第3章 3.4 函数中的构造问题（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数构造问题这一高考热点，系统梳理利用f(x)与x、e^x、三角函数及具体函数关系的构造类型，覆盖比较大小、解不等式、恒成立等核心考点。通过考点解读、方法归纳（如特征形式对应的构造策略）、真题精讲及分层练习，帮助学生建立“特征识别-模型构造-性质应用”的解题框架，体现复习的系统性与针对性。 资料亮点在于提炼高考高频构造方法，如针对xf'(x)-2f(x)形式构造f(x)/x²，培养学生的抽象能力与推理意识。设计“方法总结-例题解析-即时应用”的教学环节，配合典型真题（如例2利用e^x构造函数判断单调性），确保学生快速掌握构造技巧，提升解题效率，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

§3.4　函数中的构造问题 ★[考试要求] 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题． 　　　利用f(x)与x构造函数 [例1]　(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，则f(x)>x2＋2的解集是(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(0,1) [解析]　令g(x)＝f(x)－x2， 因为f(x)是偶函数， 则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)， 所以函数g(x)也是偶函数， g′(x)＝f′(x)－2x， 因为当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－2x>0， 所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 不等式f(x)>x2＋2即为不等式g(x)>2， 由f(1)＝3，得g(1)＝2， 所以g(x)>g(1)， 所以|x|>1，解得x>1或x<－1， 所以f(x)>x2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案]　B (2)已知函数f(x)的定义域为(－∞，0)，f(－1)＝－1，其导函数f′(x)满足xf′(x)－2f(x)＞0，则不等式f(x＋2 025)＋(x＋2 025)2＜0的解集为(　　) A．(－2 026,0)　　　 B．(－2 026，－2 025) C．(－∞，－2 026) D．(－∞，－2 025) [解析]　根据题意可令g(x)＝(x＜0)⇒g′(x)＝＜0， 所以g(x)＝在(－∞，0)上单调递减， 则原不等式等价于＜－1， 由g(x＋2 025)＝＜－1＝g(－1)⇒0＞x＋2 025＞－1， 解之得x∈(－2 026，－2 025)． [答案]　B (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)； (2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. [多选]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，则(　　) A．f(1)<4f(2)　　　　 B．f(－1)<4f(－2) C．16f(4)<9f(3) D．4f(－2)>9f(－3) 解析：AD　[令g(x)＝x2f(x)， ∵当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0， ∴当x>0时，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝ x[xf′(x)＋2f(x)]>0， ∴g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又f(x)为定义在R上的奇函数，y＝x2为定义在R上的偶函数， ∴g(x)＝x2f(x)为定义在R上的奇函数． ∴g(x)是增函数． 由g(2)>g(1)，可得4f(2)>f(1)，故A正确； 由g(－1)>g(－2)，可得f(－1)>4f(－2)，故B错误； 由g(4)>g(3)，可得16f(4)>9f(3)，故C错误； 由g(－2)>g(－3)，可得4f(－2)>9f(－3)，故D正确．] 　　　利用f(x)与ex构造 [例2]　(1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)<f′(x)－2，则(　　) A．f(2 026)－ef(2 025)<2(e－1) B．f(2 026)－ef(2 025)>2(e－1) C．f(2 026)－ef(2 025)>2(e＋1) D．f(2 026)－ef(2 025)<2(e＋1) [解析]　令g(x)＝， 则g′(x)＝>0， 因此函数g(x)是增函数， 于是得g(2 026)>g(2 025)， 即>， 整理得f(2 026)－ef(2 025)>2(e－1)，故B正确． [答案]　B (2)f(x)是定义在R上的函数，满足2f(x)＋f′(x)＝xex，f(－1)＝－，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)在R上有极大值 B．f(x)在R上有极小值 C．f(x)在R上既有极大值又有极小值 D．