专题01 勾股定理与最值（举一反三专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以勾股定理为核心，系统整合平面（垂线段最短等4类）与立体（化体为面4类）最值问题，通过“题型+变式”构建方法迁移体系，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面最值|4题型（1例3变式/题型）|垂线段最短、两点线段最短、拼接、数形结合|以勾股定理为工具，结合平面几何公理（垂线段最短等）解决动点、线段和最值| |立体最值|4题型（1例3变式/题型）|正方体、圆柱、长方体、圆锥化体为面|将立体图形展开为平面，转化为平面距离问题，体现空间观念与推理意识|

专题01 勾股定理与最值（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 利用垂线段最短求最值】 1 【题型2 利用两点之间线段最短求最值】 5 【题型3 拼接求最值】 10 【题型4 数形结合求最值】 16 【题型5 正方体中化体为面求最值】 27 【题型6 圆柱中化体为面求最值】 31 【题型7 长方体中化体为面求最值】 35 【题型8 圆锥中化体为面求最值】 40 【题型1 利用垂线段最短求最值】 【例1】如图，等边的边长为13，是边上的中线，M是上的动点，E是边上一点，若，的最小值为________．    【答案】 【分析】连接，与交于点M，作于点F，证明垂直平分，得出，说明，从而得出最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当点B、M、E在同一直线上时，最小，则最小，即最小值为的长，根据勾股定理求出其最小值即可． 【详解】解：连接，与交于点M，作于点F，如图所示：    为等边三角形，是边上的中线， ， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当点B、M、E在同一直线上时，最小，则最小，即最小值为的长， 等边的边长为13，， ， ∴， ， ， 在中，， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是本题的关键． 【变式1-1】（24-25八年级下·全国·阶段检测）直角三角形 中，，，，D点是上一动点，连接，则的最小值 __________________． 【答案】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，根据题意可得时，最小，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵时，最小，， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（2025·贵州贵阳·三模）如图，在中，，．点是边上的一点，连接，以为斜边作一个，且，．当点在上运动时，则面积的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形、勾股定理、斜边中线定理、二次根式的运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用勾股定理求出，根据含30度角的直角三角形的性质得到，得出，表示出，结合点在上运动，分析可知当时，有最小值，此时有最小值，再利用等腰直角三角形的性质求出的最小值，即可得出答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， 点在上运动， 当时，有最小值，此时有最小值， 又， 此时点是的中点，， 的最小值为． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，点D是三角形内一点且，连接，，以，为邻边作，则面积的最小值为___． 【答案】28 【分析】先将平行四边形的面积转化为两倍的面积，问题随之转化为求面积的最小值；再根据，确定点D的轨迹是以C为圆心、半径为2的圆；接着在中用勾股定理算出的长，再通过面积法求出点C到的高；根据垂线段最短，点D到的最短距离为该高减去圆的半径；最后将最短距离代入，即可算出平行四边形面积的最小值． 【详解】解：如图，过点C作，以C为圆心，2为半径画一段弧分别交于G，交于H， 设h是的边上的高． 由勾股定理得， 是边上的高， ， ， 以，为边， ， 当h最小时，四边形面积最小． 由垂线段最短可知，当时，h最小， 此时C，D，F三点共线， ， ． 【题型2 利用两点之间线段最短求最值】 【例2】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在正方形中，，点E在上且，点F是边上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质．作点E关于的对称点G，连接，则，，可得的最小值为的长，再根据题意可得点B，C，G三点共线，然后根据勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点G，连接，则，， ∴， 即的最小值为的长， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴点B，C，G三点共线， ∴， ∴． 即的最小值为． 故答案为： 【变式2-1】（24-25八年级下·广东汕头·阶段检测）如图，在中，，，，E为上一点，且，平分交于D．若P是上的动点，则的最小值等于______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．作点E关于的对称点，连接交于，连接，由对称可得，所以，且当、、依次共线时的值最小，最小值为，作于H，利用等面积法和勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接交于，连接， 由对称可得， ∴，且当、、依次共线时的值最小，最小值为，作于H． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，点D，E分别是边上的两点，连接，，已知，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点间线段最短和勾股定理．过点作，并使得，连接构造，然后得到，进而得知，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，最后利用勾股定理求得的值即可得到答案． 【详解】解：过点作，并使得连接，如图所示： 则， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值， ∵， ∴， ， 故答案为：． 【变式2-3】（2025·河南南阳·二模）如图，在中，，，是平分线上的任意一点，连接．把绕点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值为_______，的最小值为_______． 【答案】 【分析】①由等腰直角三角形和勾股定理分析出，即当时，最小，延长，交于点，证出，再利用勾股定理解答即可； ②分析出点的位置，在结合勾股定理解答即可． 