第2章 2.1 函数的概念及其表示（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数概念及其表示这一高考核心模块，涵盖函数定义、三要素、表示法及分段函数等考点，按“概念理解—性质应用—方法归纳”逻辑架构知识体系。通过考点梳理明确定义域、解析式等考查要求，结合方法指导（如换元法求解析式）和真题训练（典型例题与分层练习），帮助学生系统突破函数问题难点。 资料突出数学思维与数学语言的培养，如通过函数概念辨析题（判断两个函数是否相同）发展学生逻辑推理能力，在分段函数求值中引导学生用数学符号精准表达。设置基础判断、能力提升、综合应用三层练习，配合即时反馈，确保高效复习。为教师提供清晰的复习节奏把控方案，助力学生构建函数问题解题框架，提升应考能力。

1．全面系统复习，深刻理解知识本质 (1)重视函数的概念和性质的理解：深刻把握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等概念．研究函数的性质，注意分析函数解析式的特征，同时注意函数图象的作用． (2)重视对基本初等函数的研究：基本初等函数(一次函数、二次函数、反比例函数、指数与对数函数、幂函数与分段函数等)是考查知识的常见载体．复习时通过选择题和填空题加以训练和巩固，注意将问题和方法进行归纳、整理． (3)重视幂的运算性质、对数的运算性质及其应用． 2．熟练掌握解决以下问题的方法规律 (1)函数图象的确定与应用问题． (2)函数性质(单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性、零点)的确定与应用问题． 3．重视思想方法的应用 函数问题中蕴含着十分丰富的数学思想方法，这也是高考重视函数考查的一个重要原因．函数、方程、不等式之间有着密切的联系，在复习时要关注这种联系，要善于从函数的角度理解方程和不等式问题，也要善于利用方程和不等式的知识解决函数问题．函数与其他知识的交汇是高考命题的热点，数学思想是灵魂． (1)数形结合思想：函数的图象为解决与函数有关的问题提供了有利的图形保障，研究函数的性质、方程的根的个数、不等式的解集等问题，往往用到数形结合思想． (2)函数与方程思想：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究．函数与不等式的相互转化：对函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为f(x)>0，借助函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式． (3)转化与化归思想：通过构造函数，将方程问题、不等式问题转化为函数的单调性、最值等问题． §2.1　函数的概念及其表示 ★[考试要求] 1．了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用． 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的　实数集　，如果对于集合A中的　任意　一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有　唯一确定　的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素 (1)函数的三要素：　定义域　、　对应关系　、　值域　. (2)如果两个函数的　定义域　相同，并且　对应关系　完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有　解析法　、图象法和　列表法　. 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×) (2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．(×) (3)y＝x0与y＝1是同一个函数．(×) (4)函数f(x)＝的定义域为R.(√) 2．函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A.∪(2，＋∞) B.∪(2，＋∞) C. D.∪(2，＋∞) 解析：D　[由函数的性质得⇒，故函数定义域为∪(2，＋∞)．] 3．已知函数f(x)＝则f(0)＝(　　) A．0　　 B．3 C．8　　 D．15 解析：B　[由题知f(0)＝f(2)＝22－1＝3.] 4．若f(＋1)＝x－1，则f(x)＝________. 解析：令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，t≥1，所以f(x)＝x2－2x，x≥1. 答案：x2－2x，x≥1 　　　函数的概念 [例1]　(1)[多选]下列说法正确的有(　　) A．式子y＝＋可表示y关于x的函数 B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个 C．函数f(x)＝，则f[f(0)]＝4 D．f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数 [解析]　对于A，由y＝＋有意义可得，，所以1≤x≤2， 又对于任意的x∈[1,2]，存在唯一的y与之对应，所以A正确； 对于B，由函数的定义，在定义域内的每一个x，有且只有一个y与之对应， 所以函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个，故B正确； 对于C，f(x)＝， 故f(0)＝4，f[f(0)]＝f(4)＝4－4＝0，故C错误； 对于D，函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t有相同的定义域与对应关系，故这两个函数是同一个函数，故D正确． [答案]　ABD (2)已知函数f(x)的定义域为(1,3)，则函数g(x)＝的定义域为________． [解析]　因为f(x)的定义域为(1,3)， 所以f(x－1)满足1＜x－1＜3，即2＜x＜4， 又函数g(x)＝有意义，所以x－3＞0，即x＞3 所以函数g(x)＝的定义域为(3,4)． [答案]　(3,4) 函数的含义及判断两个函数相同的方法 (1)函数的含义 ①A，B是非空的实数集． ②函数只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素在集合A中有无元素与之对应，有几个元素与之对应却无所谓． ③只有深刻理解函数的概念才能在解决此类问题时游刃有余． (2)判断两个函数相同的方法 ①构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同． ②两个函数当且仅当定义域和对应关系相同时，才是相同函数． 1．函数f(x)＝＋的定义域是(　　) A．x＜1且x≠0　　　 B．x≤1且x≠0 C．(－∞，0)∪(0,1] D．(－∞，0)∪(0,1) 解析：C　[因为f(x)＝＋，则，解得x≤1且x≠0， 所以函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0,1]．] 2．[多选]下列命题正确的是(　　) A．y＝与y＝x不是同一个函数 B．y＝的值域为(－∞，2] C．函数y＝x＋的值域为[0，＋∞) D．