第2章 2.7 对数与对数函数（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦对数与对数函数高考核心考点，涵盖概念、运算性质、图象性质及反函数，按“概念-性质-应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理（表格归纳）、方法指导（运算思路、图象应用）、真题训练（例题解析、练习题）等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破重点难点。 资料突出核心素养培养，如通过对数函数图象数形结合分析，发展学生几何直观（数学眼光）；借助运算性质推导及分类讨论，提升推理能力（数学思维）。设计判断正误、多选例题、分层练习等教学活动，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

§2.7　对数与对数函数 ★[考试要求] 1．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 1．对数 概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底数N的　对数　， 记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1) loga1＝0，logaa＝1，＝　N　(a>0，且a≠1) 运算法则 loga (MN)＝　logaM　＋　logaN　 a>0，且a≠1， M >0，N>0 loga＝　logaM　－　logaN　 logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底 公式 logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) [注意]　在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)． 2．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图 象 性 质 定义域：　(0，＋∞)　 值域：R 过定点　(1,0)　 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是　增函数　 在(0，＋∞)上是　减函数　 [注意]　y＝logax(a>0且a≠1)的图象只在第一、四象限．在直线x＝0的右侧． 3．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数　y＝logax　(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 　y＝x　对称． 1． 2．如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(×) (2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×) (3)函数y＝loga与函数y＝loga(1＋x)－loga(1－x)是同一个函数．(×) (4)函数y＝log2x与的图象重合．(√) 2．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　) 解析：B　[若a＞1，则y＝ax是增函数，y＝loga(－x)是减函数；若0＜a＜1，则y＝ax是减函数，y ＝loga(－x)是增函数，排除A，C，D.由于y＝loga(－x)只能在y轴左侧，B正确．] 3．计算：(log29)·(log34)＝________. 解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4. 答案：4 4．若对数函数f(x)的图象经过点(4,2)，则它的反函数g(x)的解析式为________． 解析：设f(x)＝logax，函数过(4,2)，即f(4)＝loga4＝2，即a＝2，f(x)＝log2x， 它的反函数g(x)的解析式为g(x)＝2x. 答案：g(x)＝2x 　　　对数式的运算 [例1]　(1)[多选]下列等式成立的是(　　) A.＝1 B.＝2 C．lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝0 D．(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝2 [解析]　＝＝1，A成立； ＝＝＝1，B不成立； lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝(lg 7＋lg 2)－(2lg 7－2lg 3)＋lg 7－(2lg 3＋lg 2)＝0，C成立； (lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝1，D不成立． [答案]　AC (2) 已知1.8x＝3，y＝log0.23，则－＝________. [解析]　由题意：x＝log1.83，＝＝log31.8，＝log30.2，∴－＝log31.8－log30.2＝log3 ＝log39＝2. [答案]　2 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 1．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　) A．1010.1　　　　　　 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1 解析：A　[由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg，所以lg＝10.1，所以＝1010.1.] 2．[多选]已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝(　　) A. B. C. D．2 解析：AD　[令t＝logab，则t＋＝， ∴2t2－5t＋2＝0， 即(2t－1)(t－2)＝0， ∴t＝或t＝2， ∴logab＝或logab＝2， ∴a＝b2或a2＝b， 又∵ab＝ba， ∴2b＝b2＝a或a2＝2a＝b， ∴b＝2，a＝4或a＝2，b＝4. ∴＝2或＝.] 　　　对数函数的图象及应用 [例2]　(1)[多选]已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，若f(m)＝g(n)，则下列结论可能成立的为(　　) A．m＝n B．n＜m＜1 C．m＜1＜n D．1＜m＜n [解析]　根据题意在同一直角坐标系中画出f(x)＝ln x与g(x)＝lg x的图象，如图所示， 当x＝1时，此时f(x)＝g(x)，即f(m)＝g(n)，故m＝n＝1，故A正确； 当0＜x＜1时，此时f(x)＝g(x)，即f(m)＝g(n)，故n＜m＜1，故B正确； 当x＞1时，此时f(x)＝g(x)，即f(m)＝g(n)，故1＜m＜n，故D正确． [答案]　ABD (2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为________． [解析]　若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点， 由图象知解得0<a≤. [答案]　 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 1．若0＜a＜1，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可能是(　　) 解析：D　[因为0＜a＜1，函数g(x)＝loga(|x|－1)满足|x|－1＞0，解得x＜－1或x＞1，即函数g(x)＝loga(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除A，B，又由g(－x)＝loga(|－x|－1)＝loga(|x|－1)＝g(x)，所以函数g(x)为偶函数，所以函数g(x)的图象关于y轴对称的偶函数，当x＞1时，函数g(x)＝loga(|x|－1)单调递减，排除C.] 2．设x1，x2，x3均为实数，且＝ln x1，＝ln(x2＋1)，＝lg x3，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2 C．x2<x3<x1 D．x2<x1<x3 解析：D　[画出函数y＝x，y＝ln x， y＝ln(x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示． 数形结合，知x2<x1<x3.] 　　　对数函数的性质及应用 ►[角度1]　比较大小　 [例3－1]　设a＝log20.7，b＝log30.6，c＝log0.30.2，则(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a [解析]　a＝log20.7＜0，b＝log30.6＜0，c＝log0.30.2＞0，log20.7＜log2＝－＝log3＜log30.6， 所以a＜b，则a＜b＜c. [答案]　A ►[角度2]　解对数方程、不等式　 [例3－2]　已知对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)，且loga＜loga，则关于x的不等式loga(2x－3)＞0的解集为　________　. [解析]　[因为loga＜loga，当0＜a＜1时，则有＞，无解；当a＞1时，则有＜，解得：a＞1，所以a＞1，则对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)在(0，＋∞)上单调递增，又关于x的不等式 loga(2x－3)＞0，所以2x－3＞1，解得：x＞2，所以关于x的不等式loga(2x－3)＞0的解集为(2，＋∞)．] 答案　(2，＋∞) ►[角度3]　对数函数性质的综合应用　 [例3－3]　设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) [解析]　由题意得 或 解得a>1或－1<a<0. [答案]　C ►[角度4]　利用对数函数单调性求参数的取值范围　 [例3－4]　已知函数f(x)＝对任意两个不相等的实数x1，x2∈都满足不等式＞0，则实数a的取值范围为　________　. [解析]　由于f(x)满足：对任意两个不相等的实数x1，x2∈都满足不等式 ＞0，所以f(x)在区间上单调递增． y＝在(0，＋∞)上单调递减； g(x)＝x2－ax－a的开口向上，对称轴为x＝， 所以 解得－1≤a≤， 所以a的取值范围是. [答案]　 (1)比较对数值的大小的方法 ①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论； ②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较； ③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较． (2)解对数不等式的类型及方法 ①形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论； ②形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解． (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 1．(2025·全国一卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是(　　) A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．y＞z＞x 解析：B　[设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t－2，y＝3t－3，z＝5t－5，取t＝0，易知x>y>z，排除A；取t＝5，易知y>x>z，排除C；取t＝8，易知y>z>x，排除D；故选B.] 2．(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋b)．若f(x)≥0.则a2＋b2的最小值为(　　) A.　　 B. C.　　 D．1 解析：C　[当x＜－a时x＋a＜0，当x＞－a时x＋a＞0，当x＜1－b时ln(x＋b)＜0， 当x＞1－b时ln(x＋b)＞0，所以要f(x)恒非负，必须－a＝1－b，即b－a＝1， 所以a2＋b2＝≥， 当且仅当a＝－，b＝时取等号．] 学科网（北京）股份有限公司 $