【详解】解：①由题意可得：为等腰直角三角形，则，， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小，延长，交于点，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； ②∵在中，， ∴当，，三点共线时，，此时最小，过作于点，延长，交于点，如图所示： 由①同理可得：，， ∴在中，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 【题型3 拼接求最值】 【例3】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图，在边长为6的等边三角形中，D为的中点，射线，M，N分别为线段、射线上的点，连接，若，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用对称解决最短问题．取的中点P，连接，由可证，可得，由折叠的性质可得，可得当点B，点M，点F三点共线时，有最小值为的长，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，取的中点P，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵D为中点，点P是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图，将沿折叠，得到，过点F作直线于H， ∴， ∴， ∴， ∴当点B，点M，点F三点共线时，有最小值为的长， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25八年级下·四川·期中）如图，在中，，，点P是内一动点，连接，，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】以B为旋转中心，将顺时针旋转到，连接，判定都是等边三角形，继而得到， 故当四点共线时，取得最小值，设与的交点为Q， 根据线段的垂直平分线，勾股定理，解答即可． 【详解】解：以B为旋转中心，将顺时针旋转到，连接， 根据旋转的全等性质，得， ∵， ∴都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴当四点共线时，取得最小值， 设与的交点为Q， ∵，， ∴是线段的垂直平分线，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【变式3-2】如图，在中，，，，、分别为边、上两个动点．且，连接、，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，两点之间线段最短；过点作，截取，过点作交的延长于点，连接，证明得出，当在线段上时，，则的最小值为的长，进而求得，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，截取，过点作交的延长于点，连接， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴当在线段上时，，则的最小值为的长， ∵ ∴ ∴ ∴，， ∵， ∴， 在中， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）已知是等腰直角三角形，，． (1)如图1，是等腰直角三角形，点D在的延长线上，，连接，求证：； (2)如图，点M在外，，，，求． (3)如图，在中，，，，点P是三角形内一点，连，，，则的最小值是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）设、交于，根据等腰直角三角形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，于是得到； （2）作，且，连接，，根据全等三角形的性质得到，求得，得到 ，过作于，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理得到； （3）如图3中，将绕点逆时针旋转得到，得到，，，推出是等边三角形，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：设、交于， ，都是等腰直角三角形，，， ， ，即， ， ， 又， ， ； （2）解：作，且，连接，， 为等腰直角三角形， ， ∵是等腰直角三角形，，． ∴，即， ， ， ， ， ， ， 过作于， ， ， ，， ∴ ， ； （3）解：如图3中， 将绕点逆时针旋转得到， ，，， 是等边三角形，， 在中，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【题型4 数形结合求最值】 【例4】（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）问题再现 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是　　　； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是　　　； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题、矩形的性质，三角形三边关系的应用，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． （1）利用题目中的构图，推出的最小值是的长，再利用勾股定理求出即可； （2）设，则，由勾股定理，得，，则，再仿照（1）的构图和求解方法解答即可； （3）构造矩形中，C是的中点，于C，，，，，求得，，则，应为，所以的最大值为，过点D作于点G，在中，利用勾股定理求出AD即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，，， 由勾股定理，得， ∴的最小值是 13， 故答案为：13； （2）如图， 设这4个全等直角三角形的短边为x，则，， 由勾股定理，得， 由勾股定理，得， 则， 构造图形如下： ∵，，， 设，则， 可得，， ∴， ∴的最小值为的长， 过点M作交延长线于Q，则，， ∴，， ∴， 由勾股定理， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）模仿（1）可知，构造图形如下： 矩形中，于C，，，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 即的值最大，就是的值最大， ∵， ∴的最大值为， 过点D作于点G， 则，， 在中，由勾股定理，得， 故的最大值为． 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为___________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）的最大值是___________； （4）已知正数满足，则___________． 