f(x)在R上没有极值 [解析]　根据题意，2f(x)＋f′(x)＝xex，故2f(－1)＋f′(－1)＝－e－1， 又f(－1)＝－，得2＋f′(－1)＝－，故f′(－1)＝0，令g(x)＝e2xf(x)， 则g′(x)＝2e2xf(x)＋e2xf′(x)＝e2x[2f(x)＋f′(x)]＝e2x·xex＝xe3x， 即2e2xf(x)＋e2xf′(x)＝xe3x，记h(x)＝e2xf′(x)＝xe3x－2e2xf(x)＝xe3x－2g(x)， 所以h′(x)＝e3x＋3xe3x－2g′(x)＝e3x＋3xe3x－2xe3x＝e3x(x＋1), 当x＜－1时，h′(x)＜0，当x＞－1时，h′(x)＞0，所以函数h(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，所以h(x)≥h(－1)＝e－2f′(－1)＝0，即e2xf′(x)≥0，即f′(x)≥0，所以f(x)在R上单调递增，故f(x)在R上没有极值．故选项ABC说法错误，选项D说法正确． [答案]　D (1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)； (2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________． 解析：设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0， ∴F(x)是增函数． 又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3. ∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3， 即F(x)>F(3)， ∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)． 答案：(3，＋∞) 　　　利用f(x)与sin x、cos x构造 [例3]　[多选]定义在上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cos x·f′(x)＋sin x·f(x)<0成立，则有(　　) A．f>f B.f>f C．f>f D.f>f [解析]　构造函数g(x)＝. 则g′(x)＝<0，即函数 g(x)在上单调递减，所以g>g，所以f>f，同理g>g，即 f>f. [答案]　CD 函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 F(x)＝f(x)sin x， F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； F(x)＝， F′(x)＝； F(x)＝f(x)cos x， F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x； F(x)＝， F′(x)＝. 函数f(x)定义域为(0，π)，其导函数是f′(x)，当(0，π)时，有f′(x)sin x－f(x)cos x＜0，则关于x的不等式f(x)＜fsin x的解集为________． 解析：令g(x)＝，则 g′(x)＝， 因为x∈(0，π)，所以sin x＞0， 因为f′(x)sin x－f(x)cos x＜0，所以g′(x)＜0，所以g(x)在(0，π)上单调递减， 由f(x)＜fsin x，得＜，所以 g(x)＜g，因为g(x)在(0，π)上单调递减，所以＜x＜π，所以不等式f(x)＜fsin x的解集为. 答案： 　　　构造具体函数关系 [例4]　(1)设a＝，b＝，c＝，则(　　) A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c [解析]　设f(x)＝，则f′(x)＝＝0，得x＝， 则f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， b＝f()，c＝f()，则b＞c， 又a－b＝－＝＝＞0，得a＞b， 所以a＞b＞c. [答案]　A (2)已知e是自然对数的底数，a＝，b＝e2sin，c＝，则(　　) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a [解析]　构建f(x)＝，x＞e，则f′(x)＝＞0在(e，＋∞)上恒成立， 可知f(x)在(e，＋∞)上单调递增， 因为a＝＝，c＝＝， 可知f(4)＞f(π)＞f(e)＝e，即c＞a＞e； 构建g(x)＝x－sin x，x＞0，则g′(x)＝1－cos x≥0在(0，＋∞)上恒成立， 可知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g(x)＞g(0)＝0，即x＞sin x，x＞0， 可得＞sin ，且e＞0，则e＞e2·sin，即e＞b； 综上所述：c＞a＞b. [答案]　B 通过研究或变形，使所研究的式子具有鲜明的结构特点，然后依据此特点构造新函数．常用的不等式：sin x＜x＜tan x，ln(x＋1)＜x(x＞0)，ln x≤x－1≤x2－x(x＞0)，ex≥x＋1，ex≥ex＞x(x＞0)． 已知a＝sin，b＝ln ，c＝，则(　　) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 解析：D　[a＝sin＞sin＝＝c， 设f(x)＝ln x＋1－x，x＞1，则f′(x)＝＜0， 故f(x)在(1，＋∞)上为减函数，故f(x)＜f(1)＝0即ln x＜x－1(x＞1)， 所以b＝ln＞－1＝c，故a＞c＞b.] 学科网（北京）股份有限公司 $