第1章 1.1 集合（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

**基本信息** 聚焦集合核心素养，以分层训练构建“概念-运算-应用”逻辑链，提炼特殊值验证、容斥原理等实用方法 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|8单选+3多选+3填空|特殊值验证法、观察法、Venn图分析、分类讨论|从集合定义到交并补运算，再到子集关系判断，形成“概念生成-运算规则-关系应用”递进| |能力提升练|1多选+1填空|新定义集合分析、容斥原理应用、累积值分类|结合创新题型（和谐集合、累积值），深化数学抽象与逻辑推理，衔接高考命题趋势|

第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 课时冲关1　集合 [基础巩固练] 一、单选题 1．(2025·北京卷)集合M＝{x|2x－1>5}，N＝{1,2,3}，则M∩N＝(　　) A．{1, 2,3}　　　　　 B．{2,3} C．{3} D．∅ 解析：D　[先求出集合M，再根据集合的交集运算即可解出．因为M＝{x|2x－1＞5}＝{x|x＞3}，所以M∩N＝∅.] 2．已知集合U＝{x|x是不大于9的正整数}，A＝{1,3,5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A．0　　 B．3 C．6　　 D．9 解析：C　[由题知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，所以∁UA＝{2,4,6,7,8,9}，有6个元素．] 3．已知集合A＝{x|x2－3x－10＜0}，则(　　) A．－4∈A B．－2∈A C．3∈A D．5∈A 解析：C　[由题得A＝{x|(x＋2)(x－5)＜0}＝{x|－2＜x＜5}，结合各选项可知，A，B，D错误，C正确．] 4．设集合M＝，N＝，则(　　) A．MN B．NM C．M＝N D．M∩N＝∅ 解析：B　[方法一(特殊值验证法)：因为0∈M,0∉N，所以A，C不正确；因为∈M，∈N，所以D不正确． 方法二(观察法)：集合M＝，N＝，(k∈Z)的分子表示所有整数，(k∈Z)的分子表示所有奇数，显然奇数是整数的一部分，所以NM.] 5．已知集合M＝{x|0＜x＜2}，N＝{a＋1}，若M∪N＝M，则实数a的取值范围是(　　) A．(0,2) B．(－∞，0) C．(－1,1) D．(1，＋∞) 解析：C　[由M∪N＝M，则N⊆M，又M＝{x|0＜x＜2}，所以0＜a＋1＜2，则－1＜a＜1.] 6．已知A，B均为R的子集，且A∩(∁RB)＝A，则下列结论中一定成立的是(　　) A．B⊆A B．A∪B＝R C．A∩B＝∅ D．A＝∁RB 解析：C　[∵A∩(∁RB)＝A， ∴A⊆∁RB，用Venn图表示如图． 由图可知，A∩B＝∅，即C一定成立，A一定不成立，B，D都不一定成立．] 7．我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示有限集合A中元素的个数．例如，A＝{a，b，c}，则card(A)＝3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)．某校初一、四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：C　[设集合A＝{参加足球队的学生}， 集合B＝{参加排球队的学生}， 集合C＝{参加游泳队的学生}， 则card(A)＝25，card(B)＝22，card(C)＝24， card(A∩B)＝12，card(B∩C)＝8，card(A∩C)＝9， 设三项都参加的有x人，即card(A∩B∩C)＝x，card(A∪B∪C)＝46， 所以由card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)， 即46＝25＋22＋24－12－8－9＋x，解得x＝4， 三项都参加的有4人．] 8．若x∈A，则∈A，就称集合A是“和谐集合”．任选集合M＝的一个非空子集是“和谐集合”的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：B　[∵集合M＝，∴满足题意的集合为{－1}，{1}，{－1,1}，，，，，∴集合M的所有非空子集中“和谐集合”的个数为7. 又集合M的所有非空子集的个数为26－1＝63，故所求概率为＝.] 二、多选题 9．下列结论正确的是(　　) A.∈Q B．集合A、B，若A∪B＝A∩B，则A＝B C．若A∩B＝B，则B⊆A D．