【答案】（1）13；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了数形结合思想、勾股定理的几何应用以及三角形三边关系，将代数式转化为几何图形中的线段长度（直角三角形斜边），利用三角形三边关系变形规则解题是关键． （1）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得为最小值； （2）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得为最小值； （3）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最长得为最大值； （4）和对应直角三角形直角边，通过构造直角三角形，结合勾股定理解方程求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，点在的上方，且，点在的下方，且， 则， ∴代数式表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； （2）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，点在的上方，且，点在的下方，且， 则， ∴代数式表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在 中，由勾股定理得：， 即的最小值为； （3）构造 ，如图所示： 过点作，交延长线于点， 则， 设， 则，， ∴代数式表示， ∵， ∴的最大值为的长， 即代数式的最大值为的长， 在 中，由勾股定理得：， 即的最大值为； （4）构造于，如图所示： 设，则， ， 设，则， ∴， 解得：， ∴． ∴方程的解是． 故答案为：． 【变式4-2】【问题提出】（1）为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导，如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，设． ①则　　，　　.(用含x的代数式表示)． ②如图2，过点E作交的延长线于F，构造矩形，连接，此时A、C、E三点共线，的值最小，则的最小值=　　． 【迁移应用】（2）如图3，正方形中，点E在边上，点G在边上，且．已知，求的最小值． 【答案】（1）①　，；② 10；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由于和都是直角三角形，故，可由勾股定理求得； ②求出的值便是的值最小； （2）过点E作于点H，证明，得出，，设，则，由勾股定理表示出，，从而得出，由（1）②的方法可求的最小值． 【详解】解：（1）①，， ∴， ∵，，，， ∴由勾股定理得：，； 故答案为：　，； ②根据题意可得，四边形为矩形， ∴， 在中，，，， ，即的最小值为， 故答案为：10； （2）过点E作于点H，如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， 由（1）②的方法可求的最小值为，即的最小值为． 【变式4-3】（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，求两个村庄的距离； (2)在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； (3)借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式（）的最小值为_____． ②代数式的最大值为_____． 【答案】(1)千米 (2)千米 (3)①；② 【分析】（1）连接，过点作交于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求，设千米，则千米，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）①参考（1）的几何模型，构造，，垂足分别为、，其中，，，，，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作的延长线，交于点，根据勾股定理求出，得出点、、三点共线时，的长就是代数式的最小值，借助勾股定理求出的长即可求解； ②构造与，其中，，，且，过点作交于点，连接，根据勾股定理得出，借助三角形的三边关系得出当点、、三点共线时，的长就是代数式的最大值，借助勾股定理求出的长即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作交于点， 则四边形是矩形， 故千米，（千米）， 在中，（千米）． （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为千米． （3）解：①如图，，，垂足分别为、，其中，，，，， 作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作的延长线，交于点， 则四边形是矩形，，； ∵点、点关于对称， 故是的垂直平分线， ∴， 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最小值，即为求的最小值． 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的长； 即此时的长就是代数式的最小值． 在中，，， 故， 故代数式的最小值为． ②如图，作与，其中，，，且， 过点作交于点，连接， 则四边形是矩形，，，； 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最大值，即为求的最大值． 在中，； 如图，当点、、三点共线时，的值最大，最大值为的长； 即此时的长就是代数式的最大值． 在中，， 故代数式的最大值为． 【点睛】解题的关键是根据代数式的几何意义，构造直角三角形，将代数为转换为几何求最值问题，借助将军饮马几何模型和三角形三边关系进行求解． 【题型5 正方体中化体为面求最值】 【例5】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·开学考试）如图，有一个棱长为的正方体盒子，蚂蚁在正方体下方一边的中点P处，发现上方顶点处有一滴蜂蜜，蚂蚁需要沿着正方体盒子的表面从点P爬行到顶点处吃到蜂蜜，它需要爬行的最短距离为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，化空间问题为平面问题是解决空间几何体问题的主要思想．先将图形展开，再根据两点之间线段最短即可得到结论． 【详解】解：可以把和所在的两个平面展开到一个平面内， 如图1， 根据勾股定理得：； 如图2， 根据勾股定理得：． ． 故沿着正方体的外表面爬到其一顶点处的最短路径是． 故答案为：． 【变式5-1】爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm 【答案】16 【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可． 【详解】 如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形， ∴，，，， 此时最小， ∵点是中点， ∴cm， ∴cm，cm， 在中，cm， ∴cm， 故答案为：16． 【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算． 【变式5-2】（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图是由若干个棱长为1cm的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点出发，沿几何体的表面爬到点，这只电子蚂蚁爬行的最短路程为_______cm． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将立体图形转化为平面图形是解题的关键．首先找出所有可能的爬行线路，然后根据两点之间线段最短，将组合体图形转化为平面图形，再通过勾股定理比较路线的长短即可． 