第2章 2.5 二次函数与幂函数（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦二次函数与幂函数核心考点，涵盖幂函数定义、图象及性质，二次函数解析式、图象、单调性与最值等高考要求，按“定义-性质-应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识网络并突破难点。 资料采用分层教学策略，基础层设概念辨析题，提升层含综合应用题，如通过三种方法求二次函数解析式培养数学思维，结合幂函数“指大图低”规律强化数学语言表达，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

§2.5　二次函数与幂函数 ★[考试要求] 1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数　y＝xα　叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点　(1,1)　和　(0,0)　，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点　(1,1)　，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为　奇函数　；当α为偶数时，y＝xα为　偶函数　. 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝　ax2＋bx＋c(a≠0)　. 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为　(m，n)　. 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的　零点　. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递　减　； 在上单调递　增　 在上单调递　增　； 在上单调递　减　 1．巧识幂函数y＝xα的图象和性质 2．一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”． (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数是幂函数．(×) (2)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(×) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(√) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(×) 2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　) A. 　　 B．1 C.　　　 D．2 解析：C　[由幂函数的定义，知 所以k＝1，α＝，所以k＋α＝.] 3．函数f(x)＝2x2－x－1(－1≤x≤1)的值域是(　　) A．[0,1] B. C．[1,2] D. 解析：D　[f(x)＝2x2－x－1＝22－， 因为－1≤x≤1，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增， 又f(1)＝2－1－1＝0，f(－1)＝2＋1－1＝2， 故f(x)＝2x2－x－1在－1≤x≤1上的值域为.] 4．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为　________________. 解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4. 答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞) 　 　　幂函数的图象与性质 [例1]　(1)下列命题中正确的是(　　) A．当m＝0时，函数y＝xm的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 C．幂函数y＝xm图象不可能在第四象限内 D．若幂函数y＝xm为奇函数，则y＝xm是定义域内的严格增函数 [解析]　对A，当m＝0时，函数y＝xm的图象是一条直线除去点(0,1)，所以A项不正确； 对B，幂函数的幂指数小于0时，图象不经过(0,0)，所以B项不正确； 对C，幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内，所以C项正确； 对D，当m＝－1时，幂函数y＝xm为奇函数，但在定义域内不是严格的增函数，所以D项不正确； [答案]　C (2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A．d>c>b>a　　　　 B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c [解析]　由幂函数的图象可知在区间(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，在区间(1，＋∞)上幂函数的指数越大，函数图象越远离x轴，由题图知a>b>c>d. [答案]　B (3)已知幂函数f(x)＝xα满足2f(2)＝f(16)，若a＝f(log42)，b＝f(ln 2)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．b>c>a [解析]　幂函数f(x)＝xα中，2f(2)＝f(16)， 所以2×2α＝16α，即2α＋1＝24α，所以α＋1＝4α，解得α＝，所以f(x)＝，所以f(x)是定义域为R的单调增函数，又a＝f(log42)，b＝f(ln 2)， c＝，且log42＝，ln 2>ln＝ ＝<，所以<log42<ln 2，即<f(log42)<f(ln 2)，所以b>a>c. [答案]　C 幂函数的性质与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (3)当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，当α＜0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减． 1．已知幂函数f(x)的图象过点(2,32)，若f(a＋1)＋f(－1)＞0，则a的取值范围为(　　) A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：C　[设幂函数y＝f(x)＝xα，其图象过点(2,32)，所以2α＝32，解得α＝5，所以f(x)＝x5. 因为f(－x)＝(－x)5＝－f(x)，所以f(x)＝x5为奇函数，且在R上单调递增， 所以f(a＋1)＋f(－1)＞0可化为f(a＋1)＞－f(－1)＝f(1)， 可得a＋1＞1，解得a＞0，所以a的取值范围为(0，＋∞)．] 2．[多选]已知f(x)＝xα(α∈R)，则下列说法正确的是(　　) A．当α＝－1时，f(x)的值域为R B．当α＝3时，f(π)＞f(3) C．当α＝时，f(x2)是偶函数 D．当α＝时，f2(x)是奇函数 解析：BC　[当α＝－1时，f(x)＝，此时f(x)的值域为{y|y≠0}，故A错误， 当α＝3时，f(x)＝x3在R上单调递增，所以f(π)＞f(3)，B正确， 当α＝时，∀x∈R，f(x2)＝f((－x)2)＝f(x2)，所以f(x2)是偶函数，C正确， 当α＝时，f(x)＝，(x≥0)，则f2(x)＝x，(x≥0)，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D错误．] 　　　