第3章 3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

**基本信息** 以导数概念为起点，通过分层训练构建“运算-几何意义-综合应用”的逻辑体系，强化数学思维与表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选1-4、多选7|基本求导公式（幂函数、三角函数等）、四则运算法则|从导数定义到运算规则，夯实概念生成基础| |几何意义|单选3-5、填空9|切线方程求解（求导得斜率、点斜式）、切点坐标计算|导数几何意义与曲线切线的关联推导| |综合应用|单选6、填空10、解答11-12、提升13-14|拉格朗日中值定理应用、导数与函数性质（单调性、最值）结合|从单一应用到跨知识点综合，体现知识拓展逻辑|

第三章　一元函数的导数及其应用 课时冲关16　导数的概念及其意义、导数的运算 [基础巩固练] 一、单选题 1．下列函数的求导正确的是(　　) A．(x－2)′＝－2x B．(xcos x)′＝cos x－xsin x C．(ln10)′＝ D．(e2x)′＝2ex 解析：B　[(x－2)′＝－2x－3，∴A错；(xcos x)′＝cos x－xsin x，∴B对；(ln 10)′＝0，∴C错；(e2x)′＝2e2x，∴D错．] 2．一个做直线运动的质点的位移s(m)与时间t(s)的关系式为s＝100t－5t2，则该质点的瞬时速度为0 m/s时，t＝(　　) A．50 s　 B．20 s C．10 s　 D．5 s 解析：C　[由题意知s＝100t－5t2， 则s′＝100－10t， 令s′＝0，则t＝10，即该质点瞬时速度为0 m/s时，时间t＝10 s．] 3．曲线f(x)＝x3－1在x＝1处的切线倾斜角是(　　) A. B. C. D. 解析：B　[设曲线f(x)＝x3－1在x＝1处的切线倾斜角为α， 因为f′(x)＝x2，则f′(1)＝，因为0≤α≤π，因此，α＝.] 4．已知直线y＝ax是曲线y＝ln x的切线，则实数a＝(　　) A. B. C. D. 解析：C　[设切点坐标为(x0，ln x0)，由y＝ln x的导函数为y′＝知切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，即y＝＋ln x0－1.由题意可知解得a＝.] 5．过点P(1,2)作曲线C：y＝的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x＋y－6＝0 C．2x＋y－4＝0 D．x＋2y－5＝0 解析：A　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝，得y′＝－，∴曲线C在A点处的切线方程为y－y1＝－(x－x1)，把P(1,2)代入切线方程，得2－y1＝－(1－x1)，化简得2x1＋y1－8＝0，同理可得曲线C在B点处的切线方程为2x2＋y2－8＝0，∵A，B都满足直线2x＋y－8＝0，∴直线AB的方程为2x＋y－8＝0.] 6．已知a，b为正实数，直线y＝x－2a与曲线y＝ln (x＋b)相切，则＋的最小值是(　　) A．6 B．4 C．8 D．2 解析：C　[设切点为(m，n)， y＝ln (x＋b)的导数为y′＝， 由题意可得＝1， 又n＝m－2a，n＝ln (m＋b)， 解得n＝0，m＝2a， 即有2a＋b＝1，因为a、b为正实数， 所以＋＝(2a＋b)＝2＋2＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当2a＝b＝时取等号， 故＋的最小值为8.] 二、多选题 7．下列求导运算正确的是(　　) A．若y＝(x＋1)ln x，则y′＝ln x＋＋1 B．(cos π)′＝－sin π C.′＝－2xln 2 D．(ln 2x)′＝ 解析：AC　[对于A，若y＝(x＋1)ln x，则y′＝ln x＋＝ln x＋＋1，故A正确； 对于B，(cos π)′＝(－1)′＝0，故B错误； 对于C，′＝′－2xln 2＝－2xln 2，故C正确； 对于D，(ln 2x)′＝＝，故D错误．] 8．已知定义在R上的奇函数f(x)的部分图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f(2)＝－1 B．f(1)·f(2)>4 C．f′(1)·f′(2)<0 D．方程f′(x)＝0无解 解析：BC　[结合函数图象及奇函数性质分别判断各选项即可．由题图可知f(－1)＝2，f(－2)>2，又∵函数f(x)是奇函数，∴f(1)＝－2，f(2)<－2，∴f(1)·f(2)>4，∴B对；由f(x)是奇函数，结合图象可知f′(1)<0，f′(2)>0，∴f′(1)·f′(2)<0，∴C对；由图象可知f(2)＝－f(－2)<－2，f′(x)＝0有解，∴A、D错误．] 三、填空题 9．