【详解】解：16个棱长为1cm的小正方体所搭建的几何体， 这个几何体的长是4cm，宽是2cm，高是2cm． 电子蚂蚁爬行的路线有三种情况： ①经过前面和右面时，， ②经过前面和上面时，， ③经过左面和上面时，， ， ∴这只电子蚂蚁爬行的最短路程为． 【变式5-3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②所示的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【答案】 【分析】将图②中的几何体表面展开，连接，根据两点之间线段最短可知的长即为蚂蚁爬行的最短距离，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，将截面和上底面展开在同一平面内，连接交于，根据两点之间线段最短可知的长即为蚂蚁爬行的最短距离， ∵正方体棱长为， ∴截面的边长， 是等边三角形， ∵上底面被剪掉一半，剩余部分为等腰直角三角形 ， ，， ，，， ， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ∴蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为． 【题型6 圆柱中化体为面求最值】 【例6】（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点A爬到点C的最短距离为________． 【答案】 【分析】把圆柱的侧面展开，找出最短路径，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：将圆柱侧面展开如图所示，此时是底面周长的一半， ∴，， ， ∴蚂蚁在圆柱的表面上从点A爬到点C的最短距离为． 【变式6-1】（25-26八年级下·福建龙岩·期中）如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为_______． 【答案】 【分析】根据题意，把圆柱展开，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，即，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆柱的展开图中，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，最短路线为， ∵圆柱的半径为，圆柱的高为， ∴在中， ， ． 【变式6-2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走的路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平面展开，最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，图形长度增加半圆周长，连接， 则， ， ， ， 故选：A． 【变式6-3】（25-26八年级上·陕西汉中·阶段检测）综合与实践 如图1，已知圆柱底面的周长为，高为，是圆柱底面的直径，，是圆柱的高，为的中点，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ． (2)求该金属丝的长． (3)其他条件不变，如图2，若在圆柱(空心且上面无盖)的内壁点处有面包屑，一只蚂蚁从圆柱的外壁点处出发，去吃面包屑，求蚂蚁爬行的最短路程． 【答案】(1)D (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，轴对称最短路程问题，熟知勾股定理是解题的关键． （1）根据过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短，即可判断； （2）该金属丝的长即为线段的长加上线段的长，据此利用勾股定理求解即可； （3）作点E关于的对称点F，设点P为上任意一点，连接，可推出当B、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵过点，嵌有一圈路径最短的金属丝，且两点之间线段最短， ∴将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是D； （2）解：在图D中，由题意得，， ∴， 同理可得， ∴该金属丝的长为； （3）解：如图所示，作点E关于的对称点F，设点P为上任意一点，连接， ∴蚂蚁爬行的路程为的值， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当B、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 在中，， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路程为． 【题型7 长方体中化体为面求最值】 【例7】（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可； （2）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】（1）解：由题意得该长方体盒子中放入细木棒（）的长度是： ． （2）解：将长方体的正面和右侧面展开，如图，， 将长方体的上底面和右侧面展开，如图，； 将长方体的正面和下底面展开，如图，． ∵， ∴它沿盒子表面爬行的最短路程为． 【变式7-1】（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，长方体中，，，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁走的最短路径． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图与勾股定理．解题的关键在于将几何体展开找到最短路径．将长方体沿剪开，使，，处于同一平面，连接，此时长度最短，在直角三角形中或中，用勾股定理求解再比较大小即可． 【详解】解：如图，展开图如下两种情况： 由题意可知，，处于同一平面，连接、， ∴在中，，， ， 在中，，， ， ∵， ∴蚂蚁的最短路径为． 【变式7-2】如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为的正方形，高为；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）. (1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度； (2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答） 【答案】(1)图见详解， (2)图见详解， 【分析】（1）从底面点开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是60和10，再根据勾股定理求出斜边长即可； （2）求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】（1）解：如图， 将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，， 则为所求的彩带长， ， ， ， 答：彩带的长度是； （2）解：当上面的面与前面的面展成一个平面时，如图， 此时； 当右边的面与前面的面展成一个平面时，如图， 此时； 当上面的面与左边的面展成一个平面时，如图， 此时； 由上可知小刚所需要的彩带最短是． 