第2章 2.9 函数的零点与方程的解（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数零点与方程解核心考点，涵盖零点概念、存在定理、二分法及应用，按“概念-定理-结论-应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法指导（如零点区间判定、个数分析）、真题讲解（含天津卷等高考题）和分层练习，帮助学生系统突破难点，构建解题思路。 资料以数形结合和逻辑推理为特色，如通过函数图象交点判断零点个数培养几何直观（数学眼光），利用单调性与定理推理零点存在提升逻辑思维（数学思维）。设置基础巩固与能力提升练习，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

§2.9　函数的零点与方程的解 ★[考试要求] 1．结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路及其程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性． 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，我们把使　f(x)＝0　的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有　零点　⇔函数y＝f(x)的图象与　x轴　有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有　f(a)·f(b)<0　，那么，函数y＝f(x)在区间　(a，b)　内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得　f(c)＝0　，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且　f(a)·f(b)<0　的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间　一分为二　，使所得区间的两个端点逐步逼近　零点　，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数在零点两侧取值时，函数值可能变号，也可能不变号． (4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根． (5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以图象连续且f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×) (2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×) (3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．(√) 2．下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是(　　) 解析：C　[根据零点存在性定理可知，函数f(x)的图象是一段连续不断的曲线，若在区间(a，b)上满足f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)上存在零点； 根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足f(a)·f(b)＜0， 所以C选项不能用二分法求图中函数零点．] 3．函数y＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　) A.　　　　　　 B．(1,2) C．(2，e) D．(e，＋∞) 解析：C　[y＝f(x)＝ln x－的定义域为(0，＋∞)，因为y＝ln x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝ln 1－2＝－2<0，f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－＝1－>0，所以f(2)·f(e)<0，所以f(x)在(2，e)上存在唯一的零点．] 4．若函数f(x)＝则函数y＝f(x)－1的零点是________． 解析：要求函数y＝f(x)－1的零点，则令y＝f(x)－1＝0，即f(x)＝1，①当x≤0时，f(x)＝ex，由ex＝1，解得x＝0；②当x＞0时，f(x)＝x2－1，由x2－1＝1，解得x＝(负值舍去)．综上可知，函数y＝f(x)－1的零点是0和. 答案：0和 　　　函数零点所在区间的判定 [例1]　(1)(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　) A．(0,0.3)　　　　　 B．(0.3,0.5) C．(0.5,1) D．(1,2) [解析]　本题考查了函数的零点存在定理，f(x)＝0.3x－(x＞0)在(0，＋∞)上单调递减． ∵f(0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5＞0. f(0.5)＝0.30.5－＝0.30.5－0.50.5＜0， ∴f(x)的零点在区间(0.3,0.5)上． [答案]　B (2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 [解析]　函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)·(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点． [答案]　A 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 1．已知x0是函数f(x)＝＋log2(x＋1)－4的零点，则(x0－1)(x0－2)(x0－3)(x0－4)的值(　　) A．为正数 B．为负数 C．等于0 D．无法确定正负 解析：B　[由题意可知f(x)单调递增且f(3)＝＋log24－4<0，f(4)＝2＋log25－4>0，则x0∈(3,4)，所以x0－1>0，x0－2>0，x0－3>0，x0－4<0，所以(x0－1)(x0－2)(x0－3)(x0－4)<0.] 2．已知函数f(x)＝20×3－x－x的零点x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________. 解析：因为函数y＝3－x为R上的减函数，故函数f(x)＝20×3－x－x为R上的减函数，又f(2)＝20×3－2－2＝－2＝>0，f(3)＝20×3－3－3＝－3＝－<0，故f(x)＝20×3－x－x在(2,3)上有唯一零点，结合题意可知k＝2. 答案：2 　　　函数零点个数的判定 [例2]　(1)函数f(x)＝sin－|log3x|的零点个数为(　　) A．1　　 B．2 C．3　　 D．4 [解析]　函数f(x)＝sin－|log3x|的零点个数，即函数g(x)＝sin与h(x)＝|log3x|的交点个数，在坐标平面中画出两个函数的图象，如图所示： 则两个图象交点的个数为2. [答案]　B (2)已知函数f(x)＝的零点个数为________． [解析]　当x≤0时，由f(x)＝2x＋4－3＝0，得x＝log23－4，当x＞0时，由f(x)＝2x2－7x＋4－ln x＝0，得2x2－7x＋4＝ln x，则x＞0时，函数f(x)＝2x2－7x＋4－ln x零点的个数，即为函数y＝2x2－7x＋4，y＝ln x图象交点的个数，如图，作出函数y＝2x2－7x＋4，y＝ln x的图象， 由图可知，两函数的图象有2个交点，即当x＞0时，函数f(x)＝2x2－7x＋4－ln x有2个零点，综上所述，函数f(x)有3个零点． [答案]　3 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 1．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[由2x|log0.5x|－1＝0得|log0.5x|＝x，作出y＝|log0.5x|和y＝x的图象，如图所示，则两个函数图象有2个交点，故函数f(x)＝2x|log0.5x|－1有2个零点．] 2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[f(x)＝ex＋x－3在(0，＋∞)上为增函数，f＝<0，f(1)＝e－2>0，∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，由奇函数性质得f(x)在(－∞，0)上也有一个零点，又f(0)＝0，所以f(x)有三个零点．] 　　　函数零点的应用 ►[角度1]　根据函数零点个数求参数　 [例3－1]　(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1,1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　) A．－1 B. C．1 D．2 解析：D　[f(x)＝g(x)⇒a＝，注意右边是偶函数，所以若只有一个交点就只能是在x＝0处相切，于是直接代x＝0得a＝2.] ►[角度2]　根据函数零点的范围求参数　 [例3－2]　已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(－∞，0) D. [解析]　由f(x)＝3x－＝0，可得a＝3x－， 令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)，由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－<3－1＋1＝，又g(x)＝3x－>0，所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为.因此实数a的取值范围是. [答案]　B 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解． 1．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为(　　) A．(0,1] B．[0,1] C．(0,1) D．(1，＋∞) 解析：A　[依题意，函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，即f(x)＝b有四个解，转化为函数y＝f(x)与y＝b的图象有四个交点，由函数y＝f(x)可知，当x∈(－∞，－1]时，函数单调递减，y∈[0，＋∞)；当x∈(－1,0]时，函数单调递增，y∈(0,1]；当x∈(0,1)时，函数单调递减，y∈(0，＋∞)；当x∈[1，＋∞)时，函数单调递增，y∈[0，＋∞)．结合图象可知，实数b的取值范围为(0,1]．] 2．[多选]已知函数f(x)＝， 令h(x)＝f(x)－k，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的增区间为(0，＋∞) B．当h(x)有3个零点时，k∈(－4，－3] C．当k＝－2时，h(x)的所有零点之和为－1 D．当k∈(－∞，－4)时，h(x)有1个零点 解析：BD　[函数f(x)＝，结合二次函数和对数函数的图象和性质，作函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知，函数f(x)的增区间为(－1,0]和(0，＋∞)，A选项错误； h(x)的零点是函数y＝f(x)和y＝k图象交点的横坐标， 由图象可知，当h(x)有3个零点时，k∈(－4，－3]，B选项正确； 解方程可知，当k＝－2时，h(x)有两个零点，－1－和1，所有零点之和为－，C选项错误； 当k∈(－∞，－4)时，函数y＝f(x)和y＝k的图象有1个交点，即h(x)有1个零点，D选项正确．] 学科网（北京）股份有限公司 $