第2章 2.8 函数的图象（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数图象高考核心考点，涵盖图象绘制（描点法、变换法）、对称性（轴对称、中心对称）及应用（性质研究、方程解、不等式解集），按“方法-性质-应用”逻辑架构知识。通过考点梳理（表格化变换规律）、方法指导（作图步骤总结）、真题训练（高考题实例）等环节，帮助学生系统突破难点。 资料以“数学眼光”观察图象变换规律，“数学思维”分析对称性逻辑，如例1通过分式函数图象变换培养几何直观，例3参数范围问题构建函数模型提升应用意识。设置基础诊断、分层例题及综合练习，确保高效复习，为教师把控节奏、学生提升应考能力提供有力支撑。

§2.8　函数的图象 ★[考试要求] 1．在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题． 1．利用描点法作函数图象的方法步骤 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)伸缩变换 ①y＝f(x) y＝　f(ax)　. ②y＝f(x) y＝　af(x)　. (3)对称变换 ①y＝f(x)y＝　－f(x)　. ②y＝f(x)y＝　f(－x)　. ③y＝f(x)y＝　－f(－x)　. ④y＝ax(a>0且a≠1)y＝　logax(a>0且a≠1)　. (4)翻折变换 ①y＝f(x)y＝　|f(x)|　. ②y＝f(x)y＝　f(|x|)　. 1．函数图象自身的轴对称 (1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x) ＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)． (3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x) ＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 2．函数图象自身的中心对称 (1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x) ＝－f(2a＋x)． (3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)． 3．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)． (2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称． (4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝|f(x)|为偶函数．(×) (2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(×) (3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(×) (4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y ＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(×) 2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　) 解析：C　[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降的快，故应选C.] 3．已知图甲中的图象对应的函数y＝f(x)，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是(　　) A．y＝f(|x|)　　　　 B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|) 解析：C　[B项中y＞0，D项中当x＞0时，开口向下，B、D排除，A项中，x＜0时，开口向下，可排除A项．] 4．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________. 解析：f(x)＝e－x，则g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1. 答案：e－x＋1 　　　作函数的图象 [例1]　作出下列各函数的图象： (1)y＝； (2)y＝|x2－4x－5|； (3)y＝|x－1|－1. [解]　(1)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． (2)y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示． (3)y＝|x－1|－1，其图象可看作由函数y＝|x|的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 而y＝|x|＝ 其图象可由y＝x的图象保留x≥0时的图象， 然后将该部分关于y轴对称得到， 则y＝|x－1|－1的图象如图所示． 函数图象的画法 分别作出下列函数的图象． (1)y＝＋； (2)y＝|x－2|(x＋1)； (3)y＝|log2(x＋1)|. 解：(1)设m(x)＝y ＝＋ ＝其图象如图． (2)当x≥2，即x－2≥0时，y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝2－；当x＜2，即x－2＜0时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－2＋. ∴y＝这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)． (3)设t(x)＝y＝|log2(x＋1)|，则其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位，再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图． 　　　函数图象的辨识 [例2]　(1)(2025·天津卷)已知函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ [解析]　本题考查了函数的图象，考查函数的性质，奇偶性，对称性．由图象可知，图象关于y轴对称．A中，f(x)＝＝－＝－f(－x)(x≠±1)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A；B中，f(－x)＝＝－＝－f(x)(x≠±1)为奇函数，故排除B；C中，f(－x)＝＝＝f(x)为偶函数，当x＝2时，f(2)＝＝－＜0，故排除C. [答案]　D (2)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝xcos [π(x＋1)] B．f(x)＝(x－1)cos πx C．f(x)＝(x－1)sin πx D．