【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出平面图形是解此题的关键，利用了数形结合思想． 【变式7-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，长方体礼品盒的长为，宽为，高为，．现要在礼品盒上从点到点贴上一条彩带，则这条彩带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不同侧棱展开，分别求得对应的边，利用勾股定理求得对应路径，再结合实数大小比较即可． 【详解】解：将长方体展开成平面图形如图所示: ∵长方体的长为,宽为,高为,CB＝, ∴在图中的长为：， 在图中的长为：， 在图中的长为：， ， ∴这条彩带的长度最短为 故选：A． 【点睛】本题考查了平面展开图象的最短路径问题和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用． 【题型8 圆锥中化体为面求最值】 【例8】（25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为2， 底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． 圆锥的母线长为， ， ∴， 故最短路径长是． 故选：D． 【变式8-1】某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点处开始，绕侧面一周又回到点的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是_____． 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图圆心角的度数，垂径定理，勾股定理解直角三角形，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，根据圆锥的底面圆周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，求得展开后的扇形的圆心角为，进而根据勾股定理和垂径定理即可求解，求得侧面展开图的圆心角是解题的关键． 【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为， ∴， 解得：， ∴侧面展开图的圆心角为， 如图，为圆锥侧面展开图，，的长度即为这条彩带的最短长度， 过点作于点， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这条彩带的最短长度是， 故答案为：． 【变式8-2】如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为_____________． 【答案】/ 【分析】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，最后根据两点之间线段最短即可得． 【详解】画出圆锥侧面展开图如下： 如图，连接、， 设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为， 因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长， 所以， 解得， 则， 又， 是等边三角形， 点为的中点， ，， 在中，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键． 【变式8-3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）圆锥的母线长为，底面圆的半径为． (1)侧面展开图的圆心角度数是_______． (2)如图①，为母线的中点，点在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点爬行到点的最短路径，并求它的长（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥及圆锥的侧面展开图，弧长公式，理解圆锥底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长是解题的关键． （1）先求出侧面展开图的弧长，再根据弧长公式即可求出圆心角的度数； （2）如图2，连接，先证明为等边三角形，再证，最后根据勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：底面圆的半径为， 侧面展开图的弧长， ，解得， 故答案为：； （2）如图2，连接， 的长为，，令， ，解得， ， ， 为等边三角形，即， ， ， 在中，， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理与最值（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 利用垂线段最短求最值】 1 【题型2 利用两点之间线段最短求最值】 2 【题型3 拼接求最值】 3 【题型4 数形结合求最值】 4 【题型5 正方体中化体为面求最值】 6 【题型6 圆柱中化体为面求最值】 8 【题型7 长方体中化体为面求最值】 9 【题型8 圆锥中化体为面求最值】 10 【题型1 利用垂线段最短求最值】 【例1】如图，等边的边长为13，是边上的中线，M是上的动点，E是边上一点，若，的最小值为________．    【变式1-1】（24-25八年级下·全国·阶段检测）直角三角形 中，，，，D点是上一动点，连接，则的最小值 __________________． 【变式1-2】（2025·贵州贵阳·三模）如图，在中，，．点是边上的一点，连接，以为斜边作一个，且，．当点在上运动时，则面积的最小值为___________． 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，点D是三角形内一点且，连接，，以，为邻边作，则面积的最小值为___． 【题型2 利用两点之间线段最短求最值】 【例2】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在正方形中，，点E在上且，点F是边上的动点，则的最小值为______． 【变式2-1】（24-25八年级下·广东汕头·阶段检测）如图，在中，，，，E为上一点，且，平分交于D．若P是上的动点，则的最小值等于______． 【变式2-2】（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，点D，E分别是边上的两点，连接，，已知，，则的最小值是______． 【变式2-3】（2025·河南南阳·二模）如图，在中，，，是平分线上的任意一点，连接．把绕点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值为_______，的最小值为_______． 【题型3 拼接求最值】 【例3】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图，在边长为6的等边三角形中，D为的中点，射线，M，N分别为线段、射线上的点，连接，若，则的最小值为__________． 【变式3-1】（24-25八年级下·四川·期中）如图，在中，，，点P是内一动点，连接，，，则的最小值为________． 