超过的最大整数，． 例如：，其中； 又如，其中回答下列问题： (1)____________，____________； (2)____________；____________； (3)若，求所有可能的值． 【答案】(1)， (2)， (3)8或9 【分析】（1）先估算的大小，然后根据已知条件中的新定义解答即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的基本性质求出的大小，然后根据已知条件中的新定义解答即可； （3）根据已知条件的定义，求出，的取值范围，再利用不等式的性质求出的范围，进行解答即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 即， ； （3）解： 即 或9． 24．（12分）（25-26七年级下·广东江门·阶段检测）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 【答案】(1)两； ；， (2) 【分析】先根据和的大小确定立方根的位数，再根据原数个位数字的立方的个位特征确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，比较剩余数与相邻整数的立方，确定立方根的十位数字，即可得到结果． 【详解】（1） ， ， 是两位数； 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是； ， 的十位数字是， ； （2）， ， 是两位数， 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是，划去后三位，得到数， ， 十位数的数是， ． 25．（12分）（25-26七年级下·河南开封·期末）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸……，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长：宽___________． 请根据材料回答下列问题： (1)的小数部分是___________． (2)A5纸的面积是___________平方米．A4纸的长宽___________． (3)按照图2的A系列纸生成过程，经过探究发现，A系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，，） 【答案】(1) (2)， (3)纸的长为，宽为 【分析】（1）根据的整数部分是1解答即可； （2）根据纸的面积依次计算可得答案；再根据折叠的性质得出答案； （3）设纸的宽为，则长为，再依题意得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵，即的整数部分是1， ∴的小数部分是； （2）解：由题意，可知纸的面积是1平方米； 纸的面积是平方米； 纸的面积是平方米； 纸的面积是平方米； 纸的面积是平方米； 纸的面积是平方米； 如图所示，由折叠的性质可得， 由材料一可知， ∴， 即纸的长宽之比为； （3）解：设纸的宽为，则长为， 依题意得， 即 ， ， （负值不合题意，舍去）， ， ， 答：纸的长为，宽为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $