第2章 培优拓展3 新定义中的特殊函数（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦高考新定义函数问题，涵盖高斯函数、狄利克雷函数等核心考点，按“概念解析-性质探究-典例应用”逻辑架构知识，通过考点梳理（新定义本质及三基关联）、方法指导（类比理解与本质分析）、真题训练（多选典例及分层练习）环节，帮助学生突破新题难点，体现复习系统性与针对性。 资料以数学史为情境引入，通过“定义辨析-性质论证-应用拓展”教学活动，如分析高斯函数奇偶性时引导学生抽象函数属性，培养数学眼光与推理意识。设置基础巩固与能力提升分层练习，配合即时反馈，确保高效突破，助力学生提升新定义问题应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝． [典例]　[多选]高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，函数g(x)＝[f(x)]，则下列命题中为真命题的是(　　) A．g(x)图象关于x＝0对称 B．f(x)是奇函数 C．f(x)在R上是增函数 D．g(x)的值域是{－1,0,1} [解析]　根据题意，知f(x)＝－＝－＝－. ∵g(1)＝[f(1)]＝＝0， g(－1)＝[f(－1)]＝＝－1， ∴g(1)≠g(－1)，g(1)≠－g(－1)， ∴函数y＝g(x)既不是奇函数也不是偶函数，不关于直线x＝0对称，A错误； y＝f(x)的定义域为R， ∵f(－x)＝－＝－＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数，B正确； 任取x1＞x2， ∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)＝－在R上是增函数，C正确； ∵ex＞0，∴1＋ex＞1， ∴0＜＜1，则－＜－＜， 即－＜f(x)＜， ∴g(x)＝[f(x)]的值域为{－1,0}，D错误． [答案]　BC 1．高斯函数y＝[x] (1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数． (2)性质 ①定义域：R；值域：Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性． (3)图象 2．狄利克雷函数D(x)＝的性质 (1)定义域R；值域{0,1}． (2)奇偶性：偶函数． (3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期． (4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在． 3．最值函数的概念 设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样的，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数． [多选]德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)的叙述，正确的是(　　) A．函数y＝f(x)的图象是两条直线 B．f(f(x))＝1 C．f()＞f(1) D．∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x) 解析：BD　[对于A，函数y＝f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，A错误； 对于B，当x为有理数时，f(x)＝1， 所以f(f(x))＝f(1)＝1， 当x为无理数时，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，B正确； 对于C，f()＝0，f(1)＝1， 所以f(1)＞f()，C错误； 对于D，由题意，函数定义域为R， 且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数， 若x是有理数，则x＋T也是有理数； 若x是无理数，则x＋T也是无理数； 所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T， f(x＋T)＝f(x)对∀x∈R恒成立， 故f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)＝f(1－x)， 所以∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x)，D正确．] 学科网（北京）股份有限公司 $