第2章 2.7 对数与对数函数（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

**基本信息** 以对数函数概念为起点，通过定义法、单调性分析、复合函数拆解等方法，系统构建从基础到综合应用的解题体系，强化数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|定义域、比较大小、图像识别等|定义法求定义域、单调性比较大小、图像平移与性质结合、复合函数内外层分析|对数定义→函数性质→复合应用| |能力提升练|函数最值、新定义问题|换元法转化、新定义问题的概念迁移|对数与指数互化→函数最值→实际应用与新定义拓展|

课时冲关12　对数与对数函数 [基础巩固练] 一、单选题 1．函数f(x)＝的定义域是(　　) A．(－3,0) B．(－3,0] C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3,0) 解析：A　[因为f(x)＝，所以要使函数f(x)有意义，需使即－3<x<0.] 2．已知a＝log3，b＝30.7，c＝sin 3，则(　　) A．a＞b＞c　　　　 B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a 解析：D　[因为log3＜log31＝0，所以a＜0， 因为30.7＞30＝1，所以b＞1， 因为＜3＜π，所以0＜sin 3＜1，即0＜c＜1， 所以b＞c＞a.] 3．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A．a＞1，c＞1 B．a＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1 解析：D　[由对数函数的性质得0＜a＜1，因为函数y＝loga(x＋c)的图象在c＞0时是由函数y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，所以根据题中图象可知0＜c＜1.] 4．若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C. D．1 解析：B　[由题意知g(x)＝ln是奇函数，而f(x)＝(x＋a)g(x)为偶函数，有f(－x)＝(－x＋a)g(－x)＝－(－x＋a)g(x)＝(x＋a)g(x)＝f(x)，故x－a＝x＋a，则a＝0.故选B.] 5．已知函数f(x)＝，若f(lg(log310))＝a，则f(lg(lg 3))＝(　　) A．ea－1 B．3a－1 C．e1－3a D．1－a 解析：D　[f(x)＝定义域为R，且f(－x)＋f(x)＝＋＝1，又lg(log310)＝－lg(lg 3)，所以f(lg(lg 3))＋f(lg(log310))＝1，所以f(lg(lg 3))＝1－a.] 6．函数f(x)＝log2(2x)与g(x)＝2－x在同一直角坐标系下的图象大致是(　　) 解析：B　[∵f(x)＝log2(2x)＝1＋log2x为定义域上的增函数，g(x)＝2－x为定义域上的增函数，∴A，C错误；∴g(0)＝2－0＝1，故D错误；只有B相符．] 7．已知函数f(x)＝loga(3－x)＋loga(x＋1)(0＜a＜1)，若f(x)的最小值为－2，则a＝(　　) A.　　 B. C.　　　 D. 解析：C　[由，得－1＜x＜3， 所以函数f(x)＝loga(3－x)＋loga(x＋1)(0＜a＜1)定义域为(－1,3)， 因为y＝loga(3－x)＋loga(x＋1)＝loga[(3－x)(x＋1)]，由外层函数y＝logat(0＜a＜1)和内层函数t＝(3－x)(x＋1)复合而成， 当－1＜x＜1时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以f(x)单调递减， 当1＜x＜3时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以f(x)单调递增， 所以f(x)min＝f(1)＝loga4＝－2，所以a＝±，又因为0＜a＜1，所以a＝.] 二、多选题 8．已知函数y＝logax(a＞0且a≠1)与y＝logb(－x)(b＞0且b≠1)的图象关于坐标原点对称，则函数y＝ax与y＝logbx的大致图象可能是(　　) 解析：AC　[在函数y＝logax的图象上任取点(x，y)，则点(－x，－y)在y＝logb(－x)的图象上， 即，于是logbx＝－logax＝对任意x＞0成立，则b＝， 当0＜a＜1时，函数y＝ax是R上的减函数，b＞1，则y＝logbx是(0，＋∞)上的增函数，C符合，D不符合； 当a＞1时，函数y＝ax是R上的增函数，0＜b＜1，则y＝logbx是(0，＋∞)上的减函数，A符合，B不符合．] 9．关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最大值为1 B．f(x)在区间(0,2)上单调递增 C．f(x)的图象关于直线x＝2对称 D．f(x)的图象关于点(2,0)对称 解析：BC　[函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0＜x＜4) 当x＝2时，4x－x2取到最大值4， 故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2，A错误； f(x)＝log2(4x－x2)(0＜x＜4)可以看作是由函数y＝log2u，u＝－x2＋4x(0＜x＜4)复合而成， 而y＝log2u是定义域上的增函数，u＝－x2＋4x(0＜x＜4)在(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减， 故f(x)在区间(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，故B正确； 因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，C正确； 因为f(4－x)＋f(x)＝log2(4－x)＋log2x＋f(x)＝2f(x)＝0不恒成立，故f(x)的图象不关于点(2,0)对称，D错误．] 