3.3 利用导教研究函数的极值、最值&3.4 函数中的构造问题-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

§3.3导数与函数 ★[考试要求] 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的 小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 复盘>必备知识 必备知识掌握 1.函数的极值 (1)函数的极小值 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比 它在点x=a附近其他点的函数值都小， f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 ,右侧 ,则a叫做函数y= f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x) 的极小值， (2)函数的极大值 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比 它在点x=b附近其他点的函数值都大， f(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 ,右侧 ,则b叫做函数y f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x) 的极大值 (3)极小值点、极大值点统称为 ,极小 值和极大值统称为 2.函数的最大（小）值 (1)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件： 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象 是一条 的曲线，那么它必有 最大值和最小值， (2)求y=f(x)在区间[a,b]上的最大（小）值 的步骤： ①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的 ②将函数y=f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是 最大值，最小的一个是最小值. 第三章一元函数的导数及其应用 的极值、最值 必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极 打通教材逐点夯实 知识拓展用活 1.对于可导函数f(x),f'(x)=0是函数 f(x)在x=x。处有极值的必要不充分 条件。 2.若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极 值点，则该极值点一定是函数的最值点 3.极值有可能是最值，但最值只要不在区间端 点处取得，其必定是极值。 自主诊断查验 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/” 或“X”) (1)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值， (2)函数的极小值一定是函数的最小值.( (3)函数的极小值一定不是函数的最大值. (4)函数y=f(x)的零点是函数y=f(x)的 极值点， 2.[多选]如图是导函数y =f(x)的图象，则下列 Y=I 说法正确的是 ( -10 A.(3,5)为函数y= f(x)的单调递减 区间 B.(4,5)为函数y=f(x)的单调递增区间 C.函数y=f(x)在x=3处取得极大值 D.函数y=f(x)在x=4处取得极小值 3.函数f(x)=lnx一x在区间(0，e]上的最大 值为 ( ) A.1-e B.-1 C.-e D.0 4.若函数f(x)=e十ax在x=2处取得极 值，则a= 55 高考总复习数学 跃升>关键能力 题型1( 利用导数求解函数极值问题 >[角度1]函数极值的判断 [例1一1][多选]已知函数 f(x)是R上的可导函数 f(x)的导函数f(x)的图象 如图，则下列结论不正确 的是 A.a,c分别是极大值点和极小值点 B.b,c分别是极大值点和极小值点 C.f(x)在区间(a,c)上是增函数 D.f(x)在区间(b,c)上是减函数 [角度2]求已知函数的极值 [例1-2（已知）-兰则f)（ A.在（一∞，十∞）上单调递增 B.在(-∞，1)上单调递减 C.有极大值3，无极小值 D.有极小值三，无极大值 (2)已知函数f(x)=sin2x一x,x∈(0，π)， 则f(x)的极大值点为 [角度3]已知函数的极值（点）求参数 T例1一3]若函数f(.x)=x(x一c)2在x=一2 处有极小值，则c= ( A.-6 B.-2 C.-6或-2 D.-4 规律方法 函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值这类问题的一般解题 步骤为： ①确定函数的定义域；②求导数f'(x); ③解方程f'(x)=0,求出函数定义域内 的所有根；④列表检验f(x)在f'(x) 0的根x。左右两侧值的符号，如果左正 右负，那么f(x)在x。处取极大值，如果 左负右正，那么f(x)在x。处取极小值. 5 核心考点分类突破 (2)由函数极值求参数的值或范围」 讨论极值点有无（个数）问题，转化为讨 论f'(x)=0根的有无（个数）.然后由已 知条件列出方程或不等式求出参数的值 或范围，特别注意：极值点处的导数为 0,而导数为0的点不一定是极值点，要 检验极值点两侧导数是否异号· 跟踪训练 (In x ,x≥2 1.若函数f(x) 有最大值，则 ka,x<2 的最大值为 A.In 2 B.In 2 4 2 C.e D. 2.