第2章 2.4 函数的周期性与对称性（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数周期性与对称性高考核心考点，按定义、推论、应用逻辑梳理知识体系，涵盖周期判定、轴对称、中心对称及函数图象对称关系。通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生构建知识网络，突破抽象性质应用难点。 资料以数学思维和数学眼光为导向，设计周期性判定变式训练（如f(x+a)=-f(x)等关系式推导周期），结合几何直观分析对称公式推导过程。设置基础判断、综合应用分层练习，配合例题精讲，助力学生高效掌握性质应用，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

§2.4　函数的周期性与对称性 ★[考试要求] 1．了解函数的周期性及其几何意义.2.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.3.会依据函数的性质进行简单的应用． 1．函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且　f(x＋T)＝f(x)　，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　最小　的正数，那么这个　最小正数　就叫做f(x)的最小正周期． 2．奇函数、偶函数的对称性 (1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称； (2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点　(a,0)　对称． (3)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为　x＝a　；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为　(a,0)　. 3．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于　y轴　对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于　x轴　对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于　原点　对称． 1．函数的周期性 对f(x)定义域内任一自变量x的值： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)． 2．函数图象的对称关系 (1)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称； (2)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则f(x)的图象关于点对称． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期．(√) (2)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝1对称．(√) (3)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(1,0)对称．(×) (4)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)关于y轴对称．(×) 2．函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于________对称(　　) A．x轴　　　　　　　 B．y轴 C．坐标原点 D．不能确定 解析：B　[函数y＝f(x)上的点(x，y)关于y轴对称点为(－x，y)， ∵点(－x，y)在函数y＝f(－x)上，∴y＝f(x)与y＝f(－x)图象关于y轴对称．] 3．[多选]已知定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(－x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则(　　) A．f(－1)＜f(0) B．f(－1)＞f(0) C．f(0)＝f(2) D．f(0)＜f(2) 解析：BC　[因为定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(－x)， 所以函数f(x)关于x＝1对称， 所以f(0)＝f(2)＝ln 2，故C正确，D错误； f(－1)＝f(3)＝ln 3，所以f(－1)＞f(0)，故A错误，B正确．] 4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2 026)＝________. 解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4.又f(2)＝0，所以f(2 026)＝f(2＋4×506)＝f(2)＝0. 答案：0 　　　函数的周期性 [例1]　(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，则下列是周期函数的是(　　) A．y＝f(x)－x　　　　 B．y＝f(x)＋x C．y＝f(x)－2x D．y＝f(x)＋2x [解析]　依题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，所以f(x＋1)＋2(x＋1)＝f(x)＋2x，所以y＝f(x)＋2x是周期为1的周期函数． [答案]　D (2)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(x)＝f(2－x)，若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 026)＝(　　) A．1 B．0 C．1 013 D．