f(x)＝x3－2x2＋x－1 [解析]　对于A选项，f(0)＝0，A选项错误；对于C选项，f(0)＝0，C选项错误；对于D选项， f′(x)＝3x2－4x＋1，f′(x)＝0有两个不等的实根，故f(x)有两个极值点，D选项错误；对于B选项，f(x)＝(x－1)cos πx，f(0)＜0；当x∈，k∈Z时，cos πx＞0，x－1＜0，此时f(x)＜0，当x∈，k∈Z时，cos πx＜0，x－1＜0，此时f(x)＞0，当x∈，k∈Z时，cos πx＜0，x－1＞0，此时f(x)＜0，依次类推可知f(x)函数值有正有负；显然f(x)不单调；因为当x＝＋k，k∈Z时f(x)＝0，所以f(x)有多个零点；因为f(2)＝1，f(－2)＝－3，所以f(2)≠f(－2)，f(2)≠－f(－2)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，以上均符合，故B正确． [答案]　B (1)抓住函数的性质，定性分析 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从函数的周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (2)抓住函数的特征，定量计算 利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决问题． 1．函数f(x)＝的图象大致为(　　) 解析：A　[由函数f(x)＝可得函数的定义域为{x|x≠0}， 由f(－x)＝＝－＝－f(x)可知函数f(x)为奇函数， 其图象关于坐标原点对称，故舍去B，D两项； 又由f(2)＝＜0可得C项不合题意，故A项正确．] 2．已知函数f(x)的部分图象如图所示，则它的解析式可能是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝excos x D．f(x)＝exsin x 解析：D　[由图象可知，函数f(x)的定义域为R.A项，f(x)＝，函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，所以A不符合题意； B项，f(x)＝，函数f(x)的定义域为，所以B不符合题意； C项，当0＜x＜π时，f(x)＝ex·cos x，则f′(x)＝ex·cos x－ex·sin x＝ex(cos x－sin x)，当0＜x＜时，f′(x)＞0，当＜x＜π时，f′(x)＜0.所以f(x)在上递增，在上递减，所以f是函数的极大值，结合图形，f不是极大值，故C不符合题意； D项，当0＜x＜π时，f(x)＝ex·sin x，则f′(x)＝ex·cos x＋ex·sin x＝ex(cos x＋sin x)，当0＜x＜时，f′(x)＞0，当＜x＜π时，f′(x)＜0，所以f(x)在上递增，在上递减，结合图形，D符合题意．] 　　　函数图象的应用 ►[角度1]　研究函数的性质　 [例3－1]　[多选]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则下列结论正确的是(　　) A．2是函数f(x)的周期 B．函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增 C．函数f(x)的最大值是1，最小值是0 D．当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3 [解析]　由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，A正确；当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝1＋x，画出函数y＝f(x)的部分图象如图所示． 由图知B正确，C不正确；当3<x<4时，－4＜－x＜－3,0＜4－x＜1，f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝x－3，因此D正确． [答案]　ABD ►[角度2]　图象在不等式中的应用　 [例3－2]　设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) [解析]　f(x)为奇函数，<0⇔<0⇔xf(x)<0，由题意可知f(x)的大致图象如图所示，所以所求不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)． [答案]　D [延伸探究]　若将“奇函数f(x)”改为“偶函数f(x)”，不等式<0的解集为________________． [解析]　作函数f(x)的图象如图所示： [答案]　(－∞，－1)∪(0,1) ►[角度3]　求参数的取值范围　 [例3－3]　已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－2有三个互不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　) A.　　　　　　　 B. C．(－2＋8,1) D. [解析]　作出函数f(x)的图象如图所示， 直线y＝kx－2恒过点(0，－2)，当y＝kx－2过点(2，－1)时，解得k＝，此时直线y＝kx－2与f(x)有两个交点，故关于x的方程f(x)＝kx－2有两个互不相等的实根；将y＝kx－2代入y＝－x2＋8x－15得x2＋(k－8)x＋13＝0，当x≥2时，直线与抛物线只有一个交点，则Δ＝(k－8)2－52＝0，解得k＝8－2或k＝8＋2.当k＝8＋2时，解得x＝－，不满足x≥2，应舍去，即k＝8－2.所以实数k的取值范围是. [答案]　B 利用函数图象所解题型 (1)利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质[单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点]常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系． (2)利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标． (3)利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解． 1．[多选]对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法正确的是(　　) A．函数F(x)是偶函数 B．方程F(x)＝0有三个解 C．函数F(x)在区间[－1,1]上单调递增 D．函数F(x)有4个单调区间 解析：ABD　[根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图． 由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}关于y轴对称，所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，所以B项正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确．] 2．(2024·北京卷)已知M＝{(x，y)|y＝x＋t(x2－x)，1≤x≤2,0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集．设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则(　　) A．d＝3，S<1 B．d＝3，S>1 C．d＝，S<1 D．d＝，S>1 解析：C　[∵1≤x≤2，∴x2－x∈[0,2]，∴y＝x＋(x2－x)t,0≤t≤1可看作关于t的一次函数，则y关于t单调递增或y是关于t的常数函数． 又∵y＝tx2＋(1－t)x,1≤x≤2，∴函数y＝tx2＋(1－t)x图象的对称轴为直线x＝－≤0，∴y关于x的函数在[1,2]上单调递增，又t，x均为非负数． ∴当t，x均取最小值与t，x均取最大值时M中两点间的距离为最大值即d取最大值，即M中点(1,1)和(2,4)间的距离最大，得d＝. M表示的图形如图阴影所示，利用大长方形的面积减去小正方形及两个梯形的面积，可得S＜1.] 学科网（北京）股份有限公司 $