【变式3-2】如图，在中，，，，、分别为边、上两个动点．且，连接、，则的最小值是______． 【变式3-3】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）已知是等腰直角三角形，，． (1)如图1，是等腰直角三角形，点D在的延长线上，，连接，求证：； (2)如图，点M在外，，，，求． (3)如图，在中，，，，点P是三角形内一点，连，，，则的最小值是 ． 【题型4 数形结合求最值】 【例4】（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）问题再现 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是　　　； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是　　　； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且，求的最大值． 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为___________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）的最大值是___________； （4）已知正数满足，则___________． 【变式4-2】【问题提出】（1）为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导，如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，设． ①则　　，　　.(用含x的代数式表示)． ②如图2，过点E作交的延长线于F，构造矩形，连接，此时A、C、E三点共线，的值最小，则的最小值=　　． 【迁移应用】（2）如图3，正方形中，点E在边上，点G在边上，且．已知，求的最小值． 【变式4-3】（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，求两个村庄的距离； (2)在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； (3)借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式（）的最小值为_____． ②代数式的最大值为_____． 【题型5 正方体中化体为面求最值】 【例5】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·开学考试）如图，有一个棱长为的正方体盒子，蚂蚁在正方体下方一边的中点P处，发现上方顶点处有一滴蜂蜜，蚂蚁需要沿着正方体盒子的表面从点P爬行到顶点处吃到蜂蜜，它需要爬行的最短距离为_____． 【变式5-1】爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm 【变式5-2】（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图是由若干个棱长为1cm的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点出发，沿几何体的表面爬到点，这只电子蚂蚁爬行的最短路程为_______cm． 【变式5-3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②所示的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【题型6 圆柱中化体为面求最值】 【例6】（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点A爬到点C的最短距离为________． 【变式6-1】（25-26八年级下·福建龙岩·期中）如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为_______． 【变式6-2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走的路程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26八年级上·陕西汉中·阶段检测）综合与实践 如图1，已知圆柱底面的周长为，高为，是圆柱底面的直径，，是圆柱的高，为的中点，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ． (2)求该金属丝的长． (3)其他条件不变，如图2，若在圆柱(空心且上面无盖)的内壁点处有面包屑，一只蚂蚁从圆柱的外壁点处出发，去吃面包屑，求蚂蚁爬行的最短路程． 【题型7 长方体中化体为面求最值】 【例7】（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 【变式7-1】（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，长方体中，，，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁走的最短路径． 【变式7-2】如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为的正方形，高为；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）. (1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度； (2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答） 【变式7-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，长方体礼品盒的长为，宽为，高为，．现要在礼品盒上从点到点贴上一条彩带，则这条彩带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 【题型8 圆锥中化体为面求最值】 【例8】（25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【变式8-1】某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点处开始，绕侧面一周又回到点的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是_____． 【变式8-2】如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为_____________． 【变式8-3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）圆锥的母线长为，底面圆的半径为． (1)侧面展开图的圆心角度数是_______． (2)如图①，为母线的中点，点在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点爬行到点的最短路径，并求它的长（结果保留根号）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $