第2章 2.2 函数的单调性与最值（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

**基本信息** 聚焦函数单调性与最值，通过定义法、分段讨论等方法体系，构建从基本函数到抽象函数的知识逻辑链，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|12题|定义法证明单调性、分段函数单调性分析、抽象函数赋值法、复合函数单调性判断|从一次/二次/绝对值函数单调性，到复合函数、分段函数，再到单调性应用（解不等式、参数范围），形成概念理解-性质应用递进链| |能力提升练|2题|构造新函数判断单调性、“完美区间”问题转化|结合创新题型（如“k倍美好区间”），深化单调性与函数值域综合应用，发展创新意识与逻辑推理|

课时冲关7　函数的单调性与最值 [基础巩固练] 一、单选题 1．下列函数中，在区间(－∞，0)上单调递减的是(　　) A．f(x)＝x　　　　　 B．f(x)＝－ C．f(x)＝x2＋2x D．f(x)＝|x| 解析：D　[在(－∞，0)上，f(x)＝x单调递增，f(x)＝－单调递增， f(x)＝x2＋2x在(－∞，－1)上单调递减， 在(－1,0)上单调递增， x＜0时，f(x)＝|x|＝－x单调递减．] 2．函数f(x)＝(1－x)·|2－x|的单调递增区间为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[函数f(x)＝(1－x)·|2－x|＝， 当x≥2时，f(x)＝－x2＋3x－2在[2，＋∞)上单调递减， 当x＜2时，f(x)＝x2－3x＋2在上单调递减，在上单调递增， 所以函数f(x)的单调递增区间为.] 3．已知f(x)＝2x＋x，则“f(x1)＝f(x2)”是“x1＝x2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[因为函数y＝2x，y＝x在R上单调递增，则函数f(x)＝2x＋x在R上单调递增， 则“f(x1)＝f(x2)”可以推出“x1＝x2”，“x1＝x2”也可推出“f(x1)＝f(x2)”， 故“f(x1)＝f(x2)”是“x1＝x2”的充要条件．] 4．函数f(x)是R上的单调函数且对任意的实数都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，f(4)＝5，则不等式f(1－2m)＜3的解集是(　　) A. B. C．(－∞，3) D. 解析：B　[∵对任意的实数都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1， ∴f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，即f(2)＝3， ∵f(2)＝3，f(4)＝5，函数f(x)是R上的单调函数， ∴函数f(x)是R上的单调增函数，∴f(1－2m)＜3＝f(2)， 即1－2m＜2，解得m＞－， 即不等式f(1－2m)＜3的解集为.] 5．已知函数f(x)＝若f(2a)≤f(6－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．(－∞，2] C．[－2，＋∞) D．(－∞，2) 解析：B　[化简得到f(x)＝ ∴函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增， ∵0＜＜1，∴y＝x在区间(－∞，0)上单调递减，∴函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递增， 又因为0＋1＞－0，∴函数f(x)在区间R上单调递增， ∵f(2a)≤f(6－a)， ∴2a≤6－a，∴a≤2.] 6．已知奇函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝xf(x)，则(　　) 解析：B　[由奇函数f(x)是R上的增函数可得，当x＞0时，f(x)＞0， 又g(x)＝xf(x)，则g(－x)＝－xf(－x) ＝xf(x)＝g(x)， 即g(x)为偶函数，且当x＞0时单调递增， 根据偶函数的对称性可知，当x＜0时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大， 二、多选题 7．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论错误的是(　　) A．y＝在R上为减函数 B．y＝|f(x)|在R上为增函数 C．y＝－在R上为增函数 D．y＝－f(x)在R上为减函数 解析：ABC　[对于A，若f(x)＝x，则y＝＝，在R上不是减函数，故A错误；对于B，若f(x)＝x，则y＝|f(x)|＝|x|，在R上不是增函数，故B错误；对于C，若f(x)＝x，则y＝－＝－，在R上不是增函数，故C错误；对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x1<x2，必有f(x1)<f(x2)，对于y＝－f(x)，则有y1－y2＝[－f(x1)]－[－f(x2)]＝f(x2)－f(x1)>0，则y＝－f(x)在R上为减函数，故D正确．] 8．已知函数f(x)＝，则下列选项中正确的是(　　) A．f(－x)＝f(x) B．函数f(x)的值域为[－1,1] C．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，有＞0 D．