若函数f(x＋1)的定义域为[1,4]，则函数f(x)的定义域为[2,5] 解析：AD　[对于A，y＝，y＝x的定义域为R，y＝＝|x|与y＝x对应法则不相同， 故y＝与y＝x不是同一个函数，A正确； 对于B，y＝，由－x2－2x＋3≥0，可得－3≤x≤1， 又－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，当x＝－1时，－x2－2x＋3取到最大值4， 故y＝的值域为[0,2]，故B错误； 对于C，函数y＝x＋的定义域为[1，＋∞)，且单调递增，此时≥0， 故函数y＝x＋的值域为[1，＋∞)，C错误； 对于D，函数f(x＋1)的定义域为[1,4]，即1≤x≤4，则2≤x＋1≤5， 即函数f(x)的定义域为[2,5]，D正确．] 　　　函数的解析式 [例2] 已知f(x)满足下列条件，分别求f(x)的解析式． (1)f(－1)＝x－2； (2)f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2； (3)f(x)满足2f(x)＋f＝3x－1. [解]　(1)方法一(配凑法)：∵x－2＝(－1)2－1， ∴f(－1)＝(－1)2－1，∵x≥0，∴－1≥－1. ∴f(x)＝x2－1(x≥－1)． 方法二(换元法)：设u＝－1，则＝u＋1(u≥－1)， ∴f(u)＝(u＋1)2－2(u＋1)＝u2－1(u≥－1)， 即f(x)＝x2－1(x≥－1)． (2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2， ∴a＝1，b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又∵方程f(x)＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1. (3)(构造法)已知2f(x)＋f＝3x－1，① 以代替①中的x(x≠0)， 得2f＋f(x)＝－1，② ①×2－②，得3f(x)＝6x－－1， 故f(x)＝2x－－(x≠0)． 函数解析式的求法 (1)待定系数法：已知函数的类型，可用待定系数法． (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)消去法：已知关于f(x)与f(或f(－x))的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． (4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式． 1．[多选]下列命题中正确的有(　　) A．若一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋3，则函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1 B．若f(3x)＝x2＋4x，则函数f(x)的定义域为(0，＋∞) C．若f＝x3－，则函数f(x)的解析式为f(x)＝x3＋3x D．若函数f(x)满足关系式f(x)＋2f＝3x，则f(x)＝－x 解析：BCD　[对于A，设f(x)＝kx＋b， 则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b， 因为f(f(x))＝4x＋3，所以 解得或 故函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3，A错误；对于B，令t＝3x，则x＝log3t(t＞0)，则f(t)＝(log3t)2＋4log3t，t＞0，故函数的定义域为(0，＋∞)，B正确；对于C，f＝x3－＝＝， 且x－的取值范围是R， 所以f(x)＝x(x2＋3)＝x3＋3x，C正确；对于D，由f(x)＋2f＝3x，得f＋2f(x)＝， 联立解得f(x)＝－x，D正确．] 2．已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝________. 解析：(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b，又f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即解得或所以f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8. 答案：2x＋或－2x－8 3．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________. 解析：(解方程组法)在f(x)＝2f·－1中，将x换成，则换成x，得f＝2f(x)·－1，由 解得f(x)＝＋. 答案：＋ 　　　分段函数 [例3]　(1)[多选]已知函数f(x)＝，则关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4) C．f(1)＝3 D．若f(x)＝1，则x的值为±1 [解析]　由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误； 当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1＜x＜2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确； 当x＝1时，f(1)＝12＝1，故C错误； 当x≤－1时，f(x)＝x＋2＝1⇒x＝－1，当－1＜x＜2时，f(x)＝x2＝1⇒x＝1，故D正确． [答案]　BD (2)[多选]函数D(x)＝称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是(　　) A．D(D(2))＝D(D()) B．D(x)的值域与函数f(x)＝的值域相同 C．D(x)≠D(－x) D．对任意实数x，都有D(x＋1)＝D(x) [解析]　对于A，根据狄利克雷函数定义可知D(D(2))＝D(1)＝1，D(D())＝D(0)＝1，即A正确； 对于B，易知函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，∞)， 当x∈(－∞，0)时，f(x)＝＝0； 当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝＝1； 即函数f(x)＝的值域为{0,1}，所以B正确； 对于C，若x∈Q，则－x∈Q，则D(x)＝D(－x)＝1， 若x∈∁RQ，则－x∈∁RQ，则D(x)＝D(－x)＝0，综上可得：D(x)＝D(－x)，故C错误； 对于D，当x∈Q时，x＋1∈Q，此时D(x＋1)＝D(x)＝1； 当x∉Q时，x＋1∉Q，此时D(x＋1)＝D(x)＝0，所以D正确． [答案]　ABD 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 1．已知分段函数f(x)＝，f(m)＝4，则实数m＝(　　) A．2 B．－2或3 C．－2或2 D．－2或2或3 解析：C　[当m≥0时，f(m)＝2m＝4，解得m＝2； 当m＜0时，f(m)＝m2－m－2＝4，解得m＝3(舍)或m＝－2， 所以m＝2或－2.] 2．函数f(x)＝的值域为(　　) A．(－∞，8] B．(－∞，6] C．[2，＋∞) D．[4，＋∞) 解析：A　[当x≤3时，设t＝，t≥0，则x＝3－t2， f(x)＝g(t)＝2(3－t2)＋4t＝－2(t－1)2＋8， 因t≥0，则f(x)＝g(t)≤8； 当x＞3时，设u＝，u＞0，则x＝u2＋3， f(x)＝h(u)＝－2(u2＋3)＋4u＋12＝－2(u－1)2＋8 因u＞0，则f(x)＝h(u)≤8. 综上，函数f(x)的值域为(－∞，8]．] 学科网（北京）股份有限公司 $