函数f(x)=lnx+x-ax(x>0)在 [合3]上有且仅有一个极值点，则实数a的 取值范围是 510 A.23 「510 B.23 C. 5107 23 [] 题型2 利用导数求函数的最值 [例2] (2025·全国二卷)已知函数f(x) n1+z)-z+分x-k,其中0<k<行 (1)证明：f(x)在区间(0，十∞)存在唯一的 极值点和唯一的零点； (2)设x1,x2分别为f(x)在区间(0，十∞) 的极值点和零点. (i)设函数g(t)=f(x1十t)一f(x1一t),证 明：g(t)在区间(0，x1)单调递减； （iⅱ)比较2x1与x2的大小，并证明你的 结论. 6 第三章一元函数的导数及其应用 [尝试解答] 规律方法 1.求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小 值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值， (2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b). (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个 为最小值， 2.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值 一般要根据其极值及单调性画出函数的 大致图象，利用图象求解 注：求最值时，不可想当然认为极值点就 是最值点，要通过比较再下结论 :跟踪训练 1.已知函数f(x)=x一√2sinx,x∈[0，π]，则 f(x)的最大值为 2.已知函数f(x)=a+lnx在区间[1，e]上 的最小值为号则u的值为 A.1 c D.√e C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关18 §3.4函数中的构造问题 ★[考试要求] 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题 中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等 问题 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1( 利用f(x)与x构造函数 -2f(x)>0,则不等式f(x+2025)+ [例1](1)已知f(x)是定义在R上的偶函 (x+2025)<0的解集为 () A.(-2026,0) 数，f'(x)是f(x)的导函数，当x≥0时， B.(-2026,-2025) f(x)-2x>0,且f(1)=3,则f(x)>x2+2 C.（-∞，-2026) 的解集是 D.(-∞，-2025) A.(-1,0)U(1,+∞) 规律方法 B.(-∞，-1)U(1,+∞) (1)出现nf(x)+xf(x)形式，构造函数 C.(-1,0)U(0,1) F(x)=x"f(x); D.(-∞，-1)U(0,1) (2)出现xf(x)一nf(x)形式，构造函数 (2)已知函数f(x)的定义域为（一∞，0）， f(一1)=一1，其导函数f'(x)满足xf'(x) F(.x)=f(x) I" ·57 高考总复习数学 日跟踪训练 [多选]已知函数f(x)是定义在R上的奇函 数，当x>0时，xf'(x)十2f(x)>0恒成立， 则 A.f(1)<4f(2) B.f(-1)<4f(-2) C.16f(4)<9f(3)D.4f(-2)>9f(-3) 题型2( 利用f(x)与e构造 [例2](1)已知定义在R上的函数f(x)满 足f(x)<f'(x)一2，则 A.f(2026)-ef(2025)<2(e-1) B.f(2026)-ef(2025)>2(e-1) C.f(2026)-ef(2025)>2(e+1) D.f(2026)-ef(2025)<2(e+1) (2)f(x)是定义在R上的函数，满足2f(x) 十了x)=e,f(-1)=一无，则下列说法 正确的是 A.f(x)在R上有极大值 B.f(x)在R上有极小值 C.f(x)在R上既有极大值又有极小值 D.f(x)在R上没有极值 规律方法 (1)出现f(x)十nf(x)形式，构造函数 F(x)=e"f(x); (2)出现f(x)一nf(x)形式，构造函数 F(x)= f(x) (跟踪训练 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)十 f(x)>0,且有f(3)=3,则f(x)>3e3-x的 解集为 题型3 利用f(x)与sinx、cosx构造 [例3] [多选]定义在0，受上的函数f(x), 已知f(x)是它的导函数，且恒有cosx· f(x)十sinx·f(x)<0成立，则有() Af后>f B. c.f>f Df)Pf .规律方法 函数f(x)与sinx,cosx相结合构造可导 函数的几种常见形式 F(x)=f(x)sin x, F'(x)=f(x)sin x+f(x)cos x; F(x)= f(x) sin x ()-()sin a-f()cos sinx F(x)=f(x)cos x, F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x; F(x)= f(x) cos x F(x)= f(x)cos x++f(x)sin x cos'x 跟踪训练 函数f(x)定义域为(0，π)，其导函数是f(x), 当(0，π)时，有子(x)sinx一f(x)cosx<0,则关 于x的不等式f)<f() sinx的解集为 题型4 构造具体函数关系 [例4)(1)设a= A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c (2)已知e是自然对数的底数，a= 2ln√x b=esin c- 2 e 2,则 ( ) A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.b>c>a 规律方法 通过研究或变形，使所研究的式子具有鲜明的 结构特点，然后依据此特点构造新函数.