第2章 2.2 函数的单调性与最值（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数的单调性与最值核心考点，依据考试要求构建“定义-性质-应用”逻辑体系，涵盖单调函数定义、单调区间、最值条件及单调性判断（定义法、图象法、导数法）等内容。通过考点梳理（表格对比增/减函数定义）、方法指导（复合函数单调性“同增异减”法则）、真题训练（如利用单调性解不等式、求参数范围例题），帮助学生系统突破难点。 资料以数学思维和数学语言为导向，创新设计“概念辨析-分层训练-真题应用”教学活动，如通过定义法证明函数单调性（例1-2）培养推理能力，借助复合函数单调性判断（如2x²-3x-2的单调区间分析）发展抽象能力。设置基础判断、多选应用、解答题分层练习，配合高考真题（如2025上海卷参数问题）解析，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

§2.2　函数的单调性与最值 ★[考试要求] 1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用． 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有　f(x1)<f(x2)　，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 当x1<x2时，都有　f(x1)>f(x2)　，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上　单调递增　或　单调递减　，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有　f(x)≤M　； (2)∃x0∈I，使得　f(x0)＝M　 (1)∀x∈I，都有　f(x)≥M　； (2)∃x0∈I，使得　f(x0)＝M　 结论 M为最大值 M为最小值 1．∀x1，x2∈D且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若f(x)的定义域为R，且f(－3)<f(2)，则f(x)为R上的增函数．(×) (2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．(×) (3)因为y＝x与y＝ex都是增函数，所以y＝xex在定义域内为增函数．(×) (4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×) 2．[多选]下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有＞0”的是(　　) A．f(x)＝－3x＋1　　　　 B．f(x)＝－ C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x－ 解析：BCD　[函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有＞0”，则有函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 函数f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上单调递减，A不是； 函数f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，B是； 函数f(x)＝x2＋4x＋3在(0，＋∞)上单调递增，C是； 函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递增，D是．] 3．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则(　　) A．m> B．m< C．m>－ D．m<－ 解析：B　[要使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<.] 4．函数y＝在[2,3]上的最大值是________． 解析：该函数在[2,3]上单调递减，故当x＝2时，函数取得最大值，最大值为2. 答案：2 　　　确定函数的单调性 ►[角度1]　函数的单调性的理解　 [例1－1]　[多选]如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是(　　) A.>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D.>0 [解析]　因为f(x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1<x2，则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)． [答案]　ABD ►[角度2]　判断或证明函数的单调性　 [例1－2]　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性． [解]　设－1<x1<x2<1， f(x)＝a·＝a， 则f(x1)－f(x2)＝ a－a＝. 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 确定函数的单调区间的方法 (1)定义法：先求定义域，再利用单调性定义来求． (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的升、降写出它的单调区间． (3)导数法：利用导数取值的正、负确定函数的单调区间． 1．[多选]下列说法中，正确的是(　　) A．若对任意x1，x2∈I，＞0，则y＝f(x)在I上单调递增 B．函数y＝2|x＋1|的递减区间是(－∞，－1] C．函数f(x)＝的单调递增区间为[1，＋∞) D．y＝2x＋2cos x在R上是增函数 解析：ABD　[对于A，若对任意x1，x2∈I，＞0，显然x1≠x2， 当x1＜x2时，则有f(x1)＜f(x2)；当x1＞x2时，则有f(x1)＞f(x2)； 由函数单调性的定义可知y＝f(x)在I上是单调递增，故A正确． 对于B，作出函数y＝2|x＋1|的图象，如图所示， 由图象可知：函数y＝2|x＋1|的递减区间是(－∞，－1]，故B正确； 对于C，由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得单调递增区间为(－∞，1]，故C错误； 对于D，y′＝2－2sin x≥0，所以y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故D正确．] 2．函数f(x)＝的单调递增区间为________． 解析：令t＝2x2－3x－2>0， 解得x>2或x<－， 则f(x)的定义域为∪(2，＋∞)， 由f(t)＝在(0，＋∞)上单调递减， 根据复合函数的单调性：同增异减，函数t＝2x2－3x－2的单调递减区间，即为f(x)的单调递增区间，再结合f(x)的定义域可知，f(x)的单调递增区间为. 答案： 　　　函数单调性的应用 ►[角度1]　比较函数值的大小　 [例2－1]　已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b　　　　 B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c [解析]　由题意知y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x>1时，y＝f(x)单调递减，∵a＝f＝f，∴f(2)>f>f(3)，即b>a>c. [答案]　D ►[角度2]　求函数的最值　 [例2－2]　函数y＝－1＋x(x≥3)的最小值为________． [解析]　设t＝x－1，t≥2， 则y＝－1＋x＝t＋， 又函数y＝t＋在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t＝2，即x＝3时， 函数y＝t＋有最小值2＋＝. [答案]　 ►[角度3]　解不等式　 [例2－3]　已知函数f(x)＝ex－e－x，则使f(|x|)＜f(－3x2＋4)成立的实数x的取值范围是(　　) A．(－1,0) B．(－1，＋∞) C．(－1,1) D．(1，＋∞) [解析]　函数y＝ex为增函数，函数y＝e－x为减函数， 所以函数f(x)＝ex－e－x为增函数， 所以f(|x|)＜f(－3x2＋4)⇔|x|＜－3x2＋4， 即3|x|2＋|x|－4＜0， (|x|－1)(3|x|＋4)＜0， 得0≤|x|＜1， 解得－1＜x＜1， 所以实数x的取值范围为(－1,1)． [答案]　C ►[角度4]　求参数的取值范围　 [例2－4]　(2025·上海卷)设a>0，s∈R，下列各项中，能推出as>a的一项是(　　) A．a>1，且s>0 B．a>1，且s<0 C．0<a<1，且s>0 D．0<a<1，且s<0 [解析]　由题意知，当a＞1时，若as＞a，则s＞1， 当0＜a＜1时，若as＞a，则s＜1，D正确． [答案]　D 函数单调性应用要点 (1)比较大小：可将n个自变量值化到同一单调区间上． (2)解不等式：利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数： ①确定函数的单调区间，与已知区间比较； ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 1．已知函数f(x)＝则“a＜4”是“f(x)在R上单调递减”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[若f(x)＝在R上单调递减， 则解得1≤a≤， 所以“a＜4”是“f(x)在R上单调递减”的必要不充分条件．] 2．[多选]函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x1，x2(x1≠x2)，满足x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)在R上是单调递减函数 B．f(－5)＜f(0)＜f(1) C．f(0)＝0 D．f(2x－1)＜f(3－x)的解为x＜ 解析：BD　[由x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0， 因此f(x)在R上单调递增，A错误； 由－5＜0＜1，得f(－5)＜f(0)＜f(1)，B正确； 不一定有f(0)＝0，如f(x)＝2x在R上为增函数，f(0)＝1，C错误； 由f(2x－1)＜f(3－x)，得2x－1＜3－x， 解得x＜，D正确．] 学科网（北京）股份有限公司 $