二次函数的解析式 [例2]　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． [解析]　法一：(利用一般式) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二：(利用顶点式) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为f(2)＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为x＝＝. 所以m＝.又根据题意函数有最大值8， 所以n＝8， 所以f(x)＝a2＋8. 因为f(2)＝－1，所以a2＋8＝－1， 解得a＝－4， 所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三：(利用零点式) 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍去)， 所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下： 1．幂函数 (m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　) A．0　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：C　[∵ (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点， ∴m2－4m<0，即0<m<4， 又m∈Z，∴m＝1或2或3. 又∵函数的图象关于y轴对称， ∴m2－4m为偶数，∴m＝2.] 2．写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数：f(x)＝__________. ①f(x)的最小值为－1；②f(x)的一次项系数为－4；③f(0)＝3；④f(x)＝f(－x＋2)． 解析：第一种情况：f(x)具有①②③三个性质，由②③可设f(x)＝ax2－4x＋3(a≠0)，则根据①可得：＝－1，解得a＝1，所以f(x)＝x2－4x＋3. 第二种情况：f(x)具有①②④三个性质，由①④可设f(x)＝a(x－1)2－1(a＞0)，则根据②可得：－2a＝－4，解得a＝2，所以f(x)＝2(x－1)2－1 ＝2x2－4x＋1. 第三种情况：f(x)具有①③④三个性质，由①④可设f(x)＝a(x－1)2－1(a＞0)，则根据③可得：f(0)＝a－1＝3，解得：a＝4，所以f(x)＝4(x－1)2－1＝4x2－8x＋3. 第四种情况：f(x)具有②③④三个性质，由②③可设f(x)＝ax2－4x＋3(a≠0)，则根据④可得－＝1，解得a＝2，所以f(x)＝2x2－4x＋3. 答案：x2－4x＋3或2x2－4x＋1或4x2－8x＋3或2x2－4x＋3.(不唯一) 　　　二次函数的图象与性质 ►[角度1]　二次函数的图象　 [例3－1]　[多选]函数f(x)＝ax2－2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为(　　) [解析]　因为f(x)＝ax2－2x＋1，g(x)＝xa， 对于A，当a＝－1时，f(x)＝－x2－2x＋1，其图象开口向下，对称轴为x＝－1， g(x)＝x－1＝，其图象关于原点对称，且在(0，＋∞)上单调递减，故A满足要求； 对于B，当f(x)＝ax2－2x＋1开口向上时，a＞0， 此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，故B不满足要求； 对于C，当a＝时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象开口向上，对称轴为x＝2， g(x)＝，其图象在[0，＋∞)上单调递增，且越来越缓，故C满足要求； 对于D，当f(x)＝ax2－2x＋1开口向上时，a＞0， 此时其对称轴为x＝－＝＞0，故D不满足要求． [答案]　BD ►[角度2]　二次函数的单调性与最值　 [例3－2]　(1)设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，求实数m的取值范围； (2)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1，求f(x)在区间[－1,2]上的最大值． [解]　(1)依题意a≠0，二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c＝a(x－1)2－a＋c，其图象的对称轴是直线x＝1，因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以a>0，即函数图象的开口向上，所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2. ∴实数m的取值范围为[0,2]． (2)f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，所以f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a. ①当－a<，即a>－时， f(x)max＝f(2)＝4a＋5； ②当－a≥，即a≤－时， f(x)max＝f(－1)＝2－2a. 综上，f(x)max＝ 求解二次函数的单调性及最值的策略 (1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解． (2)解决二次函数最值的方法，抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，可用下面的思维流程图表示： 1．已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3,0) B．(－∞，－3] C．[－2,0] D．[－3,0] 解析：D　[当a＝0时，f(x)＝－3x＋1，满足题意；当a>0时，函数f(x)在对称轴右侧单调递增，不满足题意；当a<0时，函数f(x)的图象的对称轴为x＝－，∵函数f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，∴－≤－1，得－3≤a<0.综上可知，实数a的取值范围是[－3,0]．] 2．函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是________． 解析：解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4， 解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，得x＝2， 由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2,2]． 若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此时b－a取得最小值2； 若函数f(x)在区间[a，b]上不单调， 且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0,4]， 所以b－a的最大值为4， 所以b－a的取值范围是[2,4]． 答案：[2,4] 学科网（北京）股份有限公司 $