三、填空题 10．若实数x、y满足lg x＝m， y＝101－m，则xy＝______________. 解析：由lg x＝m，得x＝10m， 所以xy＝10m·101－m＝10m＋1－m＝10. 答案：10 11．一种药在病人血液中的量保持1 000 mg以上才有疗效，而低于500 mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2 000 mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过__________小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，精确到0.1 h) 解析：设x h后血液中的药物量为y mg， 则有y＝2 000x， 令y≥1 000得： x≤≈≈6.6， 故从现在起经过6.6 h内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效． 答案：6.6 四、解答题 12．设f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212. (1)求a，b的值； (2)当x∈[1,2]时，求f(x)的最大值． 解：(1)因为f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1， f(2)＝log212，所以 即解得a＝4，b＝2. (2)由(1)得f(x)＝log2(4x－2x)，令t＝4x－2x，则t＝4x－2x＝2－，因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4，所以≤2≤，即2≤t≤12，因为y＝log2t在[2,12]上单调递增，所以ymax＝log212＝2＋log23，即函数f(x)的最大值为2＋log23. 13．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1. (1)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (2)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集． 解：(1)f(x)是奇函数，证明如下：因为f(x) ＝loga(x＋1)－loga(1－x)，所以 解得－1<x<1，f(x)的定义域为(－1,1)． f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x) ＝－[loga(1＋x)－loga(－x＋1)]＝－f(x)， 故f(x)是奇函数． (2)因为当a>1时，y＝loga(x＋1)是增函数，y＝loga(1－x)是减函数，所以当a>1时， f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，f(x)>0即loga(x＋1)－loga(1－x)>0，loga>0，>1，>0,2x(1－x)>0，解得0<x<1，故使f(x)>0的x的解集为(0,1)． [能力提升练] 14．函数f(x)＝x1－ln x，x∈(1，e)的最大值为(　　) A．e2 B．e C． D． 解析：D　[由f(x)＝x1－ln x，x∈(1，e)，设y＝f(x)＝x1－ln x，x∈(1，e)， 故ln y＝(1－ln x)ln x，x∈(1，e)， 令t＝ln x，x∈(1，e)，∴t∈(0,1)， 则ln y＝－t2＋t＝－2＋，t∈(0,1)， 当t＝时，ln y＝－2＋取到最大值，故y的最大值为，即函数f(x)＝x1－ln x，x∈(1，e)的最大值为.] 15．[多选]将正数x用科学记数法表示为x＝a×10m，a∈[1,10)，m∈Z，则lg x＝m＋lg a，我们把m，lg a分别叫做lg x的首数和尾数，若将lg x的首数记为S(x)，尾数记为W(x)，则下列说法正确的是(　　) A．W(x)∈[0,1) B．W(x)(x＞0)是周期函数 C．若x，y＞0，则S(xy)≥S(x)＋S(y) D．若x＞y＞0，则W＝W(x)－W(y) 解析：AC　[对于A，因为a∈[1,10)， 所以W(x)＝lg a∈[0,1)，故A正确； 对于B，若W(y)＝W(x)，必有y＝x·10k(k∈Z)，不可能存在非零常数T，使得x＋T＝x·10k恒成立，不符合周期函数的定义，故B错误； 对于C，设x＝a×10m，y＝b×10n(a，b∈[1,10)，m，n∈Z)，则S(x)＝m，S(y)＝n，xy＝ab×10m＋n，若1≤ab＜10，则S(xy)＝m＋n，若10≤ab＜100，则xy＝×10m＋n＋1，S(xy)＝m＋n＋1，所以S(xy)≥S(x)＋S(y)，故C正确； 对于D，设x，y同选项C，W(x)＝lg a，W(y)＝lg b，＝×10m－n，若1≤＜10，则W＝lg＝lg a－lg b，若＜＜1，则＝×10m－n－1，W＝lg＝lg a－lg b＋1，所以W≥W(x)－W(y)，故D错误．] 学科网（北京）股份有限公司 $