第1章 1.5 一元二次方程、不等式（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与不等式的系统性突破，通过基础巩固与能力提升分层训练，提炼因式分解、分类讨论等核心方法，构建“概念-解法-应用”的逻辑链条，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|12题|因式分解法解不等式、分式不等式转化、韦达定理应用、二次函数恒成立分析|从一元二次方程根的性质到不等式求解，再到含参问题分类讨论，形成“方程-不等式-函数”的关联链| |能力提升练|2题|解集区间长度计算、根与系数关系综合应用|深化参数问题与综合运算，体现从基础到复杂情境的思维进阶|

课时冲关5　一元二次方程、不等式 [基础巩固练] 一、单选题 1．一元二次不等式－2x2＋5x－2＞0的解集是(　　) A.　　　 B. C．{x|x＜2} D．R 解析：B　[不等式－2x2＋5x－2＞0即2x2－5x＋2＜0可化为(2x－1)(x－2)＜0， 解得＜x＜2， 所以不等式的解集为.] 2．不等式≥1的解为(　　) A．{x|0＜x≤1} B．{x|x＜0或x≥1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|x≤0或x≥1} 解析：A　[由≥1，得－1≥0，即≥0，因此，解得0＜x≤1， 所以原不等式的解集为{x|0＜x≤1}．] 3．若0＜t＜1，则关于x的不等式(t－x)＞0的解集为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[因为0＜t＜1，所以t＜，所以(t－x)＞0⇔(x－t)＜0，解得t＜x＜.] 4．“一元二次方程(x－a)(x－a－1)＝0有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是(　　) A．－2＜a＜0 B．－1＜a＜0 C．－＜a＜0 D．－1≤a≤0 解析：C　[由一元二次方程(x－a)(x－a－1)＝0的两个根为a，a＋1， 又方程有一个正实数根和一个负实数根， ∴，∴－1＜a＜0， 即“一元二次方程(x－a)(x－a－1)＝0有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件为a∈(－1,0)，则其充分不必要条件a的范围应为(－1,0)的真子集，结合选项可得选项C符合题意．] 5．若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为(　　) A．[5,6] B．(5,6] C．[5,6) D．(5,6) 解析：B　[关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0可化为(x－m)(x－2)＜0， 该不等式的解集中恰有3个正整数，所以m＞2， ∴不等式的解集为{x|2＜x＜m}，且5＜m≤6， 即实数m的取值范围是(5,6]．] 6．当x∈(－1,1)时，不等式2kx2－kx－＜0恒成立，则k的取值范围是(　　) A．(－3,0) B．[－3,0) C. D. 解析：D　[当x∈(－1,1)时，不等式2kx2－kx－＜0恒成立， 当k＝0时，满足不等式恒成立； 当k≠0时，令f(x)＝2kx2－kx－，则f(x)＜0在(－1,1)上恒成立， 函数f(x)的图象抛物线对称轴为x＝， k＞0时，f(x)在上单调递减， 在上单调递增， 则有，解得0＜k≤； k＜0时，f(x)在上单调递增， 在上单调递减， 则有f＝－－＜0，解得－3＜k＜0. 综上可知，k的取值范围是.] 二、多选题 7．已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1＞0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，则下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝2 B．x1x2＜－3 C．－1＜x1＜x2＜3 D．x2－x1＞4 解析：ABD　[关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1＞0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，所以a＜0，且x1，x2是一元二次方程a(x＋1)(x－3)＋1＝0，即ax2－2ax＋1－3a＝0的两根，所以x1＋x2＝2，选项A正确．x1x2＝＝－3＜－3，选项B正确．x2－x1＝＝＝2＞4，选项D正确．由x2－x1＞4，可得x1＜－1.x2＞3，选项C错误．] 8．已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－2或x≥1}，则(　　) A．b＞0且c＜0 B．4a＋2b＋c＝0 C．