第1章 培优拓展1 集合的新定义问题（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦集合新概念问题这一高考热点，围绕信息迁移类试题，按“概念解析—典例分析—方法总结”逻辑架构知识点，通过考点梳理（新定义内涵）、方法指导（“3定”策略）、真题讲解（分拆问题实例）、分层练习（幂集多选题）等环节，帮助学生突破理解与应用难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义采用分类讨论与概念辨析融合的创新教学法，如典例中按集合元素个数分类推导分拆种数，培养学生抽象能力与推理意识。通过“定元素、定运算、定结果”策略指导快速迁移，设置基础到综合练习，保障复习效率。提升学生信息转化与逻辑推理能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题，这类试题的特点是：通过给出的新的数学概念或新的运算法则，在新的情境下完成某种推理证明，或在新的运算法则下进行运算．常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型．解决此类题的关键是理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则等的含义，然后分析题目中的条件，设法进行套用． [典例]　已知集合A1，A2满足A＝{x|x∈A1，或x∈A2}，则称A1，A2为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A＝{1,2,3}的不同分拆的种数是(　　) A．27　　　　　　　 B．26 C．9 D．8 [解析]　①当A1＝∅时，A2＝{1,2,3}，只有1种分拆； ②当A1是单元素集合时(有三种可能)，则A2必须包含除该元素之外的两个元素，也可能包含三个元素，有2种情况(如A1＝{1}时，A2＝{2,3}或A2＝{1,2,3})，所以当A1是单元素集合时有6种分拆； ③当A1是含两个元素的集合时(有三种可能)，则A2必须包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包含A1中的一个或两个元素，有4种情况(如A1＝{1,2}时，A2＝{3}或A2＝{1,3}或A2＝{2,3}或A2＝{1,2,3})，所以当A1是含两个元素的集合时有12种分拆； ④当A1是含三个元素的集合时(只有一种可能)，则A2可能含零个、一个、两个或三个元素，有23种情况(即A1＝{1,2,3}时，A2可以是集合{1,2,3}的任意一个子集)，所以当A1是含三个元素的集合时，有23＝8种分拆． 故集合A＝{1,2,3}的不同分拆的种数是1＋6＋12＋8＝27. [答案]　A 集合新定义问题的“3定” (1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素． (2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题． (3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． [多选]定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P(A)，用n(A)表示有限集A的元素个数，给出下列命题，其中正确的命题是(　　) A．存在集合A，使得n[P(A)]＝5 B．若A⊆B，则P(A)⊆P(B) C．若A∩B＝∅，则P(A)∩P(B)＝∅ D．若n(A)－n(B)＝2，则n[P(A)]＝4×n[P(B)] 解析：BD　[对于A，设n(A)＝m，则A的子集个数为2m，故n[P(A)]＝2m，显然2m＝5无非负整数解，故A错误； 对于B，若A⊆B，则A的所有子集都是B的子集，故P(A)⊆P(B)，故B正确； 对于C，若A∩B＝∅，则A，B的公共子集只有空集∅，故P(A)∩P(B)＝{∅}，故C错误； 对于D，若n(A)－n(B)＝2，不妨设n(A)＝m， 则n(B)＝m－2， ∴n[P(A)]＝2m，n[P(B)]＝2m－2，显然n[P(A)]＝4×n[P(B)]，故D正确．] 学科网（北京）股份有限公司 $