2 026 [解析]　由已知f(x)＝f(2－x)，且f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数， 可得f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)， 即f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋2)＝f(x－2)， 即函数的最小正周期为4，即f(4k＋x)＝f(x)，k∈Z， 又f(1)＝1，f(0)＝0， 所以f(2)＝f(2－2)＝f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0， f(3)＝f(2－(－1))＝f(－1)＝－f(1)＝－1， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 026) ＝506[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(2 025)＋f(2 026)＝f(2 025)＋f(2 026)＝f(1)＋f(2)＝1. [答案]　A 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)f(x)＝1，若f(1)∈(1,2)，则f(2 027)的取值范围为(　　) A．(－2，－1) B．[1,4] C. D. 解析：C　[∵f(x＋2)f(x)＝1， ∴f(x＋2)＝， 即f(x＋4)＝＝＝f(x)， 即f(x＋4)＝f(x)， 所以4是函数f(x)的一个周期， ∵f(1)∈(1,2)， ∴f(2 027)＝f(3)＝∈.] 　　　函数的对称性 ►[角度1]　轴对称　 [例2－1]　(1)下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝ex－1 B．y＝e1－x C．y＝e2－x D．y＝ln x [解析]　f(x)＝ex关于x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x. [答案]　C (2)已知定义在R上的函数f(x)，对∀x∈R，都有f(x＋2)＝－f(x)＋2，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(2 027)＝(　　) A．－2　　 B．－1 C．2　　 D．1 [解析]　由函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，可得f(x－1＋1)＝f(1－x－1)， 即f(x)＝f(－x)，f(x)为偶函数， 由f(x＋2)＝－f(x)＋2得f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＋2＝f(x)，即f(x)是以4为周期的偶函数， 所以f(2 027)＝f(3＋4×506)＝f(3)＝f(－1)＝f(1)， 由f(x＋2)＝－f(x)＋2，令x＝－1可得f(1)＝－f(－1)＋2⇒f(1)＝1， 所以f(2 027)＝1. [答案]　D ►[角度2]　中心对称　 [例2－2]　(1)已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x＋1)为奇函数，f(2x＋4)＝f(2x)，则一定正确的是(　　) A．f(x)的周期为2 B．f(x)图象关于直线x＝1对称 C．f(x＋1)为偶函数 D．f(x＋3)为奇函数 [解析]　f(2x＋1)为奇函数，得f(2x＋1)＋f(－2x＋1)＝0， 即f(x＋1)＋f(－x＋1)＝0，则f(x＋1)为奇函数，故C错误； 且f(x)图象关于点(1,0)中心对称，故B错误； f(2x＋4)＝f(2x)可知，函数f(x)周期为4，故A错误； f(x)＝f(x＋4)，又f(x)图象关于点(1,0)中心对称，知f(x)＝－f(2－x)， 所以f(x＋4)＝－f(2－x)，得f(x)关于点(3,0)对称， 则f(x＋3)关于点(0,0)对称，所以f(x＋3)为奇函数，故D正确． [答案]　D (2)[多选]函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是y＝f(x＋a)－b为奇函数，下列结论正确的(　　) A．函数f(x)＝ax＋b没有对称中心 B．函数f(x)＝的对称中心为(－1,2) C．函数f(x)＝x3－2x2的对称中心的横坐标为 D．定义在[－3,3]的函数f(x)的图象关于点(0，－1)成中心对称．当0≤x≤3时，f(x)＝x2－2x－3，则f(x)的值域为[－4,2] [解析]　由于y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是y＝f(x＋a)－b为奇函数， 对于A，因为f－2b＝a＋b－2b＝ax， 所以g(x)＝f－2b，满足g(－x)＝－g(x)，是奇函数， 故f(x)关于点对称，故A错误； 对于B，因为g(x)＝f(x－1)－2＝－2＝－2＝－，定义域为{x|x≠0}，满足g(－x)＝＝－g(x)，是奇函数， 所以点(－1,2)为f(x)的对称中心，故B正确； 对于C，设f(x)＝x3－2x2的对称中心为(a，b)， 设g(x)＝f(x＋a)－b，则g(x)＝－g(－x)， 即f(x＋a)－b＝－f(－x＋a)＋b， 即(x＋a)3－2(x＋a)2－b＝－(－x＋a)3＋2(－x＋a)2＋b， 所以(3a－2)x2＋a3－2a2－b＝0恒成立，即3a－2＝0， 所以a＝，故函数f(x)＝x3－2x2的对称中心的横坐标为，故C错误； 对于D，因为定义在[－3,3]上的函数f(x)的图象关于点(0，－1)成中心对称． 所以可得y＝f(x)＋1为奇函数， 设g(x)＝f(x)＋1，即g(x)是奇函数， 当0≤x≤3时，f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， 所以f(x)∈[－4,0]，g(x)＝f(x)＋1∈[－3,1] x∈[－3,0]时，g(x)∈[－1,3]，所以f(x)＝g(x)－1∈[－2,2]， 所以x∈[－3,3]时，f(x)∈[－4,2]，故D正确． [答案]　BD (1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)， 则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称． 