不等式bx＋c＞0的解集为{x|x＞2} D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集为 解析：AC　[由题意可知 则 所以b＞0且c＜0，故A正确；4a＋2b＋c＝4a＋2a－2a＝4a＞0，故B错误；不等式bx＋c＞0，即ax－2a＞0，解得x＞2，故C正确；不等式cx2－bx＋a＜0，即－2ax2－ax＋a＜0，即－a(2x－1)(x＋1)＜0，又a＞0，可得(2x－1)(x＋1)＞0，所以x＞或x＜－1，故D错误．] 三、填空题 9．已知关于x的不等式x2－2ax－a＞0的解集为R，则实数a的取值范围是________． 解析：因为关于x的不等式x2－2ax－a＞0的解集为R， 所以Δ＝4a2＋4a＜0，解得－1＜a＜0， 即实数a的取值范围是(－1,0)． 答案：(－1,0) 10．已知不等式ax2－bx－1＞0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________． 解析：因为不等式ax2－bx－1＞0的解集是， 所以－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个实数根且a＜0. 所以 解得 所以不等式x2－bx－a≥0可化为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3，即不等式x2－bx－a≥0的解集为(－∞，2]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，2]∪[3，＋∞) 四、解答题 11．已知不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}． (1)求实数a，b的值； (2)解不等式＞2. 解：(1)由题意得1，b为方程ax2－3x＋2＝0的两根，且a＞0， 故1＋b＝，b＝，解得a＝1，b＝2； (2)由(1)得a＝1，b＝2， ＞2⇒－2＞0⇒＞0， 等价于(1－3x)(2x＋1)＞0，解得－＜x＜， 所以不等式的解集为 12．已知关于x的不等式kx2－(3k2＋1)x＋3k＜0(其中k∈R)． (1)若不等式的解集为{x|1＜x＜3}，求k的值； (2)若k≤0，试求该不等式的解集． 解：(1)由条件知k＞0且1,3是方程kx2－(3k2＋1)x＋3k＝0的两个根， 所以由韦达定理可得1＋3＝，1×3＝，解得k＝1或， 当k＝1或时，方程均化为x2－4x＋3＝0，此时Δ＝42－4×3＝4＞0， 符合条件，所以k＝1或. (2)因式分解得(kx－1)(x－3k)＜0 当k＝0时，不等式为－x＜0，解集为{x|x＞0}； 当k＜0时，方程(kx－1)(x－3k)＝0的根为，3k. 作差比较3k－＝＝ 若－＜k＜0，则y＝(kx－1)(x－3k)开口向下且3k＞， 不等式的解集为； 若k＝－，则y＝(kx－1)(x－3k)的图象开口向下且与x轴有唯一公共点(－，0)， 故不等式的解集为{x|x≠－}； 若k＜－，则y＝(kx－1)(x－3k)开口向下且3k＜， 不等式的解集为. 综上所述，k＝0时，解集为{x|x＞0}；－＜k＜0时，解集为； k＝－时，解集为{x|x≠－}；k＜－时，解集为. [能力提升练] 13．已知不等式x2－ax＋1＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，且(x1－1)2＋(x2－1)2＝3，则a＝(　　) A．－1 B．1 C．3 D．－1或3 解析：C　[不等式x2－ax＋1＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则x1和x2是方程x2－ax＋1＝0的两根， 则Δ＝a2－4＞0，解得a＞2或a＜－2， 有x＋1＝ax1，x＋1＝ax2，x1＋x2＝a，x1x2＝1， (x1－1)2＋(x2－1)2＝x－2x1＋1＋x－2x2＋1＝ax1－2x1＋ax2－2x2 ＝(a－2)(x1＋x2)＝a(a－2)＝3， 即a2－2a－3＝0，解得a＝3.] 14．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”，已知关于x的不等式x2－kx＋2k＜0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为________． 解析：不等式x2－kx＋2k＜0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k＞0，解得k＞8或k＜0. 设x2－kx＋2k＝0的两根为x1，x2，不妨令x1＜x2，则x1＋x2＝k，x1x2＝2k. 由题意得：x2－x1＝＝≤3，解得：－1≤k≤9，结合k＞8或k＜0，所以实数k的取值范围为[－1,0)∪(8,9]． 答案：[－1,0)∪(8,9] 学科网（北京）股份有限公司 $