若a∈A，a∈B，则a∈A∩B 解析：BCD　[对于A，∉Q，A错； 对于B，因为(A∩B)⊆A⊆(A∪B)且A∪B＝A∩B，则A∩B＝A＝A∪B， 同理可得A∩B＝B＝A∪B，所以，A＝B，B对； 对于C，因为B＝(A∩B)⊆A，即B⊆A，C对； 对于D，因为a∈A，a∈B，则a∈A∩B，D对．] 10．若全集为U，集合M⊆N，则下列结论正确的是(　　) A．M∩N＝M B．(∁UN)∩M＝∅ C．N⊆(M∩N) D．(M∪N)⊆N 解析：ABD　[因集合M⊆N，则有M∩N＝M，A正确；全集为U，则(∁UN)∩N＝∅，又M⊆N，则有(∁UN)∩M＝∅，B正确； 因M⊆N，则M∩N＝M，因此，N⊆(M∩N)不正确，C不正确； 因M⊆N，则M∪N＝N，而N⊆N，则(M∪N)⊆N正确，D正确．] 11．设S是实数集R的一个非空子集，如果对于任意的a，b∈S(a与b可以相等，也可以不相等)，都有a＋b∈S且a－b∈S，则称S是“和谐集”，则下列命题中为真命题的是(　　) A．存在一个集合S，它既是“和谐集”，又是有限集 B．集合{x|x＝3k，k∈Z}是“和谐集” C．若S1，S2都是“和谐集”，则S1∩S2≠∅ D．对任意两个不同的“和谐集”S1，S2，总有S1∪S2＝R 解析：ABC　[A项中，根据题意S＝{0}是“和谐集”，又是有限集，故A正确； B项中，设x1＝3k1，x2＝3k2，k1，k2∈Z，则x1＋x2＝3(k1＋k2)∈S，x1－x2＝3(k1－k2)∈S，所以集合{x|x＝3k，k∈Z}是“和谐集”，故B正确； C项中，根据已知条件，a，b可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以S1∩S2≠∅，故C正确； D项中，取S1＝{x|x＝2k，k∈Z}，S2＝{x|x＝3k，k∈Z}，S1，S2都是“和谐集”，易知2∈S1,3∈S2， 但5不属于S1，也不属于S2，所以S1∪S2不是实数集，故D错误．] 三、填空题 12．已知集合A＝{m|1＜m＜4}，B＝{y|y＝x3，x∈R}，则A∩B＝________. 解析：因为B＝{y|y＝x3，x∈R}＝R， 因此，A∩B＝{m|1＜m＜4}． 答案：{m|1＜m＜4} 13．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|ax＞1}，若B⊆A，则实数a的取值范围________． 解析：a＝0时，B＝∅，满足B⊆A， a＜0时，B＝，不满足B⊆A， a＞0时，B＝，由B⊆A得≥1，解得0＜a≤1. 综上，0≤a≤1. 答案：[0,1] 14．已知集合A＝{x|y＝lg(a－x)}，B＝{x|1<x<2}，且(∁RB)∪A＝R，则实数a的取值范围是________． 解析：由已知可得A＝(－∞，a)，∁RB＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，∵(∁RB)∪A＝R，∴a≥2. 答案：[2，＋∞) [能力提升练] 15．[多选]设集合Ak＝{x|x＝2nk＋1，n∈Z}(k＝1,2,3)，则下列结论正确的是(　　) A．2 025∈A1∩A2 B．若a∈A2，且ab∈A3，则b∉A1 C．若a∈A2，b∈A3，则ab∈A1 D．若a∈A2，b∈A3，则3a＋2b∈A2 解析：ACD　[A选项，A1＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，A2＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}， 由题意可得A1∩A2＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}． 因为2 025＝4×506＋1，所以2 025∈A1∩A2，则A正确． B选项，A3＝{x|x＝6n＋1，n∈Z}， 当a＝5∈A2，b＝11∈A1时，ab＝55＝6×9＋1∈A3，则B错误． CD选项，由a∈A2，b∈A3， 可设a＝4n1＋1，b＝6n2＋1(n1，n2∈Z)， 则ab＝24n1n2＋4n1＋6n2＋1＝2(12n1n2＋2n1＋3n2)＋1， 3a＋2b＝12n1＋3＋12n2＋2＝4(3n1＋3n2＋1)＋1. 因为n1，n2∈Z，所以12n1n2＋2n1＋3n2∈Z,3n1＋3n2＋1∈Z， 所以ab∈A1,3a＋2b∈A2，则C，D正确．] 16．已知集合M＝{1,2,3,4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n. (1)若n＝3，则这样的集合A共有________个； (2)若n为偶数，则这样的集合A共有______个． 解析：(1)若n＝3，据“累积值”的定义得A＝{3}或A＝{1,3}，这样的集合A共有2个； (2)因为集合M的子集共有24＝16个， 其中“累积值”为奇数的子集为{1}、{3}、{1,3}，共3个， 所以“累积值”为偶数的集合共有13个． 答案：2　13 学科网（北京）股份有限公司 $