∀x∈R，“a≥1”是“f(a2)≥f(sin x)”的充分不必要条件 解析：CD　[对A：f(－x)＝＝＝－f(x)，故A错误； 对B：由f(x)＝＝1－，因为≠0，所以f(x)≠1，故B错误； 对C：由f(x)＝＝1－，对于∀x1，x2∈R，且x1＜x2， 因为x1＜x2，所以，即＞0，又因为＞0， 所以f(x2)－f(x1)＞0，所以函数f(x)在其定义域R上为增函数， 所以∀x1，x2∈R且x1≠x2，有＞0，故C正确； 对D：充分性：当a≥1，因为－1≤sin x≤1，由f(x)为增函数，所以f(a2)≥f(sin x)，故充分性满足； 必要性：由f(x)为增函数，当f(a2)≥f(sin x)恒成立，因为－1≤sin x≤1， 所以a2≥1，解得a≥1或a≤－1，故必要性不满足； 综上可知“a≥1”是“f(a2)≥f(sin x)”的充分不必要条件，故D正确．] 三、填空题 9．函数f(x)＝的单调递增区间为________． 解析：f(x)＝＝＝2－， 由2x＋3≠0，得x≠－， 当x∈时，y＝单调递减，f(x)单调递增； 当x∈时，y＝单调递减，f(x)单调递增， 所以f(x)的单调增区间为，. 答案：， 10．设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 解析：作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a＋1≤2或a≥4，即a≤1或a≥4. 答案：(－∞，1]∪[4，＋∞) 四、解答题 11．已知函数f(x)＝－x，x∈(0，＋∞)． (1)判断并证明f(x)在(0，＋∞)上的单调性； (2)解不等式f＞f(1)． 解：(1)f(x)在(0，＋∞)上单调递减，理由如下： 设∀x1，x2满足0＜x1＜x2， f(x1)－f(x2)＝－＝－(x1－x2) ＝－(x1－x2) ＝(x2－x1) ∵0＜x1＜x2， ∴x2－x1＞0，＋1＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0， ∴f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减． (2)∵f(1)＝2，则令f(m)＝2，解得m＝1或－3， ∵m＞0， ∴m＝1，故只有f(1)＝2. ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 且f＞2＝f(1)， ∴0＜＜1， ∴解得－1＜x＜1， 即不等式解集为(－1,1)． 12．已知f(x)＝(x≠a)． (1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)证明：设x1＜x2＜－2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. ∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， ∴f(x1)＜f(x2)， ∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)f(x)＝＝＝1＋， 当a＞0时，f(x)在(－∞，a)，(a，＋∞)上是减函数， 又f(x)在(1，＋∞)内单调递减， ∴0＜a≤1，故实数a的取值范围是(0,1]． [能力提升练] 13．若函数f(x)是定义域为R，且对∀x1，x2∈R，且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＜x2－x1成立，则不等式f(x)－f(2－x)＋2x＞2的解集为(　　) A．{x|x＞－1} B．{x|x＞0} C．{x|x＞1} D．{x|x＞2} 解析：C　[欲求f(x)－f(2－x)＋2x＞2的解集，只需求f(x)＋x＞f(2－x)＋2－x解集即可，令g(x)＝f(x)＋x， 故求g(x)＞g(2－x)的解集即可， 因为∀x1，x2∈R，x1＜x2，f(x1)－f(x2)＜x2－x1， 所以f(x1)＋x1＜f(x2)＋x2，即g(x1)＜g(x2)， 故得g(x)在R上单调递增，则求x＞2－x的解集即可， 解得x＞1，则不等式f(x)－f(2－x)＋2x＞2的解集为{x|x＞1}，故C正确．] 14．[多选]一般地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，则称[a，b]为f(x)的“k倍美好区间”，特别地，若函数的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f(x)的“完美区间”．下列结论正确的是(　　) A.是函数f(x)＝的“完美区间” B．若[2，b]为f(x)＝x2－4x＋6的“完美区间”，则b＝6 C．二次函数f(x)＝－x2＋存在“2倍美好区间” D．函数f(x)＝存在“完美区间”，则实数m的取值范围为(2，＋∞)∪{0} 解析：ACD　[对于A，函数f(x)＝在上单调递减，所以值域也是，故A正确； 对于B，因为函数f(x)＝x2－4x＋6的对称轴为x＝2，图象开口向上， 故函数f(x)在[2，b]上单调递增，所以其值域为[2，b2－4b＋6]， 又因为[2，b]为f(x)＝x2－4x＋6的完美区间， 所以b2－4b＋6＝b，解得b＝2或b＝3，因为b＞2，所以b＝3，B错误； 对于C，若f(x)＝－x2＋存在“2倍美好区间”， 则设定义域为[a，b]，值域为[2a,2b]， 当0＜a＜b时，易得f(x)＝－x2＋在区间上单调递减， ，两式相减，得a＋b＝4，代入方程组解得a＝1，b＝3，C正确； 对于D，f(x)的定义域为{x|x≠0}，假设函数f(x)＝＝存在“完美区间”[a，b]， 若b＜0，由函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则，解得m＝0； 若a＞0，由函数f(x)在(0，＋∞)内单调递增，则， 即x＝m－在(0，＋∞)有两解a，b，得m＞2， 故实数m的取值范围为(2，＋∞)∪{0}，D正确．] 学科网（北京）股份有限公司 $