1．[多选]定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝f(x)＋f(－x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(x)在[－1,0]上是增函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(2)＝f(0) B．f(x)在[1,2]上单调递减 C．f(x)的图象关于点(－2,0)对称 D．f(x)的图象关于直线x＝2对称 解析：ABC　[对于A，由f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0， 又f(x＋2)＝－f(x)，则f(2)＝－f(0)＝f(0)，A正确， 对于B，由于f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，故f(x)是奇函数， 由f(x)在[－1,0]上单调递增可得f(x)在[0,1]上也单调递增 由f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，因此f(x)关于x＝1对称， 故f(x)在[1,2]上单调递减，B正确， 对于C，由f(x＋2)＝－f(x)， 则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)⇒f(x＋4)＋f(－x)＝0， 故f(x)关于(2,0)对称， 结合f(x)为奇函数，故f(x)的图象关于(－2,0)对称，故C正确， 对于D，因为f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(3)＝－f(1)， 又f(x)在[1,2]上单调递减，所以f(1)＞f(2)＝0， 故f(3)＝－f(1)＜f(1)，即f(3)≠f(1)，则x＝2不是f(x)的对称轴，故D错误．] 2．已知函数y＝f(x＋1)与y＝g(x)的定义域均为R，且它们的图象关于x＝1对称，若奇函数g(x)满足g(x)＝g(2－x)，下列关于函数f(x)的性质说法不正确的有(　　) A．f(x)关于x＝2对称 B．f(x)关于点(4,0)对称 C．f(x)的周期T＝4 D．f(2 027)＝0 解析：B　[对于A，令(x，y)是函数y＝g(x)的图象上任意一点，则(2－x，y)在y＝f(x＋1)的图象上， 即，则g(x)＝f(3－x)，由g(x)为奇函数，得g(－x)＋g(x)＝0， 则有f(3－x)＋f(3＋x)＝0，函数f(x)的图象关于点(3,0)对称， 又g(x)＝g(2－x)，则f(3－x)＝f(1＋x)，函数f(x)的图象关于x＝2对称，A正确； 对于C，f(3＋x)＝－f(1＋x)，即f(x＋2)＝－f(x)， 则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，f(x)的周期T＝4，C正确； 对于D，f(3)＝0，则f(2 027)＝f(506×4＋3)＝0，D正确； 对于B，由f(4－x)＝f(x)，得f(8－x)＝f(x)，函数f(x)的图象关于x＝4对称， 若f(x)图象关于点(4,0)对称，则f(8－x)＋f(x)＝0，即f(x)＝0， 而没有条件确保f(x)＝0恒成立，B错误．] 　　　两个函数图象对称 [例3]　设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－3)与函数y＝f(1－x)的图象关于(　　) A．直线x＝－1对称 B．直线x＝－2对称 C．直线x＝2对称 D．直线x＝1对称 [解析]　y＝f(1－x)是函数f(－x)的图象向右平移1个单位，由于y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以y＝f(1－x)与y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，y＝f(x－3)是函数y＝f(x－1)向右平移2个单位，所以函数y＝f(x－3)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝2对称． [答案]　C 函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)图象关于直线x＝对称． 已知y＝f(x＋4)是定义域为R的奇函数，y＝g(x－2)是定义域为R的偶函数，且y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则(　　) A．y＝f(x)是奇函数 B．y＝g(x)是偶函数 C．y＝f(x)关于点(2,0)对称 D．y＝g(x)关于直线x＝4对称 解析：A　[由于y＝f(x＋4)是定义域为R的奇函数，则y＝f(x)的图象关于(4,0)成中心对称， y＝g(x－2)是定义域为R的偶函数，则y＝g(x)的图象关于x＝－2对称， 因为y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则y＝f(x)的图象关于x＝2对称， 又y＝f(x)的图象关于(4,0)成中心对称， 所以y＝f(x)的图象关于(0,0)成中心对称， 故y＝f(x)为奇函数，A正确； 因为y＝f(x)为奇函数，故f(－x)＝－f(x)， 由y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，可得f(x)＝g(－x)，g(x)＝f(－x)， 故g(－x)＝f(x)＝－f(－x)＝－g(x)， 故y＝g(x)为奇函数，B错误； 由A的分析可知y＝f(x)的图象关于x＝2对称，故C错误； 由A的分析可知y＝f(x)的图象关于(4,0)成中心对称，y＝f(x)为奇函数， 则y＝f(x)的图象也关于(－4,0)成中心对称， 而y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称， 则y＝g(x)的图象关于(4,0)成中心对称，故D错误．] 学科网（北京）股份有限公司 $