已知函数f(x)＝aln x(a≠0)，过原点作曲线y＝f(x)的切线l，则切线l的斜率为________． 解析：根据题意得，f′(x)＝，设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝， 所以切线l的方程为y＝(x－x0)＋y0， 将点(0,0)代入，可得0＝(0－x0)＋y0，整理得y0＝a， 故aln x0＝a，解得x0＝e， 故f′(x0)＝，即切线l的斜率为. 答案： 10．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f(x)＝x3－2x在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为________． 解析：∵＝＝2，f′(x)＝3x2－2， 令3x2－2＝2，解得：x＝－∈[－2,2]或x＝∈[－2,2]， ∴f(x)在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2. 答案：2 四、解答题 11．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0， 即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－. 所以a的取值范围为∪. 12．已知函数f(x)＝x2－ln x. (1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． (2)在函数f(x)＝x2－ln x的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意可得f(1)＝1， 且f′(x)＝2x－，f′(1)＝2－1＝1， 则所求切线方程为y－1＝1×(x－1)， 即y＝x. (2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1，x2∈， 不妨设x1<x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得·＝－1， 又函数f′(x)＝2x－在区间上单调递增，函数的值域为[－1,1]， 故－1≤2x1－<2x2－≤1， 所以 解得x1＝，x2＝1， 故存在两点，(1,1)满足题意． [能力提升练] 13．已知ln x1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln 2＝0，则 的最小值为(　　) A. B. C. D. 解析：B　[的最小值可转化为函数y＝ln x－x＋2图象上的点与直线x＋2y－4－2ln 2＝0上的点的距离的最小值，由y＝ln x－x＋2，可得y′＝－1，与直线x＋2y－4－2ln 2＝0平行的直线的斜率为－，令－1＝－，得x＝2，所以切点的坐标为(2，ln 2)，切点到直线x＋2y－4－2ln 2＝0的距离d＝＝.] 14．(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3. (1)若b＝0，且f′(x)≥0，求a的最小值； (2)证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形； (3)若f(x)＞－2，当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围． 解：(1)∵＞0，∴f(x)的定义域为(0,2)． b＝0时，f′(x)＝＋＋a≥0，即a≥－－，由＋＝，即a≥max，又因为在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴当x＝1时，≤－2，∴a≥－2，故a的最小值为－2. (2)由y＝ln关于(1,0)中心对称，y＝ax关于(1，a)中心对称， y＝b(1－x)3关于(1,0)中心对称知：f(x)关于(1，a)中心对称，下证其成立：f(1＋x)＋f(1－x)＝ln＋2a(1＋x)＋bx3＋ln＋2a(1－x)＋b(－x)3＝2a，故结论成立． (3)由函数的连续性及题意知：f(1)＝－2，代入原函数，得a＝－2， 所以f(x)＝ln x－ln(2－x)－2x＋b(x－1)3,0＜x＜2， f′(x)＝＋－2＋3b(x－1)2 ＝(x－1)2， 由≥－2，故b≥－时，f′(x)>0，f(x)单调递增，f(x)>f(1)＝－2，x∈(1,2)， 当b<－时，f′(1)＝0， f′(x)＝(x－1)2 ＝(x－1)2， 令f′(x)＝0， ∵1＜x＜2，∴－3bx2＋6bx＋2＝0，得x＝x1，x2(x1≤x2)， 且x1＋x2＝－＝2，x1·x2＝， 故x1<1<x2，从而f(x)在(1，x2)上单调递减， f(x2)<f(1)＝－2，不满足题意．综上：b≥－. 学科网（北京）股份有限公司 $