第2章 2.10 函数模型的应用（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数模型应用高考核心考点，涵盖指数、对数、幂函数增长特征及一次、二次、分段函数等模型的应用，按“模型梳理-性质比较-实际应用”逻辑架构知识，通过考点表格对比、方法指导（如散点图判断模型）、真题训练（血药浓度、声强级等实例）环节，帮助学生系统突破应用难点。 资料以真实情境问题（如汽车刹车距离、杨梅保鲜）为载体，设计“观察数据-构建模型-求解验证”教学活动，培养学生用数学眼光发现规律、用数学思维分析问题的能力，设置分层练习（判断、选择、解答）和真题精讲，确保高效复习，助力学生提升建模与应用能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

§2.10　函数模型的应用 ★[考试要求] 1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社会生活中的广泛应用． 1．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 2.三种函数模型性质比较 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的单调性 　增函数　 　增函数　 　增函数　 增长速度 　越来越快　 　越来越慢　 相对平稳 图象的变化 随x值增大，图象与　y轴　接近平行 随x值增大，图象与　x轴　接近平行 随n值变化而不同 1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 2．充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键． 3．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×) (2)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×) (3)幂函数增长比直线增长更快．(×) (4)不存在x0，使.(×) 2．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是(　　) A．y＝50　　　　　 B．y＝1 000 x C．y＝2ln x D．y＝ex 解析：D　[依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指数函数，故随着x的增长，y＝ex增长速度最快．] 3．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： x 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 y －2.0 －1.0 0 1.00 2.0 3.0 在四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝a＋logbx D．y＝a＋ 解析：C　[根据表中数据，作出散点图如下， 由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择y＝a＋logbx反映x，y函数关系．] 4．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件． 解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值． 答案：18 　　　用函数图象刻画变化过程 [例1]　(1)[多选]血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是(　　) A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用 B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 [解析]　从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误． [答案]　ABC (2)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝t＋a；④y＝＋a中(其中a为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米． [解析]　由散点图的走势，知模型①不合适． 曲线过点，则后三个模型的解析式分别为②y＝＋log2t；③y＝t＋；④y＝＋，当t＝1时，代入④中，得y＝，与图不符，易知拟合最好的是②. 将t＝8代入②式，得y＝＋log28＝(米)． [答案]　②　 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当由题意易构建函数模型时，可建立函数模型，结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． [多选]一辆赛车在一个周长为3 km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系． 根据图1，以下四个说法中正确的是(　　) A．在第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加 B．在整个跑道上，最长的直线路程不超过0.6 km C．大约在第二圈的0.4 km到0.6 km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶 D．在图2的四条曲线(注：S为初始记录数据位置)中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹 解析：AD　[由图1知，在2.6 km到2.8 km之间，图象上升，故在第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加，故A正确；在整个跑道上，高速行驶时最长为1.8 km到2.4 km之间，但直道加减速也有路程，故最长的直线路程有可能超过0.6 km，故B不正确；最长直线路程应在1.4 km到1.8 km之间开始，故C不正确；由图1可知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故D正确．] 　　　已知函数模型的实际问题 [例2]　(1)“喊泉”是一种地下水的毛细现象．人们在泉口吼叫或发出其他声音时声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg.取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音强度y(分贝)与喷出的泉水高度x(m)之间满足关系式y＝2x，甲、乙两名同学大喊一声激起的涌泉的最高高度分别为70 m,60 m．若甲同学大喊一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喊一声的声强，则n的值约为(　　) A．10　 B．100 C．200　 D．1 000 [解析]　设甲同学的声强为I1，乙同学的声强为I2，则140＝10lg，120＝10lg，所以I1＝102，I2＝1，从而＝100.所以n的值约为100. [答案]　B (2)[多选]漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效．杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间t(单位：小时)与失去的新鲜度y满足函数关系y＝，其中m，a为常数．已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去10%的新鲜度，采摘40小时之后失去20%的新鲜度．如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于85%，则物流时间(从杨梅采摘的时刻算起)可以是(参考数据：log23≈1.6)(　　) A．20小时 B．25小时 C．28小时 D．35小时 [解析]　由题意可知， 所以a30＝2即，m＝，由题意可知当t＜10时，失去的新鲜度小于10%，没有超过15%，当t≥10时，则有at≤15%即≤15%，所以≤，所以≤log2＋log2，解得t≤28. [答案]　ABC 1．求解已知函数模型解决实际问题的关注点． (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数； (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． 2．利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 声强级(单位：dB)由公式LI＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40 dB，现已知4位同学课间交流时，每人的声强分别为10－7 W/m2,2×10－9 W/m2,5×10－10 W/m2,9×10－11W/m2，则这4人中达到班级要求的有(　　) A．1人 B．2人 C．3人 D．4人 解析：C　[依题意，当I＝10－7W/m2时，LI＝10lg＝10lg105＝50；当I＝2×10－9W/m2时，LI＝10lg＝10lg(2×103)＝10(lg 2＋3)＝30＋10lg 2<30＋10lg 10＝40；当I＝5×10－10W/m2时，LI＝10lg＝10lg(5×102)＝10(lg 5＋2)＝20＋10lg 5<20＋10lg 10＝30；当I＝9×10－11W/m2时，LI＝10lg＝10lg(9×10)＝10(lg 9＋1)＝10＋10lg 9<10＋10lg 10＝20.所以这4人中达到班级要求的有3人．] 　　　构造函数模型的实际问题 [例3]　汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9)． 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3 距离 d0＝30 m d1 d2 d3＝m (1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90 m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？ [解]　(1)根据题意，d＝d0＋d1＋d2＋d3＝30＋0.8v＋0.2v＋＝30＋v＋(0≤v≤33.3)． (2)根据题意，对任意的k∈[0.5,0.9]，d<90恒成立，即对任意的k∈[0.5,0.9]，30＋v＋<90恒成立． 易知当v＝0时，满足题意； 当0<v≤33.3时，有<－对任意的k∈[0.5,0.9]恒成立， 由k∈[0.5,0.9]，得∈， 所以－>， 即v2＋10v－600<0，解得－30<v<20， 所以0<v<20. 综上，0≤v<20. 所以汽车的行驶速度应限制在20 m/s以下． 构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)(　　) A．4　　 B．5 C．6　　 D．7 解析：C　[设石片第n次“打水漂”时的速率为vn， 则vn＝100×0.90n－1. 由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6， 则(n－1)ln 0.90<ln 0.6， 即n－1>≈≈4.87，则n>5.87， 故至少需要“打水漂”的次数为6.] 学科网（北京）股份有限公司 $