第2章 2.9 函数的零点与方程的解（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

**基本信息** 以分段函数、二分法、数形结合为核心，系统构建零点与方程解的解题方法体系，逻辑覆盖定义应用到综合转化，培养数学抽象与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础定义应用|1-4题|分段函数零点分区间讨论；零点与方程解等价转化|从零点定义出发，结合函数定义域与单调性推导解的存在性| |二分法操作|2、8题|区间判断（函数值异号）；中点函数值计算|基于零点存在定理，形成“定区间-取中点-判符号”的操作流程| |数形结合分析|3、6、7、10题|函数图象交点法；对称性质应用（如零点之和）|通过函数图象直观化方程解，建立“数”与“形”的转化桥梁| |综合问题转化|5、12、13题|复合方程分解（如[f(x)]²=0转化为f(x)=a）；方程结构变形（如e¹⁻ˣ转化为eᵗ）|整合函数性质与方程思想，提升复杂问题的化归能力|

课时冲关14　函数的零点与方程的解 [基础巩固练] 一、单选题 1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　) A.，0　　　　　　 B．－2,0 C. D．0 解析：D　[当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0； 当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0， 解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解． 综上，函数f(x)的零点只有0.] 2．用二分法求方程log4 x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(　　) A．(0,1)　　　　　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：B　[令f(x)＝log4x－，因为函数y＝log4x，y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)＝log4x－在(0，＋∞)上单调递增，f(1)＝－<0，f(2)＝log42－＝－＝>0，所以函数f(x)＝log4x－在区间(1,2)上有唯一零点，所以用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1,2)．] 3．已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围为(　　) A．(－1,0) B．{－1}∪(0，＋∞) C．[－1,0)∪(0，＋∞) D．(0,1) 解析：B　[在同一平面直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时， 直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即此时函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点．] 4．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－∞，1) C．(－1,0) D．[－1,0) 解析：D　[当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.] 5．关于函数f(x)＝其中a，b∈R，给出下列四个结论： 甲：5是该函数的零点； 乙：4是该函数的零点； 丙：该函数的所有零点之积为0； 丁：方程f(x)＝1有两个不等的实根． 若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是(　　) A．甲　　 B．乙 C．丙　　 D．丁 解析：B　[当x∈[3.5，＋∞)时，f(x)＝b－x为减函数，故5和4只有一个是函数的零点，即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确．由所有零点之积为0，结合分段函数的性质知，必有一个零点为0，则f(0)＝log22－a＝0，可得a＝1.①若甲正确，则f(5)＝b－5＝0，则b＝5， 可得f(x)＝由f(x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1,0≤x<3.5或5－x＝1，x≥3.5，解得x＝2或x＝4，方程f(x)＝1有两个不等的实根，故丁正确；②若乙正确，则f(4)＝0，即b－4＝0，则b＝4，可得f(x)＝由f(x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1,0≤x<3.5或4－x＝1，x≥3.5，解得x＝2，方程f(x)＝1只有一个实根，故丁错误，不满足题意．综上，甲正确，乙错误．] 二、多选题 6．已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－a，则下列结论正确的是(　　) A．若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1,2) B．若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0,1) C．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，则x3＋x4＝4 D．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，则x3x4的取值范围是 解析：BCD　[令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，所以g(x)的零点个数为函数y＝f(x)与y＝a图象的交点个数，作出函数y＝f(x)的图象如图， 由图可知，若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1,2)∪{0}，故A错误；若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0,1)，故B正确；若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，此时x3，x4关于直线x＝2对称，所以x3＋x4＝4，故C正确；由C项可知x3＝4－x4，所以x3x4＝(4－x4)x4＝－x＋4x4，由于g(x)有4个不同的零点，a的取值范围是(0,1)，故0<－4x＋16x4－13<1，所以<－x＋4x4<，故D正确．] 7．已知函数f(x)＝|2x－2|＋b的两个零点分别为x1，x2(x1>x2)，则下列结论正确的是(　　) A．1<x1<2 B．x1＋x2<1 C．x1＋x2<2 D．x1＜1 解析：AC　[函数f(x)＝|2x－2|＋b有两个零点，即y＝|2x－2|的图象与直线y＝－b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2(x1>x2)，在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝－b的图象如图所示， 可知1<x1<2, ，即4＝，所以＜4，所以x1＋x2＜2.] 三、填空题 8．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________． 解析：因为f(0)<0，f(0.5)>0，由二分法原理得一个零点x0∈(0,0.5)；第二次应计算f＝f(0.25)． 答案：(0,0.5)　f(0.25) 9．已知函数f(x)＝，函数g(x)＝m－f(3－x)，其中m∈R，若函数y＝g(x)恰有3个零点，则m的取值范围是________． 解析：令g(x)＝m－f(3－x)＝0，得f(3－x)＝m， 若3－x≤3，则x≥0，f(3－x)＝2－|3－x|； 若3－x＞3，则x＜0，f(3－x)＝(3－x－3)2＝x2. 所以y＝f(3－x)＝＝＝， 画出其图象如图所示， 当x＝3时，y＝2. 由图可知，要使函数y＝g(x)恰有3个零点，即y＝m与y＝f(3－x)的图象有3个交点， 则m的取值范围是(0,2)． 答案：(0,2) 四、解答题 10．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x. (1)写出函数y＝f(x)的解析式． (2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围． 解：(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝x2＋2x.又因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.所以f(x)＝ (2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1＜a＜1，故a的取值范围为(－1,1)． 11．函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2,3. (1)求b，c的值； (2)若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1,2)，(2,4)内，求m的取值范围． 解：(1)2,3为方程x2＋bx＋c＝0的两根， ∴∴ ∴f(x)＝x2－5x＋6. (2)g(x)＝x2＋(m－5)x＋6， 依题意 解得－<m<0， 故实数m的取值范围是. [能力提升练] 12．[多选]已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2－(2a＋1)f(x)＋a2＋a＝0有6个不同的实根，则实数a的可能取值是(　　) A．－ B. C. D．2 解析：BC　[当x<0时，f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，作出f(x)的图象，如图所示． [f(x)]2－(2a＋1)f(x)＋a2＋a＝[f(x)－a][f(x)－a－1]＝0，即f(x)＝a与f(x)＝a＋1共有6个不等实根，由图可知，若使f(x)＝a与f(x)＝a＋1共有6个不等实根，只需满足即0<a<1.] 13．设x1满足ex＋x－3＝0，x2满足e1－x－x－2＝0，则＝________. 解析：令函数f(x)＝ex＋x－3，而函数y＝ex，y＝x－3在R上都是增函数，因此函数f(x)是增函数， 由x2满足e1－x－x－2＝0，得－x2－2＝0，即＋(1－x2)－3＝0，于是f(1－x2)＝0， 由x1满足ex＋x－3＝0，得f(x1)＝0，因此f(x1)＝0＝f(1－x2)，而函数f(x)在R上递增， 于是x1＝1－x2，即x1＋x2＝1，所以＝e. 答案：e 学科网（北京）股份有限公司 $