常用的 不等式m<an0r<},lh(r叶D <x(x>0),lnx≤x-1≤x2-x(x>0),e ≥x+1,e≥ex>x(x>0). 跟踪训练 已知a=sin吾6=1n号c=号则 3 () A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b C温攀提 学习至此，请完成配套训练课时冲关19当a>0且b-3ac0时，f'(x)=3ax2十2bx十c≥0， f(x)在R上单调递增. ②当a0且b-3ac>0时，设方程f'(x)=3ax2十 2bx十c=0的两根分别为1，x2,且1<x2, 当x∈（1，x2)时，f(x)>0,∴.f(x)在(1，x2)上单调递 增；当x∈(-∞，x1)或x∈(x2,十o∞)时，f(x)<0, ∴f(x)在(-o∞，x1),(x2,十o∞)上单调递减. 当a<0且b-3ac≤0时，f(x)=3ax2+2bx十c≤0， .f(x)在R上单调递减. §3.3导数与函数的极值、最值 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)f'(x)0f(x)>0(2)f(x)>0f(x)0 (3)极值点极值2.(1)连续不断(2)极值 端点处的函数值f(a),f(b) 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)/(4)X 2.AC[由图象可知，x∈(3,5)时，f(x)<0, 所以(3,5)为函数y=f(x)的单调递减区间，故A正确； 由图象可知，x∈(4,5)时，f(x)<0,所以(4,5)为函数 y=f(x)的单调递减区间，故B错误；由图象可知， f(3)=0,且当x∈(0,3)时，f(x)>0,当x∈(3,5)时， f(x)<0,所以f(x)在(0,3)上单调递增，在(3,5)上单 调递减，故函数y=f(x)在x=3处取得极大值，故C正 确；由图象可知，(4)≠0，故x=4不是函数的极值点， 故D错误.] 3.B[因为f(x)=1-1=12,当x∈(0,1)时，)>0； x 当x∈(1，e时，f(x)<0,所以当x=1时，f(x)取得最大值 ln1-1=-1.] 4.解析：，f(x)=e十ax在x=2处取得极值， .f(2)=e十a=0,解得a=一e,经检验，符合题意. 答案：一e 跃升·关键能力题型1 [例1一1][解析]由极值点的定义可知，a是极小值点， 无极大值点；由导函数的图象可知，函数f(x)在区间 (a,十oo)上是增函数. [答案]ABD [例1-2](1)[解析]f(x)=3, e :f（x)=3e-3x·E=31-卫，当x>1时， e e f(x)<0,f(x)在区间(1，十∞)上单调递减，故A错误； 当x<1时，f'(x)>0,f(x)在区间(-∞，1)上单调递 增故B错误：当z=1时，x)=巴取得极大值吕， 无极小值，故C正确，D错误， [答案]C (2)[解析]f(x)=2cos2x一1，令f(x)>0,得0<x <晋或吾<<◆f)<0,得晋<<晋f 在(0，晋)(x)上单调递增，在（晋，）上单调递 减心(2)的极大值点为爱 [答案]晋 [例1一3][解析]由函数f(x)=x(x一c)2, 可得f(x)=(x-c)2十2x(x-c)=(x-c)(3x-c), 因为函数在x=一2处取得极小值，可得f(一2)=0， 解得c=一2或c=一6， 当c=-2时，令f>0,解得<-2或>-号； ·38 参考答案 令f)<0,解得-2<<-号， 函数f(x)在（一∞，一2)上单调递增 在(-2，一号)上单调递减，在（号+©）单调递培。 所以f(x)在x=一2处有极大值，不符合题意，舍去； 当c=-6时，令f(x)>0,可得x<-6或x>-2; 令f(x)<0,可得-6<x<-2, 函数f(x)在(-∞，一6)上单调递增， 在（一6，一2）上单调递减，在（一2，十∞）单调递增， 所以f(x)在x=一2处有极小值，符合题意， 综上可得，c=-6. [答案]A 跟踪训练 1.C[分析：利用导数求出函数f(x)在[2，十)上的极大 值，根据函数f(x)有最大值可得出关于实数饣的不等式组， 即可得出实数k的最大值. 当x≥2时，f()=ln2,则f(x)=1ln工， t? 当2≤x<e时，f(x)>0,此时，函数f(x)单调递增， 当x>e时，f(x)<0,此时，函数f(x)单调递减， 则函数f(x)在x=e处取得极大值，且极大值为f(e) 1 In x ,x≥ 1k0 因为函数f(x) 有最大值，则 (kx,x<2 2k≤1，解 得0<k≤六 因光，实数飞的最大值为品] 2.B[)+ax() f(x)=1+x-a, x :画数f)=nx+之-ar>0)在[23]上有且 仅有一个极值点， =∫)在[合3]小上只有-个支号零点 令f(x)=1十x-a=0,得a= x x 设g=上十，则g在[合小]小上单调递该， 在[1,3]上单调递增， g(x)mm=g(1)=2, 又（位）号g8)=9。 5 31 当号<a<号时w=fx)在[合3]上只有-个变号 零点 实数口的取值范因为[层昌)门 题型2 [例2] [解](1)因为f(x)=ln(1十x)-x十 r,k∈(0，号） 所以∫'(x)=十 1 -1十x-3kx =1-1-x十x十x2-3kx2-3kx 1十x -3k.x 1 不