第2章 2.3 函数的奇偶性（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数奇偶性高考核心考点，涵盖概念、几何意义及应用，以定义-重要结论-判断方法-综合应用为逻辑链组织知识点。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破奇偶性判断与应用难点。 讲义特色在于结合定义辨析与抽象函数推理培养数学思维，设计分层练习（基础判断、综合应用）和真题案例（如求解析式、参数）。通过赋值法、转化法等策略提升解题效率，助力学生在有限时间内强化应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

§2.3　函数的奇偶性 ★[考试要求] 1．了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用． 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且　f(－x)＝f(x)　，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于　y轴　对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且　f(－x)＝－f(x)　，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于　原点　对称 函数奇偶性的重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量的值互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量的值也互为相反数． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(×) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(×) (3)对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，则函数y＝f(x)是奇函数．(×) (4)若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)g(x)是奇函数．(√) 2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝－x3　　　　　　 B．y＝ C．y＝|x| D．y＝ 解析：D　[y＝－x3，y＝都是奇函数，排除A，B. y＝|x|，y＝都是偶函数，y＝|x|在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减．] 3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－　　 B. C.　　 D．－ 解析：B　[显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝，∴a＋b＝.] 4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋b，则f(－1)＝________. 解析：f(x)是奇函数，则f(0)＝b＝0，即x≥0时，f(x)＝2x，所以f(1)＝2，从而f(－1)＝－f(1)＝－2. 答案：－2 　　　函数奇偶性的判断 ►[角度1]　判断函数的奇偶性　 [例1－1]　下列函数为奇函数的是(　　) A．f(x)＝x3＋x2 B．f(x)＝1＋ C．f(x)＝ln(x－1)－ln(x＋1) D．f(x)＝ [解析]　A．因为f(－x)＝－x3＋x2≠－f(x)，所以该函数不是奇函数； B．因为f(x)＋f(－x)＝1＋＋1＋＝2＋＋＝＝0，所以该函数是奇函数； C．由⇒x＞1，该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数不是奇函数； D．因为f(－x)＝＝f(x)，所以该函数是偶函数，不符合题意． [答案]　B ►[角度2]　抽象函数奇偶性的判断　 [例1－2]　[多选]已知f(x)是定义在R上的函数，下列结论正确的有(　　) A．若满足f(x2)＝－f(－x2)，则f(x)是奇函数 B．满足2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)，且f(0)≠0，则y＝f(x)为奇函数 C．若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，则f(x)为偶函数 D．若恒有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，则f(x)是奇函数 [解析]　对于A，若∀t∈R，当t＞0时，令t＝x2，因为f(x2)＝－f(－x2)， 所以f(t)＝－f(－t)，即f(－t)＝－f(t)； 当t＝0时，令t＝x2＝0，因为f(x2)＝－f(－x2)， 所以f(0)＝－f(－0)，即f(0)＝0； 当t＜0时，令t＝－x2，因为f(x2)＝－f(－x2)， 所以f(－t)＝－f(t)， 综上，∀t∈R，f(－t)＝－f(t)，所以f(x)是奇函数，所以A正确； 对于B，在2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝0，得2f2(0)＝2f(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，显然不符合f(－x)＝－f(x)，故B错误； 对于C，令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)， ∴f(0)＝0， 令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)， 即f(x)为奇函数，C错误； 对于D，对任意x，y∈R，总有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，令x＝y＝0得f(0)＝0；令x＝y＝1得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0； 令x＝y＝－1得f(1)＝－f(－1)－f(－1)，所以f(－1)＝0； 令y＝－1得f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故D正确． [答案]　AD 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 1．设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1　　　　 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 解析：B　[解法一：因为f(x)＝＝－1＋，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0,0)中心对称，所以f(x－1)＋1为奇函数． 解法二：因为f(x)＝，所以f(x－1)＝＝，f(x＋1)＝＝.对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)，故F(x)不是奇函数；对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)，故G(x)为奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝－1＝－，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数．] 2．已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋y)－[f(x)＋f(y)]＝2 024，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x)＋2 024是奇函数 D．f(x)＋2 024是偶函数 解析：C　[因为f(x＋y)－[f(x)＋f(y)]＝2 024， 所以令x＝y＝0，可得f(0)＝－2 024， 令y＝－x，则f(0)－f(x)－f(－x)＝2 024， 所以f(－x)＝－f(x)－4 048， 则f(x)既不是奇函数又不是偶函数， 且f(－x)＋2 024＝－[f(x)＋2 024]， 所以f(x)＋2 024是奇函数．] 　　　函数奇偶性的应用 ►[角度1]　利用函数的奇偶性求值　 [例2－1]　(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　) A．－　　 B．－ C.　　　D. [解析]　f＝f＝f＝5－2＝－，故选A. [答案]　A ►[角度2]　利用函数的奇偶性求解析式　 [例2－2]　已知f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x3＋2x＋1，则x＜0时，f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝－x3－2x－1(x＜0) B．f(x)＝－x3－2x＋1(x＜0) C．f(x)＝x3＋2x－1(x＜0) D．f(x)＝－x3＋2x＋1(x＜0) [解析]　因为f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x3＋2x＋1， 设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)3＋2(－x)＋1＝－f(x)⇒f(x)＝x3＋2x－1(x＜0)． [答案]　C ►[角度3]　利用函数的奇偶性求参数　 [例2－3]　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－3x＋m，则f(1)＝________. [解析]　由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0， 而当x≤0时，f(x)＝2x2－3x＋m，则m＝f(0)＝0，所以当x≤0时，f(x)＝2x2－3x， 所以f(1)＝－f(－1)＝－[2(－1)2－3(－1)]＝－5. [答案]　－5 已知函数奇偶性可以解决的3个问题 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出解析式． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得出参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值． 1．(2025·全国二卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝(x2－3)ex＋2，则(　　) A．f(0)＝0 B．当x＜0时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2 C．f(x)≥2当且仅当x≥ D．x＝－1是f(x)的极大值点 解析：ABD　[由奇函数的性质可知，因为f(x)的定义域为R，f(0)＝0，所以A正确； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝(x2－3)e－x＋2，又因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－(x2－3)e－x－2，所以B正确； 当x>0时，f′(x)＝(x＋3)(x－1)ex，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增 x→0时，f(x)→－1，f(1)＝－2e＋2<0，f＝2>0，所以f(x)的图象大致为 因为2e－2>2，所以C错误，由奇函数图象关于原点对称可知D正确．] 2．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1，若f(2)＝4，则f(－2)＝(　　) A．－4 B．－2 C．0 D．2 解析：B　[令g(x)＝ax3＋bx，则f(x)＝g(x)＋1. 由g(x)定义域关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)得g(x)为奇函数， ∵f(2)＝g(2)＋1＝4，∴g(2)＝3， ∴f(－2)＝g(－2)＋1＝－3＋1＝－2.] 3．设a∈R，函数y＝f(x)是奇函数．若f(1)＝ea－3，f(－1)＝1，则a＝________. 解析：因为函数y＝f(x)是奇函数， 所以f(－1)＝－f(1)＝－(ea－3)＝1，解得：a＝ln 2. 答案：ln 2 学科网（北京）股份有限公司 $